猜想07 导数常考大题归类（考题猜想，10大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想07 导数常考大题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 切线问题 · 题型二 含参的讨论单调 · 题型三 讨论零点的个数 · 题型四 由零点个数求参数范围 · 题型五 零点（根）之间的关系证明 · 题型六 不等式的证明 · 题型七 数列型函数不等式证明 · 题型八 双变量问题 · 题型九 恒（能)成立问题 · 题型十 极值点偏移问题 题型一 切线问题 1．已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求a的值； (2)证明：不存在极值. 2．已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 3．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)当时，求证； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． 5．已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 题型二 含参的讨论单调 7．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 8．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 9．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 10．已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 11．已知函数. (1)当时，求曲线的斜率为-3的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数的极小值为0，求实数的最大值. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 题型三 讨论零点的个数 13．已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 14．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 15．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数． 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)判断函数的零点个数并说明理由； (3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围. 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调性； (2)若，试讨论函数在上的零点个数. 题型四 由零点个数求参数范围 18．已知函数． (1)若存在两个极值点，求实数的取值范围； (2)设函数，且在上有个零点，若，证明：． 19．已知函数，为实数. (1)当时，求与的极值； (2)是否存在，使与均有2个零点.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 20．已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 21．已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 22．已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若有且仅有1个零点，求实数m的取值范围． 23．已知，． (1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围； (2)若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围． 题型五 零点（根）之间的关系证明 24．已知函数. (1)若函数，求的极值； (2)若有一根为，的根为，则是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 25．已知函数． (1)证明：； (2)设为方程的两个根，且，求证：． 26．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的极大值为2，求实数的值； (3)在（2）的条件下，方程存在两个不同的实数根，证明：. 27．已知函数在点处的切线方程为：. (1)求实数a，b的值； (2)证明：； (3)若方程有两个实数根,且，证明：. 28．已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当a=1时，若关于x的方程（m为实数）有两个不相等的实数根，且，求证：． 题型六 不等式的证明 29．已知函数． (1)判断在区间的单调性； (2)求的最小值； (3)证明：当时，． 30．已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 31．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 32．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 33．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，证明：. 34．已知函数． (1)求的最小值； (2)已知曲线在点处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若，求面积的最小值； (3)证明：． 题型七 数列型函数不等式证明 35．已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 36．定义运算：，已知函数. (1)若时，求的极值； (2)若，函数，证明：； (3)已知且，求证：. 37．已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 38．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. (1)求的值； (2)证明：对； (3)已知数列的前项和，证明：. 题型八 双变量问题 39．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 40．设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 41．已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 42．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 43．设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 44．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 题型九 恒（能)成立问题 45．已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 46．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 47．已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 48．已知函数（为常数）. (1)求证：当时，； (2)讨论函数的单调性； (3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 49．设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 50．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 题型十 极值点偏移问题 51．已知函数． (1)若有两个零点，且，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：． 52．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 53．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 54．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 55．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 56．已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． $$猜想07 导数常考大题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 切线问题 · 题型二 含参的讨论单调 · 题型三 讨论零点的个数 · 题型四 由零点个数求参数范围 · 题型五 零点（根）之间的关系证明 · 题型六 不等式的证明 · 题型七 数列型函数不等式证明 · 题型八 双变量问题 · 题型九 恒（能)成立问题 · 题型十 极值点偏移问题 题型一 切线问题 1．已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求a的值； (2)证明：不存在极值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），则， 由题知，，整理得， 令（），则， 令，则， 所以在上单调递增， 又，，所以，使得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，所以，所以在上仅有一个零点，又，所以. （2）证明：易知的定义域为，. 令（），则. 令（），则， 所以在区间上单调递增，且， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，故在上不存在极值. 2．已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 3．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)当时，求证； (3)当时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）方法一： 当时，，， 所以，， 所以切线为，即， 切线与两坐标轴的交点分别为和， 所围成三角形的面积为． （2）当，， 记，定义域为． 则， 在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一零点，记作，， 且，即， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当且仅当即时等号成立，但，所以取不到等号， 综上，，所以． 证法二： 当，， 所以只需证，即证． 下证： 设，， ，，所以在上单调递减，在上单调递增． ∴． ∴成立． 两边取对数得，即． 所以． 所以，又∵时，，时，． 所以得证． （3）①当时，不成立． ②当时，， 记，， 则， 在上单调递增， 所以， 即在上单调递增， 所以， 所以成立． 综上，． 4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 当时，，所以在上单调递增，所以无极值； 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以的极大值为， 综上可知，当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）设切点为，因为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 因为曲线有三条过点的切线， 所以关于的方程有3个解， 令，则有3个零点， 因为， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以，可得， 所以 （3）不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边， 当时，左边，右边，所以左边=右边， 当时， 因为s，t为正实数，，所以， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即， 综上可知， 5．已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1个 (2) 【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增. 又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 6．已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解. 题型二 含参的讨论单调 7．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 8．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 9．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 10．已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 【答案】(1)，为的极大值点. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得，. 令，，则. 由题意，知，解得. 当时，令，，则， 当时，，即单调递减. 又，所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以为的极大值点. （2）由（1），得. 若，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若，令，得或. ①当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减； ②当，即时，，在上单调递减； ③当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2），得当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，整理，得， 令（，且），得， 两边同时取自然对数，得， 则， 即当且时，. 11．已知函数. (1)当时，求曲线的斜率为-3的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数的极小值为0，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1 【详解】（1）当时，，求导得，令， 解得，，故切点为， 故所求直线方程为，即； （2），求导得， 当时，恒成立，此时在上是减函数； 当时，令，解得，令，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上是减函数， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）因为，所以与单调区间相同， 若函数的极小值为0， 由（2）可知必定有，且， 即，令， 故，令， 求导得， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以即有最大值. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若，求证：当时，. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，∴，， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. （2）∵，∴. 令，即. ∵，∴，解得. 若，当时，，；当时，，， ∴在单调递减，在单调递增. 若，当时，，；当时，，， ∴在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：当时，要证，即证. 令，，∴. 法一：令，，∴. ∵，，∴，， ∴在上单调递增，∴， ∴，∴在上单调递增，∴，即. ∴当时，. 法二：. 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，. 又，∴，∴在上单调递增， ∴，即. ∴当时，. 题型三 讨论零点的个数 13．已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【详解】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3）若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 14．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. ，算出. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，， 经计算， 所以也是零点，零点和为. 15．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数． 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． （2）由已知得， 当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： x - + 单调递减 单调递增 函数的最小值为． 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为． （3）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减， 在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上：当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)判断函数的零点个数并说明理由； (3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3). 【详解】（1）函数，定义域为，则， 若，则，故函数在上单调递减， 若，则 得；得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，函数在上单调递减，且， 故函数仅有一个零点； 由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 又因为， 所以函数在内仅有一个零点，即仅有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且的最小值为， 若，则，故函数没有零点； 若，则，故函数仅有一个零点； 若，则， 取，则， 又因为函数在上单调递减，所以函数在内仅有一个零点， 取且，可知， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以函数在内仅有一个零点， 故当时，函数有两个零点， 综上，当时，函数的零点个数是； 当或时，函数的零点个数是1； 当时，函数的零点个数是. （3）曲线与曲线的交点个数， 即方程的正数解的个数， 令，则当时，与一一对应， 则原问题等价转化为对于，方程有且仅有一正数解， 令，则， 若函数存在极值点，则在极值点附近两侧单调性相反， 则必存在，使得方程有至少两个不同的解， 所以函数在上不存在极值点， 结合，对于二次函数，其图象开口向上， 所以对于， 即，即在恒成立， 因为，所以对于成立， 转化为， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 又当时，有成立， ，，函数在上单调递增， 则方程有且仅有一解. 综上，的取值范围是. 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调性； (2)若，试讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减，在，上单调递增 (2)答案见解析 【详解】（1）当时 ，，则，， 令得或，得， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增. （2）， 令得或 因为，所以， 所以当 ，即时，在上单调递减， 若函数有零点，则，解得：， 若函数无零点，则，即 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 令， 令，则， 所以在上递减，，即， 所以在上递增， ，即， 所以在上没有零点， 综上，当时，在上有唯一零点， 当时，在上没有零点． 题型四 由零点个数求参数范围 18．已知函数． (1)若存在两个极值点，求实数的取值范围； (2)设函数，且在上有个零点，若，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由，得， 因为方程有两个不等实根， 即方程有两个不等实根， 所以，即， 即的取值范围为； （2）由，得，即， 设函数， 则， 设函数，则，函数为增函数， 因为，，， 所以，且， 当时，，， 当时，，， 所以当时，取得极大值，也为最大值， 且极大值为， 因为， 所以当在上有个零点时，． 19．已知函数，为实数. (1)当时，求与的极值； (2)是否存在，使与均有2个零点.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)的极小值为1，无极大值，的极小值为1，无极大值 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）当时， ， ， ， 当时，，此时与均单调递减， 当时，，此时与均单调递增， 所以当时，，均各自取到相应的极小值，无极大值； （2），故， ，可得（且） 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当， 当时，有极大值， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 所以当且仅当时，方程有两个根. 令（且）， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷， 当时，单调递增， 令，则，当时，， 所以当时，有极小值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 当且仅当时，方程()有两个根. 综上所述，不存在，使与均有2个零点. 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 20．已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为和 (3) 【详解】（1）若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题易知，所以． 令，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）若，则，仅有1个零点，符合题意． 若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点， 则至多有1个变号零点． 由，可得． 设，则， 可得在上单调递减，在和上单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，，作出的大致图象如下： 根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外）， 所以或，解得或． 综上，a的取值范围是． 21．已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）函数，求导得， 令，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则在上单调递增， 且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则函数有两个零点，且分别在区间和内， 设的两个零点为， 当时，，当或时，， 则在上单调递减，在，上单调递增， 所以有两个极值点，且分别在区间和内. （2）依题意，，而， 即， 因此，解得， 由，得，且为整数，则或0， 故整数的值为或0. 22．已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若有且仅有1个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，； 又，所以当时，， 所以在区间上的值域是； （2），定义域为， ①当时，， ， 令，则，单调递增， 又，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，只有一个零点，符合题意； ②当时，， ， 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即（当且仅当时等号成立）， 得，， 所以，可知，使得， 又， 易知，，所以， 又，所以， 即，故，使得， 所以至少存在两个零点，不符合题意； ③当时，， 由①可知， 所以无零点，不符合题意． 综上，实数m的取值范围为． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，． 23．已知，． (1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围； (2)若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知在上恒成立， ∴，令，则， 由，得，∴在上单调递增， 由，得，∴在上单调递减， ∴当时，取得最小值， ∴； （2）由题知，，， ∴， 由，得， 当时，，使得， 因为函数在上单调递增， 则当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又，， ∴当，即时，在上无零点， 当，即时，在上有一个零点； 当时，，∴在上单调递减， 又，， 故在上无零点． 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 题型五 零点（根）之间的关系证明 24．已知函数. (1)若函数，求的极值； (2)若有一根为，的根为，则是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 则， 当时，对任意的恒成立， 所以是上的增函数，此时不存在极值. 当时，若，则；若，则. 所以是上的减函数，是上的增函数， 故的极小值为，不存在极大值. 综上所述，当时，不存在极值； 当时，，不存在极大值. （2）由（1）知当或时，，即仅有唯一解，不符合题意. 当时，是上的增函数，当时，有， 所以没有大于1的根，不符合题意. 当时，由，即，解得， 若，又， 所以，即. 令，则， 令，则， 当时，总有，所以是上的增函数， 即， 故当时，，是上的增函数，所以， 即在上无解. 综上可知，不存在满足条件的实数. 25．已知函数． (1)证明：； (2)设为方程的两个根，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：函数求导， 令，得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 所以当时，函数在定义域内有最大值， 因此 （2）由（1）得，在单调递增，在单调递减； 方程的两个不相等的实根为，且， 且， 所以 要证，即证， 即证，即证， 由，得. 设，则， 令，令，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，则，即， 所以，则， 即，即证. 26．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的极大值为2，求实数的值； (3)在（2）的条件下，方程存在两个不同的实数根，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，可得函数的定义域为， 所以， 当时，在恒成立，故函数在上单调递增； 当时，若，则，故函数在上单调递增； 若，则，故函数在上单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）因为的极大值为2，所以由（1）可得， 所以，解得 此时， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以函数在处取得极大值， 即当时，函数有极大值为2； （3）证明：由（2）可知，当时，函数在上单调递增；在上单调递减， 方程存在两个不同的实数根，不妨令， 当时，令， 则， 可得 所以函数在上单调递增，， 又，所以可得，可得； 而，则， 又，，且函数在上单调递减； 所以，即， 故 【点睛】方法点睛：用导数证明双变量不等式时，往往通过构造函数将双变量问题转化成单变量问题，利用函数单调性即可证明得出结论. 27．已知函数在点处的切线方程为：. (1)求实数a，b的值； (2)证明：； (3)若方程有两个实数根,且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题，， , 因为所以，则. （2）由（1）知，，， 设在点处的切线为，斜率，则， 令，则， 当时，，在单调递减； 当时，令，则恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，所以,. （3）由（2）知，， 设的根为，则， 又函数单调递减，故，故， 记，，， 当时，，在单调递减； 当时，令恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，所以，则， 设的根为，则， 又函数单调递增，故，故， 又，所以. 【点睛】关键点睛：构造函数是关键，此题关键的几步都是构造函数，首先，找到在点处的切线为，其次是找到函数在点处的切线方程，对的根进行转换，非常灵活，属于难题. 28．已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)当a=1时，若关于x的方程（m为实数）有两个不相等的实数根，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）． ①当a<0时，恒成立，所以在上单调递增； ②当a>0时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当a<0时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当a>0时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）方法一：当a=1时，， 由（1）可知，的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为方程=m（m为实数）有两个不相等的实数根，，且，因此． 由于是=m的实数根，所以，整理得． 令，且，则， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 而，因此，即． 方法二：当a=1时，， ，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 又． 令，则． 令，解得，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此． 因为=m（m为实数）有两个不相等的实数根，，且， 所以，即． 因为，所以，所以． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 题型六 不等式的证明 29．已知函数． (1)判断在区间的单调性； (2)求的最小值； (3)证明：当时，． 【答案】(1)在和单调递增，在和单调递减 (2)1 (3)证明见详解 【详解】（1）由题可得， 当时，，当时，，当时，，当时，， 所以在和单调递增，在和单调递减. （2），令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. （3）当时，令， 则， 因为，所以 由（2）知，故， 所以，故在上单调递减， 所以，所以． 30．已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意. 所以实数的取值范围为. （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 31．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 则， 故的图象在点处的切线方程为. （2）解法一：由，得， 令， 则， 令，显然在上单调递增， 且，故， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 因为， 所以，从而的零点个数为2， 即的零点个数为2. 解法二：由，得，， 令，， 则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 显然函数在上单调递减， 因为，所以， 又，所以， 故的零点个数为2. （3）证明：要证，需证， 令，则， 令， 则， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，则，即在上单调递减， 当时，，则，即在上单调递增， 从而，证毕. 32．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， ①若，即，函数在上单调递减； ②若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减； ③若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，函数的定义域为， 不等式， 设，求导得， 函数在上单调递增，当时，， 当时，， 则存在唯一的实数，使，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上单调递减，当时，，即， 所以. 33．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【详解】（1）当时，． 若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 故． （2）， 当时，若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，． 要证，只需证，即证． 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以恒成立，所以． 34．已知函数． (1)求的最小值； (2)已知曲线在点处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若，求面积的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2)． (3)证明见解析 【详解】（1）因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． （2），所以， 所以曲线在处的切线方程为， 当时，，当时，， 因为，所以． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最小值为． （3）因为，所以只需证， 因为， 令，则， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，所以， 所以． 题型七 数列型函数不等式证明 35．已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）令，可得，设， 因为， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即， 又因为，，， 所以当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； （2）（i）由（1）知，当时，仅有一个零点； 由的唯一零点为，则， 两边取自然对数得：， 即，两式相减得：， 可得， 设，则，因为，所以， 即是在上单调递增， 所以有，即数列是递增数列； （ii）先证明：时，， 构造，求导得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即，所以，即， 又因为，结合上面不等式有， 所以，又因为， 所以有， 即 再由可得：，当且仅当时取等号； 再由，得， 结合上式可得：，整理得：， 当且仅当时取等号， 当时，， 再由，得：， 所以有， 则， 当且仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：（i）利用，再结合赋值相减可得递推关系，然后放缩，可得简化的递推关系，再结合函数的单调即可得证； （ii）关键是两个放缩思想，，,这两个式子都需要借助常用函数不等式来进行证明，最后利用求和思想即可得证. 36．定义运算：，已知函数. (1)若时，求的极值； (2)若，函数，证明：； (3)已知且，求证：. 【答案】(1)极小值；无极大值； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时， ； 当时，；当时，; 即在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，取得极小值；无极大值 （2）， 当时，等价于， 令． ． 令． 又， 所以，使得，即， ， 所以当单调递减；当单调递增． 所以 又由（1）知，当时，恒成立， ， 又，所以 故．即：. （3）由（1）可知，，当且仅当时取等号; 用替代上式中的，得即， 所以. 令，则，且不恒为零， 所以函数在上单调递增， 故，则， 所以， 令分别取，累加得： .即证. 37．已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3）由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 38．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. (1)求的值； (2)证明：对； (3)已知数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. （2）令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． （3）证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 题型八 双变量问题 39．已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 40．设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析. (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． （2）． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则， ，． 则单调递增．单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得. 等价于． 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于， 由且得， 记，则， 记，则，所以单调递减， 所以，则，所以单调递减，所以，证毕． 41．已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 切线方程为即， 由题意，解得； （2）由（1）可知，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，所以有极大值为，无极小值； （3）因为，所以， 设，则，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨取，欲证，即证， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为，故也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立． ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 42．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 43．设为自然对数的底数，已知函数. (1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； (2)当实数满足且，求的最大值. 【答案】(1)或； (2)8 【详解】（1），设函数的图象上一点为， 则该点处的切线为， 即切线为， 解得或此时或切线的方程为或； （2）设，则，再设，则， 由得在上单调递增，同理得在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 容易得到当时，，当时，， 时，的最大值为，即， 由，得，而， 必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增， 而， 当时，， 当时，，即，当且仅当时等号成立， ，故当时，， 即当时，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，的最大值为8. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并证明当时， . 44．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 题型九 恒（能)成立问题 45．已知函数． (1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． （2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 46．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）因为，， 所以，又，所以切线方程为； （2），， 当时，，，所以， 当时，，又，所以， 所以，所以在区间内单调递增； （3）由洛必达法则可知，， 由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示， 设，， ，， 要使得在区间内恰有一个整数解. 只需满足 由得；由得. 所以的取值范围是 . 47．已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题，则， 即在上恒成立. 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，在上单调递增，且． 则当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以，所以实数的最大值为． （2）不等式在上有解，即在上有解， 令， 则， 当时，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以在处取得最小值为， 所以，即实数的取值范围为． 48．已知函数（为常数）. (1)求证：当时，； (2)讨论函数的单调性； (3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)2 【详解】（1）证明：当时，， 可得，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以， 即可得. （2）函数的定义域为， ， 当时，易知，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 综上可得，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）不等式， 依题意，恒成立， 令，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 所以实数的最小整数值是2. 49．设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）方法一：由函数是偶函数，，可知，解得， 同时，则，解得， 此时，对任意，显然有. 综上所述：，. 方法二：由函数是偶函数，，可知，解得. 且对任意，有，即， 化简得恒成立，所以. 综上所述：，. （2）根据，，且，则或. 情况1：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 则，故是上的严格增函数， 故只需，解得，则. 情况2：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 由情况1可知，是上的严格增函数， 只需，即，与无交集，舍去. 综上所述，的取值范围是. 50．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 题型十 极值点偏移问题 51．已知函数． (1)若有两个零点，且，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 当时，，当时，， 故在上为单调递减，在上为单调递增， 因为有两个零点，故，故. 当时，，而， 设，则，故在上为增函数， 故，故， 而，故当时，确有两个实数根， 综上，. （2）由（1）可得， 先证明：，即证， 而，故即证， 而，故即证， 即证，而， 故即证：， 设，则， 设，则， 故在上为减函数，故， 故在上为增函数，故即成立， 故. 设，则， 故在上为增函数，故， 故，故， 故 . 52．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 53．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 54．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明. 55．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，不妨设， 因为，， 所以，， 所以， 欲证，即证. 因为，所以即证， 所以即证，即证． 令，则，等价于， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故， 即，所以． 方法二：直接换元构造新函数  ，即，设，，则， 则，，可得，， 由于 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 56．已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】(1)无最大值，最小值为； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【点睛】关键点睛：对于涉及双变量不等式的证明，常利用两变量的差或者商，将双变量问题转变为单变量问题. $$