10.3.2 随机模拟（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 10.3.2 随机模拟 第十章 概率 学习目标 1 2 3 了解随机数的意义 会用随机模拟的方法(包括用计算器或计算机产生随机数进行模拟)估计概率，培养数学抽象、数学建模的核心素养. 会根据随机数模拟试验结果来估计简单事件的概率 复习回顾 频率与概率之间的关系是怎样的？ ① 频率是随机的，在实验之前不能确定； ② 概率是一个确定的数，与每次实验无关； ③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率。 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)大数定律阐述了随着试验次教估计概率P(A). 新知探究 问题1 用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢? 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. 由试验产生的随机数： 例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数. 计算机产生的随机数： 利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数. 概念生成 随机模拟 在电子表格软件中RANDBETWEEN（1，n）函数表示产生于1~n范围内的整数随机数. 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0,1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上. 这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验. 又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别 . 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数， 用1，2表示红球，用3，4，5表示白球. 这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验. 说明：做整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，明确哪个数字代表哪个试验结果． 新知探究 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率. n 10 20 50 100 150 200 250 300 nA 6 7 20 45 66 77 104 116 fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 fn n 10 20 50 100 150 200 250 300 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果。其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率． 画出频率折线图 从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4. 典例分析 例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生 在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率. 模拟分析:根据题意，每个人的出生月份在12个月中是等可能的;而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验. 解：(法一:用随机试验生成随机数进行模拟随机数法) 在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别,每个小球被摸到都是等可能的； 有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验. 如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了. 重复以上模拟试验分别进行20次、40次、60次、100次...就可以统计出事件A发生的频率. 典例解析 例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生 在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率. 解：（法二：利用计算机电子表格软件模拟试验） （1）利用计算机软件生成6个随机数，代表6个人的出生月份，则完成一次模拟试验； （2）用计算机形成n组随机数组，即相当于做n次重复试验； （3）统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值. 下面我们通过一个视频来了解这个操作过程。 9 典例解析 产生20组随机数组，相当于做了20次重复试验. 每列6个数字有重复数字出现就说明事件A发生，类似图中的红色区域。 我们可以看到事件A发生了14次,则事件A的频率值为0.7,与事件A的概率(约0.78)相差不大. 典例分析 例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率. 解：设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，P(B)=0.6. 用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时,表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6. 由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组. 例如，产生20组随机数: 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次,对应的数组分别是 423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314, 用频率估计事件A的概率的近似为 典例小结 用随机模拟估计概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点. (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 学以致用 教材P260 1.将一枚质地均匀的硬币连掷4次，设事件A =“恰好两次正面朝上”. (1)直接计算事件A的概率； (2)利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率. (2)用计算机产生1~2之间的随机数, 当出现随机数为1时表示硬币正面朝上, 当出现随机数为2时表示硬币反面朝上, 然后产生80个数字，计算事件A发生的频率. 学以致用 教材P260 2.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球. (1) “取出的球是黄球”是什么事件? 它的概率是多少? (2) “取出的球是白球”是什么事件? 它的概率是多少? (3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件? 它的概率是多少? (4) 设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验, 并模拟100次, 估计“取出的球是白球”的概率. 解：(1)不可 能事件. 它的概率为0. (2)随机事件. 它的概率为4/9； (3)必然事件.它的概率为1. (4) 利用电子表格软件模拟试验. 在A1单元格输入“= RANDBETWEEN (1,9)”，按Enter，. 选中Al单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到A100，数出A1-A100单元格中1,2,3,4出现的次数m，则白球出现的频率为m/100，由此估计“取出的球是白球”的概率为m/100. 能力提升 题型一 随机数及其产生方法 例题1 要产生 之间的随机整数，你有哪些方法？ [解析] 解法一：可以把25个大小、形状均相同的小球分别标上1,2,3， ，24,25， 放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数， 放回后重复以上过程，就得到一系列的 之间的随机整数. 解法二：可以利用计算器或计算机产生随机数. 能力提升 题型一 随机数及其产生方法 例题2 某校高一年级共20个班， 名学生，试问：期中考试时如何把学生随机地平均分配到40个考场？ [解析] 要把1 200人分配到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成. ①按班级、学号顺序把学生档案输入计算机中； ②用随机函数按顺序给每个学生一个随机数（每人都不相同）； ③使用计算机的排序功能将随机数从小到大排列，可得到1 200名学生 的考试号 , ， ， ，然后 安排在第一 考场， 安排在第二考场，依次类推. 方法总结 随机数的产生方法的比较 能力提升 方法 抽签法 用计算器或计算机产生 优点 保证机会均等 操作简单，省时，省力 缺点 耗费人力、物力、时间，范围较大 时，不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不 能保证完全等可能 能力提升 题型二 随机模拟法估计概率 例题3 规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环及以上为优秀，现采用随机模拟的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖在8环以下，用1表示该次投镖在8环及以上，再以每三个随机数作为一组，代表3次投掷的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 101 100 011 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计该选手投掷一轮飞镖，成绩为优秀的概率为( ) A. B. C. D. [解析] 在20组随机数中，表示3次中至少2次投中8环及以上的有101，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101，共11组， 故估计该选手投掷一轮飞镖，成绩为优秀的概率为 .故选B. B 能力提升 题型二 随机模拟法估计概率 例题4 某篮球爱好者做投篮练习，假设他每次投篮命中的概率是 ，若该篮球爱好者连续投篮4次，用随机模拟的方法估计他至少投中3次的概率. [解析] 利用计算机或计算器产生0到9之间的取整数值的随机数， 用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是 ， 因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组， 例如5727，7895，0123， ，4560，4581，4698，共产生100组这样的随机数， 若所有没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为 ， 则至少投中3次的概率约为 . 方法总结 能力提升 解题感悟 1.随机模拟法的步骤 2.在设计随机模拟试验时的注意事项 （1）要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件. （2）注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生. 课堂小结 1．随机数模拟试验的步骤： (1)设计模拟试验； (2)进行模拟试验，收集数据； (3)分析试验数据，得到频率，用频率估计概率。 2．产生随机数的常用方法： （1）用随机试验生成随机数； （2）利用计算器或计算机产生随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数． 注意： （1）待选整数个数与每个因素的可能结果数相关； （2）当每次试验结果需要K个随机数表示时,要把这K个随机数作为一组来处理. 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 Sheet2 Sheet2 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 Sheet1 系列 1 系列 2 系列 3 类别 1 4.3 2.4 2 类别 2 2.5 4.4 2 类别 3 3.5 1.8 3 类别 4 4.5 2.8 5 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39 $$