列题型，示考点——文中有术，心中有数-【数理报期末复习】2024-2025学年高一数学必修第二册升级突破（人教A版2019）

题型展示 数理报 解析：由正弦定理及已知条件得 5 sin A=sin 45 列题型，示考点文中有术，心中有数 湖南章成海 韩得血4：9 因为asin B<b<a, 么平面向量及其应用 证明：由题意而，正=(+成)： 所以A=60°或A=120 向量是高考重要考点之一，是解决许多问题 (@+子福)=-C2+2.+子丽 当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°， 的有力工具，向量的运算，坐标，数量积都是必考 所以c=mS=②=6,2 内容，它还与三角函数、立体几何等“组团”出 花+号.房=元+1 sin B sin 45 当A=120°时，C=180°-45°-120°= 题，题目花样较多，却有法可依 0o90+221C2m45°+1C1eo450 15°， 3 题型一：平面向量的运算 例1若向量a=(1,x),b=(2,1),c= =-AC12+1A元12=0， 所以e=后-：6,2 2 (1.1).满足条件(c-4)·(2b)=-2.则x= 所以AD⊥CE,所以AD⊥CE 点评：已知两边和其中一边的对角，客易求 题型四：平面向量与三角函数综合 出另一边所对的角，从而三个角都可求出，但要注 分析：分别求出c-a与2b的坐标，再利用数 量积的坐标运算建立x的方程，可得x的值 已知响量a=(eo受如》b= 意多解情况 题型七：已知两边及夹角解三角形 解析：因为c-4=(0,1-x), (eos,-sim}且xe[o,引 例7在△ABC中，a=1.b=2,cosC= 所以(c-a)·(2b)=2(0.1-x)·(2,1) (1)求a·b及1a+b1; 子则c= .sin A =2(1-x)=-2. (2)求函数f代x)=a·b-a+b1的最小值 解得x=2 解析：根据余弦定理得c2=a2+6-2 ubeos C 题型二：与数量积有关的计算 解折：）ab=m音-n兰加宁=P+2-2x1×2×=4,解得c=2 例2如图1，在△ABC中，AD⊥AB,BC= =m(受+）=ms2x 由a=1,b=2,c=2及余弦定理的推论得 5丽，1D1=1,则AC.AD= I a+bl 一4：：塔子因为小 2be (A)23 (B) 8 (D)3 =/2(1+c0s2x)=2√c0sx 点评：已知三角形中的条件为两边及其夹 分析：根据本题的条件，要求A配·A⑦，需利 因为xe[0,引，所以eosx≥0 角，易想到利用余孩定理建立等量美系进行求 解，同时注意结合三角形的内角和定理和正弦定 用AD⊥AB与1AD=1,因此，应利用向量加减 所以1a+b1=2co8x 理进行判断，以免出现错解 法的几何意义，将要求数量积的两个向量转化到 (2)由(1)知f(x)=cos2x-2cosx 题型八：已知三边解三角形 用而和正表示，再求得数量权 2cos'x 2cos x -I 例8在△ABC中，a=7.b=3.e=5,求 解析：因为AD上AB,所以A石⊥A正. =2m--是 △ABC的最大角和sinC 所以而·店=0， 解析：因为a>c>b,所以A为最大角. 又BC=万BD,1AD1=1, 因为xe0,引，所以0≤cosx≤1 由cwA=+c2- 2be 所以AC.AD=(A店+BC)·AD 3 所以当s=子时。一 .3+52-7 =AB,AD+B配，而=0+BC.AD 题型五：已知两角一边解三角形 又0°<A<180°，所以A=120 =配.AD=5BD,A⑦ 例5已知在△ABC中，c=10,A=45,C =万(D-)·D=51012=5.=30°，求a,b和B 由ina=sinc 故应选(D). 解析：因为c=10,4=45°，C=30°， 得simG=sin4-5in120°.5A 点评：此题看题目表面是求两向量的数量 所以B=180°-(A+C)=105. 14 积，但实际是考察向量的加减运算的表示，因此 由正弦定理知a=sim4=10×sin45 点评：已知三角形的三边求角，可先用余弦 sin C sin30° 定理求解，再用正弦定理求解，用余弦定理求角 发现并利用A配=A店+B配是突破此题的关键 10=esin B=10 x sin 105 时，角唯一确定；用正弦定理求角时，霄根据三角 题型三：平面向量在平面几何中的应用 sin C sin30° =20sin75°= 形边角关系确定角的取值，防止产生增根或 例3如图2，在 20×6+2=56+55. 漏解 △ABC中，∠ACB=90°， 4 题型九：判断三角形形状 CA=CB,D为BC的中点， 点评：已知两角和任意一边，求其他两边和 例9在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 E是AB上一点，且AE= 一角，策略是先用三角形内角和定理求出第三 2EB.正明：AD⊥CE. 角，再直接利用正弦定理求出其他两边 图2 别为a,bc.若csin A"csin B=ban A atan B' 分析：要证AD⊥CE,只需证明A币.C正=0 题型六：已知两边和其中一边的对角解三角形则△ABC为 () 即可.而已知条件涉及直角三角形，所以可考虑 例6在△ABC中，已知a=5,b=2,B (A)等腰三角形(B)等腰直角三角形 用基底法求解 =45°，解三角形. (C)直角三角形(D)等腰或直角三角形 数理报 题型展示 3 解桥：由AB产AB及 11 2-2 cosC+cos=4R(cosA-cosC). =(a-1)+(a+1)i 又由已(a+i)(1+i)=i. 正弦定理，可得in Csin A 1 所以，原式左边=4R(eosB-cosA+eosC sin Csin B -cosB+e0osA-cosC)=0=右边 得-1=0， la +1 b. 所以原等式成立 sin Btan A sin Atan B' 解得a=1,b=2,所以a+bi=1+2i 点评：在所婆证明的等式中，既含有边又含 即in Cin di an-gk 1 点评：两个复数相等的充要条件是这两个复 有角，故证明时可用正弦定理来沟通边和角的关 数相应的实部相等且虚部相等，解决此类问题： 所以sinB-sinA=sin Ceos A-sin Ceos B, 系，将其统一成角的关系，即将等式转化为三角 往往还会与复数的运算加以综合，同时还要注恋 所以sin(A+C)-sin(B+C)=sin CeosA 式，再进行三角变换，从而证得等式相等 题日中其他隐含条件的考虑与应用 sin Ceos B, 题型十二：解三角形的实际应用 题型二：复数的基本运算 sin Acos C-sin Bcos C =0. 例12某兴趣小组测 复数代数形式的基本远算，主要包括复数代 ①当osC=0时，等式成立，此时C=受： 量电视塔AE的高度H队单 数形式的四则运算.复数运算基本的技巧有如下 位：m),如示意图3，垂直放 几个方面：(1)复数的加减按“合并同类项”进 ②当cosC≠0时，得inA=simB,因为0置的标杆BC的高度h=4m, 行：(2)复数的乘法按“多项式的乘法”进行： <A<T,0<B<T,A+B<T,所以A=B. 仰角∠ABE=a,∠ADE=B (3)复致的除法按“分母实数化”进行 故△ABC为等腰或直角三角形. 该小组已经测得一组a,B的值，tana= 例3已知复数：，为：的共轭复数，解方程 点评：已知三角形中的边角关系式，应用正1.24,1mB=1.20,请据此算出H的值 :·-3i·5=1+3i 弦定理来判断三角形的形状，主要有两种途径： 解析：在Rt△ABE中，AB= H 分析：设出复数：=a+i(a,beR),表示 (1)化边为角：(2)化角为边，另外还可考虑使 lan o 出，再利用复数的四则运算法则，将方程进行化 用正弦定理的推广形式来帮助判断 在R△DBC,BD=A 题型十：求三角形的面积 tan B' 简，最后利用复数相等的充要条件列出方程组 求解 例10在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所 在R1△DAE中，AD=,H tan B 解析：设：=a+bi(a,beR), 对边的长，且a=4,b+c=5,anA+tanB= 因为AB+BD=AD, 则三=a-bi 5(tan Atan B-I),求△ABC的面积 所以H+方 =H 所以：·豆-3i·豆=(a+bi)(a-bi)-3i(a 解析：由lanA+anB=3(tan Atan B tan a tan B tan B -6i)=a2+6-36-3ai=1+3i, 1),得 解得H=，hlan& tan a -tan B 所以0+-36=1， I -tan Atan B tan(A+B)=-5. tan A tan B l-3a=3, 4×1.24 =24-120=124. 解得=-L或0=-1， 因为A+B+C=180°，所以an(A+B)= 【b=0【b=3, 因此电视塔的高度H是124m, -1anC=-/3.即anC=5,所以C=60. 所以x=-1或：=-1+3i, 点评：本题主要考查了解三角形的实际应用 因为b+e=5,所以e=5-b. 等如识，在实际应用问题中，应紧扣图形展开转 由2=a2+2-2 abeos C,得 图复数：=占的模为 化分析，对于字母的处理要特别小心 （6-6)炉=16+2-46，解得6=多 ()号 (®)号 (C)2(D)2 所以△ABC的面积S=binG=3 复 数 分析：通过复数的运算以及复数的实数化， 2 题型一：复数的概念 结合题目中的条件进行复数的除法、法的运 点评：本题在求解过程中，充分利用两角和 复数的概念色括虚数、纯虚数，复数的实部算等 的正切公式的变形，求出特殊角的数值，然后 和虚部、复敏的模、复数相等、共轭复数等概念 1 i+1 利用余弦定理得到a,b,c之间的关系，再与已知 解桥“a品D品 例I若复数2-i(beR)的实部与虚部 条件联立组成方程求出b,从而使问题获得 互为相反数，则b= ( =--2,=√-+(-= 11 解决 题型十一：证明三角恒等式 (A)-2 (®)号 故选( 例口在△ABC中，证明：-B cosA eos B+ (c)-号 (D)2 点评：本题主要考查了复数的运算，以复数 2-c2 c2-a2 c0sB+co3C+。 0sC+c08A▣0 解析：复数2-bi(b∈R)的实部为2，虚部 的运算为载，考查同学们对复数模的理解 程度. 为-b, b 证明：由A=shB=C=2R(R为 题型三：复数的几何意义 因为该复数的实部与虚部互为相反数， 复数的几何意义有两点：一是复数与复平而 △ABC外接圆的半径)， 所以2+(-b)=0.所以b=2. 内的点一一对应：二是复数与复平面内以原点为 得：B 4R'sin'A -4R'sin'B 点评：在理解和应用复数的概念时，先将复 起点的向量一一对应，因此可根据需要把复数转 cos A cos B 数改写为+i的形式，再明确复数的实那和 =4R(1-os2A0-(1-c0s2B)] 化为复平面内的点或向量，这就为数形结合铺平 虚部， cos A cos B 了道路 4R (cos B-cosA) 例2已知a,b∈R,i是虚数单位，若(a+ eos A eos B i)(1+i)=i,则a+bi= 正设是虚数单位，则复数召在复平 =4R cos B-cos A). 分析：先通过复数的运算，再根据两个复数面内所对应的点位于 () 相等的条件来确定相应的参数值 (A)第一象限 (B)第二象限 同理，nB+eo8C=4R(cosC-cosB), 解析：因为(a+i)(1+i)=a+ai+i+ (C)第三象限 (D)第四象限 4 题型展示 数理报 解析：由题意·2 2i(1+i) (2)当6>0时，南=1 +i,=(1+i)2=2i,2 图的面积为9=}·号5：孕可以得一 -2+2i:-1+1,其对应的点坐标为(-1,1)， 个平面图形的面积S与它的直观图的面积S”之 2 弓=1-i,所以A,B,C分别为 位于第二象限， (1,1),(0.2),(1.-1),如右 间的关系是S= 孕，本题中直观图的面积为 点评：本题考查复数的除法运算及复数的几 图所示，则有1AC1=2. 何落义，通过化简复数考查运算求解能力，通过 因为AC⊥x轴，点B(0,2)到线段AC的距a2,所以原平面四边形的面积S= =2a ② 求复平面内对应点考查对复数几何意义的理解 离为 能力. 所以△ABC的面积为×2×1=1 故选(B): 例6设：=-3+2i,则在复平面内对应 点评：本题将众多的知识点融会在一起，属 点评：对于直现图，同学们除了要了解其画 的点位于 (） 国规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面 于在知识的交汇处命题，题目量紧围绕复数部分 (A)第一象限 (B)第二象限 的知识考查要求设置，难度造中，是一道训练同 积y之间的关系是9”.巨5，并能进行相关问题 (C)第三象限 4 (D)第四象限 学们基础能力的好题 分析：根据复数的运算结果，结合复数的几 的计算 何意义，确定对应复数的实部与虚部的正负情 立体几何初步 题型三：空间几何体中的探究性问题 况，加以判断相应的点的位置， 例3如图2所示，已知圆锥的底面半径 题型一：表面积、体积的计算 解析：因为x=-3+2i.所以：=-3-2i, =2m,经过旋转轴S0的截面是等边三角形 例1已知S,A,B,C是球0 所以在复平面内，对应的点为(-3，一2)， 此点在第三象限. 表面上的点，SA⊥平面ABC,AB SAB,Q为半圆弧AB的中点，P为母线SA的中点 若一只妈蚁从Q点沿着圆雏的侧面爬至P点，你 点评：本题主要考查在坐标系内复数与点的⊥BC,SM=AB=1,BC=厄 能否作出合情的假设，来估算该蚂蚁行程的最小 对应关系。复数，复平而内的点以及复数所对应则球0的表面积等于( 值.（精确到0.01m) 的向量三者之间存在一一对应关系 (A)4π (B)3T 复数的概念是复数理论的基础，在解题过程 (C)2r (D)T 中它经常是思维的突破口：国绕复数代数形式的 答案：(A) 四则远算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍 解析：如图1所示，A,B,C三点在一小圆 渗透性：复数的概念及其运算的几何意义，为我面上 们从几何上处理复致问题或几何问题复数化提 因为AB上BC,AC为斜边， 图2 图3 供了广阔的空间. 所以小圆的圆心为AC的中点D, 解析：将母线SQ,S4及劣弧AQ围成的曲面 题型四：复数与其他知识的交汇 因为SA=AB=1,BC=万， 展开，如图3，连接PQ 例7若复数1=log(a2-a-1)+log.(a +1)i(i为虚数单位)为纯虚数，其中a>0且a 所以4C=AD=县 则10=×2m=,250=骨=牙 ≠1.复数=1+i,11<2,其中b是不等于 又S,A,B,C都在球面上， 在△SPQ中，由余弦定理可得， 零的整数 取SC的中点0，则OD∥SA PQ SP S0 -2SP.S0cos LASQ 20 (1)求与： 因为SA⊥平面ABC.所以OD⊥平面ABC. (2)当6>0时，，2，-号在复平面内对 所以0为球心.$0为半径 -82,所以P0=√20-82=2.95(m). 应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 题型四：判定位置关系 因为5C=/1+(3)2=2,所以S0=1, 分析：解答第(1)问要理解度数、纯虚数、复 即球0的表面积为4π. 例4设l,m是两条不同的直线，a是一个 数的模长等基本概念，会解不等式求出b的值， 点评：解决球类问题的关键是正确地作出 ,平面，则下列命题正确的是 () 要注意将不符合题意的口舍去，否则会出错：解截面，通过作轴截面找到已知与未知间的关系， (A)若1⊥m,mC,则1⊥a 答第(2)问要掌握复数的基本运算，从而得到进而使问题得以解决，这色是立体几何中常见的 (B)若I⊥，1∥m.则m⊥a ,,一-号在复平面内对应的点分别为A,B,C,将空间问题向平面几何问题转化的解题方法。 (C)若1∥a,mCa,则I∥m 最后确定△ABC的面积， 题型二：斜二测画法中的计算 (D)若1∥a,m∥a,则1∥m 解析：(1)若=log(a2-a-1）+og.(a 例？一个平面四边形的斜二测画法的直 解析：对于(A),由1⊥m,mCa,可知1与a +1)i为纯墟数，其中a>0且a≠1， 观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形 的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故 则有1g(a2-a-1)=0且log(a+1)≠0， 的面积等于 () (A)不正确： 得2-a-1=1且a+11, 对于(C),由1∥，知1与m的关系为平行 得a2-a-2=0且a≠0， (B)22a 或异面，故(C)不正确： 解得a=2成a=-1(不合题意，舍去) (C) o22, 对于(D),由1∥，m∥a,知1与m的位置关 故a=2,所以4=log31 系为平行，异面或相交，故(D)不正确故选(B). 由已知=1+i满足11<2，可得1+ 解析：根据斜二测画法画平面图形的直观图 点评：要证线而平行，可证线线平行：要证线 3<4.解得-5<b<5. 的规则可知，在x轴上（或与x轴平行）的线段，面垂直，可证线线垂直，这是解决此类问题的基 又b是不等于零的整数， 其长度保持不变；在y轴上（或与y轴平行）的线本思想.在使用线面垂直的判定定理时，要注意 所以b=1或b=-1. 段，其长度变为原来的一半，且∠x'0'y”=一个如节：即在说明或证明的过程中务必出现 当b=1时，两2=1+i: 45°（或135°）. 个“相交”、两个“垂直”，它们一个都不能少 当b=-1时，为=1-1 所以若设原平面图形的面积为S,则其直观 (下转第11版) 数理招 题型展示 11 (上接第4版) 所以DE∥BC,且DE=2BC, 过0作OS⊥AF于S,连接ES 例5已知平面a上平面B.nB=1,点A 则∠ES0为二面角E-AF-C的平面角， 所以DE∥FG,且DE=FG. e&,A壁1，直线AB∥1，直线AC⊥1，直线m∥ 所以四边形DEFG为平行四边形. 在RmAA0E中，E0=AE·im30°= a,m∥B,则下列四种位置关系中，不一定成立 所以EF∥DG 的是 ( A0=AE·c0s30°= 3 又因为EFt平面PCD,DCC平面PCD, (A)AB∥m (B)AC⊥m 所以EF∥平面PCD. 又F是PC的中点，在R△MS0中， (C)AB∥B (D)AC⊥B 点评：本题主要考查了空间线线、线面、面面 解析：因为直线m∥a,m∥B,所以m∥L S0=A0:sim45e=32 垂直及平行间的相互转化，同时考查了空间想象 4 又AB∥L,故AB∥m,(A)一定成立： 能力，需注意的是论证空间位置关系运用最多的 又SE=√E0+S0= 3 9 由m∥I,AC⊥I得AC⊥m,(B)一定成立： V4+ 8 数学思想是转化思想，转化的依据是各种位置关 由AB∥1.a∩B=I知AB∥B.(C)一定 系的性质和刺定方法，此外，进行转化时要严格 30 成立： 4 根据概念、性质、公理和定理进行逻辑推理及 只有(D)不一定成立，事实上只有过点A与 在RL△ESO中， 论证 直线1垂直相交的直线才垂直于平面B. 题型六：探究满足位置关系的条件 32 故选(D). cos∠ES0= 15 点评：把“不一定成立“看成“一定成立”，把 例7如图6，已知四棱锥 E /30 5 P-ABCD,底面ABCD为菱形， 4 “直线AC⊥”认为是“一定相交”等都容易产生 辑误.解决这类问题的一般方法是画出草图，通PA上平面ARCD.LABC= 过对线面位置的变动结合线面位置关系的定理 60,E,F分别是BC,PC的 即所来二面箱的余签值为季 点评：第(1)问中逻辑表达混乱是考生失分 进行判断 中点. 的主要原因，第(2)问有两处易错：一是对线面 题型五：证明位置关系 (1)证明：AE⊥PD: 角的概念模糊，不能正确地确定线面角，不能根 例6如图4，在四 (2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所 据线面角的正切值最大确定点H的位置：二是用 棱锥P-ABCD中，底面 6 成最大角的正切值为？，求二面角E-AF-C的 传统的方法求二面角时，作二面角的平面角易出 ABCD为矩形，平面A4 余弦值. 现错误。 PAD⊥平面ABCD,PA 4 (1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC= 题型七：空间中求角或距离 ⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点 60°， 例8如图8，在五面体 (1)证明：PE⊥BC; ▣得△ABC为正三角形 ABCDEF中，四边形ADEF是正方 (2)正明：平面PAB⊥平面PCD: 因为E为BC的中点， 形.FA⊥平面ABCD,BG∥AD (3)证明：EF∥平面PCD. 所以AE⊥BC, CD=1,AD=22,∠BAD= 分析：(1)要证PE⊥BC,可转化为证明PE 又BC∥AD,所以AE⊥AD. ∠CDA=45° ⊥AD.(2)由平面PAD⊥平面ABCD,可证得AB 因为PA⊥平面ABCD, (I)求异面直线CE与AF所成角的余弦值： 上PD,再进一步证明PD⊥平面PAB,可得平面 AEC平面ABCD. (2)求证：CD⊥平面ABF: PAB⊥平面PCD.(3)要证EF∥平面PCD,可 所以PA⊥AE (3)求二面角B-EF·A的正切值 转化为证明EF与DG平行. 而PAC平面PAD, (1)解：因为四边形ADEF是正方形. 证明：(I)在△PAD中，PA=PD,E为AD的 ADC平面PAD,且PA∩AD=A, 所以FEA∥ED. 中点， 所以AE⊥平面PAD 故∠CED为异面直线CE与AF所成的角， 所以PE⊥AD 又PDC平面PAD 因为FA⊥平面ABCD 因为底面ABCD为矩形， 所以AE⊥PD 所以FA⊥CD 所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)解：设AB=2,H为 故ED⊥CD. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD, PD上任意一点，连接AH,EH, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn 在R△CDE中，CD=1,ED=2反， 如图7. 平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD, CE=√CD+ED=3, 由(I)知AE⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD. 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 又因为PA⊥PD,PA∩AB=A, 故m∠cBD-是-9 所以PD⊥平面PAB. 在R△EAH中，AE=5, 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为 所以当AH最短时，∠EHA最大， 又因为PDC平面PCD 22 即当AH⊥PD时，∠EHA最大 所以平面PAB⊥平面PCD, 此时，mLB=普-高-9 (2)证明：过点B作BG∥CD.交AD于点 (3)如图5，取PC G图略)， 的中点G,连接FG,DG 因此AH=2 因为F,G分别为 则∠BGA=∠CDA=45 又AD=2,所以∠ADH=45.所以PA=2 由∠BAD=45,可得BG⊥AB, PB,PC的中点， 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAC. 从而CD⊥AB, 所以PG∥BC,且FG=BC 所以平面PAC⊥平面ABCD. 又CD⊥FA,FA∩AB=A, 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 过E作E0⊥AC于O,则E0⊥平面PAC 所以CD⊥平面ABF, 12 题型展示 数理极 (3)解：由(2)及已知可得AG=2 念的同时，把握每个个体被抽取的机会均相等这[11,25,11,35)20：[11,35,11.45)7：[11.45 即G为AD的中点 一原则 11.55)4:[11.55,11.65]2 取EF的中点N,连接GN(图略)， 例1 一个单位有职工800人，其中具有高 (1)列出频率分布表（含累计频率）： 则GN⊥EF 级职称的160人，其有中级职称的320人，具有初 (2)画出频率分布直方图以及频率分布折 因为BC∥AD,所以BC∥EF 级职称的200人，其余人员120人为了解职工收 线图： 过点N作NM⊥EF,交BC于M 入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽 (3)据上述图表，数据落在[10.95,11.35)范 则∠GVM为二面角B-EF-A的平面角. 取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取围内的可能性是多少？ 连接GM,可得AD⊥平面GNM. 的人数分别是 ( (4)数据小于11.20的可能性是多少？ 故AD⊥GM,从而BC⊥GM. (A)12,24.15,9 (B)9,12,12,7 解析：(1)样本的频率分布表如下所示 已知时得cW:号 (C)8,15.12.5 (D)8.16.10.6 分组 领数领率 那计媒率 分析：根据分层随机抽样的特点，利用各层 [10.75,10.85) 0.03 0.(B 由NG∥FA,FA⊥GM.得NG⊥GM 的抽样比相同解决问题， [10.85.l0.95) 0.09 0.12 在△NGW中，an∠GW:彩= 解析：因为抽样比为 401 [10.9511.05) 13 0.13 025 00-20 [11.05.11.15) 16 0.16 041 所以二面角B一EF-A的正切值为 1 [11.15,11.25) 备层中依次抽取的人数分别是兴 26 0.26 067 =8 [1l,25,11,35) 20 0.20 087 点评：求空间线面角的常规方法是构造直角320 160=10,=6, [11.35,11.45) 0.0 09纠 三角形求解，其关键又是面的垂线问题：求空间 20 [11.45.1l.55) 0.04 09 线线角的常规方法是将相关的线进行适当的平 故选(D). [11.55.11.65] 0.02 移转化到同一个三角形中求解，到底如何平移空 点评：本题主要考查了分层随机抽样的特 合计 100 1.00 间的线往往不简单：求二面角大小（空间面面角 点，对于此类问题只要抓住概念的本质，就容易 (2)样本的频率分布直方图及频率分布折线 等于二面角或其补角)的常规方法是构造三角 解答 图如下图所示 形求解，其关健又是作出二面角的平面角 题型二：样本数字特征的计算问题 例9已知∠ACB=90°，P为平面ABC外 【考点透视】统计的数字特征在高考中主要 一点，PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离 考查平均数、方差、标准差的计算问题，这需要我 均为3，那么P到平面ABC的距离为 们熟记公式，加强运算能力 解析：如图9所示 例☑样本中共有五个个体，其值分别为a, 设PO⊥平面ABC于点 0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为 《电夹克只双只风产品魔量 O,PE⊥AC于点E,PF () (3)由上述图表可知数据落在[10.95 11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20 ⊥BC于点F,连接OE (A)N5 (B)号 =0.75. OF.OC. 图9 因为PO⊥平面ABC,ACC平面ABC (c) (D)2 即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性 分析：根据样本平均数公式首先求出数值 是75%. 所以PO⊥AC, (4)数据小于11.20的可能性即数据小于 又PO n PE=P,所以AC⊥平面POE a,然后利用方差公式求解 11.20的频率，也就是数据在11.20处的累计频 又OEC平面POE,所以AC⊥OE, 解析：由题意知吋(a+0+1+2+3)=1, 率，设为x, 同理有BC⊥OF,所以四边形OECF为矩形， 解得a=-1. 则(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67 因为PC=PC且PE=PF 所以样本方差为：2=[(-1-1)2+(0- 0.41)÷(11.25-11.15),解得x=0.54, 所以RL△PEC≌RI△PFC. 从而估计数据小于11.20的可能性是54% 所以EC=FC=√PC-PE=1, 1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2, 点评：通过列表及画图，把问题直观、形象地 所以四边形OECF是边长为1的正方形， 故选(D), 表现出来，更有利于问题的解决.依据频率分布表 以0C=√2. 点评：本题考查了同学们对样本平均数与方绘制频率直方图，横坐标表示样本数据，纵坐标表 在R1△P0C中，P0=√PC-OC=E. 差的计算能力，熟记样本的平均数、方差的公式示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于 是解答好问题的关健 该组矩形的面积，即每个矩形的面积=组距× 点评：本题主要考查直线与平面垂直的判定 题型三：统计图表信息题 频李 与性质，点到平面距离的计算等知识点：考查了 =频卓 【考点透视】统计图表是表达和分析数据的 纽距 学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解 重要工具，由于这类图表信息题能突出对考生的 能力；考查了直观想象的核心素养 阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考 概率 统计 查，因此深受命题者的青腺准骑识图并掌槿图 题型一：古典概型问题 形所传递的信息是解决问题的关键 【考点透视】古典概型是一种基本事件个数 题型一：随机抽样问题 频率分布直方图 有限的等可能事件的概率模型，是高中概率的主 【考点透视】关于袖样方法的考查，在考查 例3为检测某种产品的质量，抽取了一个要知识，在高考中占有重要位置。考查一般以填空 形式方面还比较单纯，主要是概念型问题或简单样本量为10的样本，数据的分组及频数如下：题的形式有针对性地进行简单考查，有时也在解 的计算问题，此类问题主要是考查某一类抽样方 [10.75,10.85)3:[10.85,10.95)9:[10.95,答题中出现简单的考查 法中的抽样原理，需要同学们在里解抽样方法概11.05)13：[11.05.11.15)16：[11.15.11.25)26： (下转第31版) 数理招 题型展示 31 (上接第12版】 的球，球的编号分别为1,2.3,4 男生 例Ⅱ有编号为A1,A2,…,A。的10个零件， (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的 测显其直径（单位：cm),得到下面数据： 编号之和不大于4的概率： 瑞号A:43 A.A3 Ao A 4s 4 Aio (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 点径15149L4915L49150中，7.6153.7 m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球， 1份6的7017为1808微10身高em 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一 该球的编号为m,求n<m+2的概率 女生 等品 分析：(1)采用枚举法直接利用古典概型的 (1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这计算公式加以运算；(2)采用枚举法计算n≥m+ 12 个零件为一等品的概率； 2的事件的概来，然后利用对立事件的概率公式计 (2)从一等品零件中，随机抽取2个 算满足条件的事件的概率」 ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能 101556016517m17510身高em 的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2 图1 ②求这2个零件直径相等的概率. 分析：由统计图中所给有关数据，去“估计”分 分析：要注意根据题目提供的表格数搭数清和3,2和4,3和4，共6个， 析，解决前两问比较客易：第(3)阿要先将问题的情 一等品的数量，然后再确定相关的基本事件总数 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件 景简单化，再结合树状图具体分析与求解 与对应事件的基本事件个数，根据古典概型的概有：1和2,1和3，共2个， 解析：(1)样本中男生人数为40， 率计算公式加以计算，列举时要注意考虑全面，不 因此所求事件的概率P=合=号 1 由分层抽样比例为10%， 可估计全校男生人数为400 可有遗漏。 (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m, (2)由频率分布直方图知，样本中身高在 解析：(1)由所给数据可知.一等品零件共有 放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n,170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1 6个， 其一切回可能的结果(m,n)有： =35人，样本容量为70， 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品” 所以样本中学生身高在170~185cm之间 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), 为事件A则P)=品=子 6 (2.3),(2.4).(3,1).(32),(3,3),(3.4), 的频率∫=亮=05， (2)①一等品零件的编号为A1,A2A,A4 (4,1),(4,2),(4,3).(4,4),共16个， 故由频率f估计该校学生身高在170~185cm 又满足条件n≥m+2的事件有：(1,3)，(1， 之间的既率P1=0.5. A5,A6 (3)样本中身高在180~185cm之间的男 从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可 4),(2,4),共3个， 生有4人，设其编号为①，②，③，④， 能的结果有： 所以满足条件n≥m+2的事件的慨率为P, 样本中身高在185~190cm之间的男生有2 3 (4,4),(AA),(Ad),(A4）,(4,=i 人，设其编号为⑤，⑥， A).(A2,A),(A2,A),(A2,A),(A2,A),(A3: 从上述6人中任取2人的树状图为（如图2 故满足条件n<m+2的事件的概率为1一P, 所示)： A),(A5,A),(A1,A),(A,A),(A1.A),(A, 4),共有15种 =1-高=揚 ②“从一等品零件中，随机抽敏的2个零件直 点评：在求解一些事件的概率或其他一些事 径相等"（记为事件B)的所有可能结果有：(4，件的概率时，直接将它分解为几个互斥事件的和 图2 A),(山，A),(A,4),(4,A),(A,A5),(4,后再用概来的加法公式计算比较麻烦时，可用对 故从样本中身高在180~190em之间的男 4).共有6种， 立事件的概率公式计算，这种思想在解决一些类 生中任选2人的所有可能结果数为15 至少有1人身高在185-190cm之间的可 所以8)=名=号 似问題时也被经常用到. 能结果数为9。 题型三：知识交叉问题 点评：本题考查了利用古典概型求解概率问 【考点透视】概率与其他相关知识之间有着 因此，所求概烨P:=5=5 9 3 题.束古典概型要求把基本事件个数正确列举出密切的联系，特别是概率与统计是密切相关的，概 点评：通过实际应用问题，主要考查统计及 来，而表示所有基本事件可采用的方法较多，饲如率与统计知识的结合考查也将成为命题的重点方 古典概率的求法。充分观察、运用所给统计图是 列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方 向之一，道过实际应用问题，考查统计与概率的相 本题求解的切入点，也是本题求解的关键所在 法，都要求按一定的顺序进行，以做到不重不漏。 解决此类实除应用问题要注意对统计数据的分 关交汇问题，通常难度不大，要认真掌报 析和对基本事件的分析，关健是对就计与古典概 题型二：互斥事件的概率问题 例3为了解学生身高情况，某校以10%的型的求法的理解，它们是一个重点，但通常不难， 【考点透视】不可能同时发生的两个事件称比例对全校70名学生按性别进行抽样检查，测要认真拿提. 为互斥事件，两个互斥事件至少有一个发生的概得身高情祝的统计图如下（如图1所示）： 解决概率问题重点是掌握相关概念，分清问 率满足概率的加法公式，其特殊情况是两个事件 (1)估计该校男生的人数： 题的类型，从而确定相应的概率公式进行计算 的对立，即必有一个发生的两个互斥事件是对主 (2)估计该校学生身高在170~185cm之间的 同时概率的应用问题是高考必考内客，由于其与 事件，这样的两个事件的概牵之和等于1，也是数概率： 现实生活联系密切，应用问题情境新颖，所以成 为高考考查的亮点与热点，在学习过程中，要重 学中“正难则反”原则解决相应概率问题的重要 (3)从样本中身高在180~190m之间的男 视数材的基础作用，重视基本的数学思想和数学 依据 生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问 例2一个袋中装有四个形状大小完全相同间的概率 题的能力