精品解析：2025届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三模拟预测数学试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果. 【详解】由题意得，，， ∴. 故选：B. 2. 已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值. 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 4. 已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 5. 、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对称可知，再由中位线可知，即可得，，即可得渐近线斜率，进而可得离心率. 【详解】如图所示，设关于渐近线的对称点为， 易知，且为中点，， 则，， 所以，， 则， 即一条渐近线倾斜角为， 所以斜率， 所以离心率， 故选：A. 6. 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】显然不满足等式，所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错； ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错. 故选：A. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知及三角恒等变换可得，再由余弦定理及正弦边角关系得、，即可得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由， 所以，即， 所以，，则， 由， 又，则， 所以，则. 故选：D 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可. 【详解】由题意可知，则， 即，又 所以，则.设，则， 所以在上单调递增，所以，则，所以， 则. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）利用等式同构函数；（2）化简，同构函数；（3）利用导数分析单调性并求出最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ） A. 直线与抛物线C相切 B. C. 若P是线段的中点，则 D. 存在直线l，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误. 故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 10. 设是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数中，具有性质的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】取特殊值判断AB；数形结合判断C；利用奇偶性判断D. 【详解】对于函数，取，，则， ，，A中的函数具有性质； 对于函数，取，，则， ，，B中的函数具有性质； 画出的图象，以及一条辅助直线，平移辅助直线，当中间交点是两边交点的中点时，设两边交点横坐标是，此时，C中的函数具有性质； ，函数是偶函数，关于轴对称，时是增函数，是单调减函数，没有满足题意的3点，所以不正确． 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 11. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等边的面积，得到，结合，求得，可得判定A错误；由，求得，可判定B正确；由余弦定理，列出方程组，结合，化简得到，可判定C正确；由，得到，结合正弦定理，求得的外接圆半径，以及点O到平面的距离，得到三棱锥的体积，结合球面的体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为等边的面积为，可得， 又因为，故，则，所以A错误； 对于B中，由，可得，可得，所以B正确； 对于C中，由余弦定理可得， 因为，可得，即，化简得，所以C正确； 对于D中，由，可得，故， 由正弦定理，可得的外接圆半径为， 点O到平面的距离， 则三棱锥的体积， 又由球面的体积， 所以球面的体积应小于以R为高的正四面体体积，所以故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点向圆作切线，切点为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则________． 【答案】4049 【解析】 【分析】由题可求，根据函数的对称性可解. 【详解】 ， 故， 故答案为：4049 14. 计算机对人类的生产活动和社会活动产生了极其重要的影响．计算机处理数据时，使用的是二进制．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．二进制数对应的十进制数记为，即，其中，那么满足中有且只有3个0的所有二进制数对应的十进制数的和为________． 【答案】444 【解析】 【分析】由题意可得所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次，据此计算可求对应的十进制数的和. 【详解】根据题意因为中有且只有3个0，所以中有且只有2个1，有种可能， 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次， 所以满足中有且只有3个0的所有二进制数对应的十进制数的和为. 故答案为：444. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. 材料 材料 合计 试验成功 试验失败 合计 单位：次 （1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关 （2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【解析】 【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断； （2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解. 【小问1详解】 根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 材料 材料 合计 试验成功 45 30 75 试验失败 5 20 25 合计 50 50 100 计算可得， 依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关. 【小问2详解】 设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元， 易知的可能取值为，，，，， ，， ，， 则的分布列为 0 0.2 0.4 0.6 0.8 修复费用的期望， 所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标. 16. 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式及数列的前项和． （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式与已知条件求出通项公式，再通过裂项相消法求出数列的前项和. （2）根据等比中项的性质列出等式，然后求解的值. 【小问1详解】 是各项均不为0的等差数列， ， . ， . 【小问2详解】 若存在正整数，使得成等比数列， 则，即， 化简得：，解得：， 又且，所以， 故存在正整数，使得成等比数列． 17. 设函数 （1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间； （2）当时，对于任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，关系，代入后即可求解单调区间； （2）先分离出，转化为求解相应函数的最值或范围，结合导数可求． 【详解】解：（1）定义域，， 由题意可得，(1)即， 所以， 由函数存在极值可知，， 时，由可得，函数在单调递增，由可得，函数在上单调递减. 时，由可得，，函数在上单调递减，由可得，在单调递增； 当时，由可得，或，由可得，， 故函数的单调递增区间，0，），单调递减区间； 综上所述：当，恒成立，不符合题意； 当时，在上递增，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （2）时，可得，， 令，，则， 令，， 则在上单调递减， 所以（1）， 所以在上单调递减， ，即， 所以在上单调递减，（e）， 故． 故的范围，． 【点睛】本题主要考查了函数单调区间的求解及利用分离法求参数范围问题，属于中档题． 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； （3）设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 设“共轭点对”中点的坐标为 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解得或， 于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用A，D关于轴对称分析得三点在椭圆上，从而利用待定系数法即可得解； （2）利用“共轭点对”的定义，得到关于点坐标的方程组，解之即可得解； （3）根据题意，利用点差法分析得线段PQ的中点在直线上，从而将四边形的面积转化为两个的面积，再利用椭圆上点到直线的距离的最值即可得解. 【小问1详解】 由于A，D两点关于轴对称， 故由题意知椭圆经过A，D两点， 显然椭圆不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上， 设的标准方程为， 因此，解得， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则， 则所在的直线的方程为，即，， 设点，则， 两式相减得，则， 又，于是， 则，即， 所以线段PQ的中点在直线上，即线段PQ被直线平分， 设点到直线的距离为， 则四边形的面积， 又，则有， 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时取最大值， 联立，消去得，， 令，得， 则，当为切点时，等号成立，此时（或）与重合， 故，即四边形的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 19. 已知正三棱锥： （1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点W自A出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值； （2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该锥体的体积为定值V，设O为点P在底面的投影，点O到的距离为于点M，连接得．求出当三棱锥的表面积S最小时，角的余弦值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解； （2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的体积公式即可求解； （3）利用表示V与S，进而可用V表示S，再利用基本不等式求最值即可求解. 【小问1详解】 如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图， 则即为质点移动路程的最小值， 由题意可得：，所以， 则是等边三角形，则，所以质点移动路程的最小值为1． 【小问2详解】 设三棱锥的高为内切圆的半径为r，外接圆半径为R，圆锥的母线为l， 则， 在中利用正弦定理得，， 所以，， 所以圆锥的体积为． 【小问3详解】 依题意得，，，连接， 因为正三棱锥，， 则为等边的中心，为中点，， 所以，， 因平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 在中，，所以， 则， 所以三棱锥的表面积， 因为，所以， 所以三棱锥的体积，所以， 所以， 令，则， 又，所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 又取得最小值时，S取得最小值， 所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值时其表面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若、都有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ） A. 直线与抛物线C相切 B. C. 若P是线段的中点，则 D. 存在直线l，使得 10. 设是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数中，具有性质的函数有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点向圆作切线，切点为，则______. 13. 已知函数，则________． 14. 计算机对人类的生产活动和社会活动产生了极其重要的影响．计算机处理数据时，使用的是二进制．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．二进制数对应的十进制数记为，即，其中，那么满足中有且只有3个0的所有二进制数对应的十进制数的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. 材料 材料 合计 试验成功 试验失败 合计 单位：次 （1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式及数列的前项和． （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． 17. 设函数 （1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间； （2）当时，对于任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围. 18. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； （3）设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 19. 已知正三棱锥： （1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点W自A出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值； （2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该锥体的体积为定值V，设O为点P在底面的投影，点O到的距离为于点M，连接得．求出当三棱锥的表面积S最小时，角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $