专题29：期末复习模拟卷01（新题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题29 期末复习模拟卷01 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（    ）   A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的平均数<众数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 6．在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 7．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 10．已知事件、发生的概率分别为，，则（    ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 11．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．平面截球所得的截面面积为 C．球的体积为 D．球心到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．复数满足（为虚数单位），则 . 13．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则的值为 ，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为 ． 14．在中，若，则 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差． 19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 期末复习模拟卷01 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的定义以及模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：D. 2．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得. 【详解】由题意得，所以，则. 故选：B. 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD. 【详解】对于B：如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形， 即，故B错误； 对于A：还原平面图如下图， 则，故A错误； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C错误； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：D. 4．一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 5．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（    ）   A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的平均数<众数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】C 【分析】根据平均数、中位数、众数的概念，结合图形分析即可求解. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：C 6．在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 7．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 8．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，得出当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段上，求得，线段的取值范围，得到答案. 【详解】在正方体中，平面平面， 因为平面，平面，平面平面， 则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交， 设交点为，如图所示，    又因为平面，平面， 即分别为，与平面所成的角， 因为，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点； 当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动； 当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形； 当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点， 又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形， 如图所示．    因此．当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，可得，则， 所以线段的取值范围是， 所以若平面截该正方体的截面为五边形，线段的取值范围是. 故选：B． 【点睛】知识方法：对于空间共面、共线问题，以及几何体的截面问题的策略： 1、正面共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）在这个平面内；二是证明两个平面重合； 2、证明共线的方法：一是先由两个点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上； 3、空间几何体中截面问题：一是熟记特殊几何体（正方体，正四面体等）中的特殊截面的形状与计算；二是结合平面的基本性质，以及空间中的平行关系，以及平面的基本性质，找全空间几何体的截面问题，并作出计算； 4、空间几何体中的动点轨迹等问题：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图以及互斥事件和对立事件的概念即可判断AB，设样本数据的均值为，方差为，由已知得新样本的均值为，方差为即可判断C，先计算抽取的比例，再在高一高二两层内按比例抽取，求出高一高二的人数后再计算平均分即可判断D. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则， 所以新样本的均值为，方差为，故C正确； 对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90， 高二年级抽取的样本量为×350＝70. 高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确. 故选：ACD. 10．已知事件、发生的概率分别为，，则（    ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】AB 【分析】利用独立事件的定义可判断选项；利用并事件的概率公式可判断选项；利用互斥事件的概率公式可判断选项；分析可知，可判断出选项． 【详解】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，B正确； 对于C，若与互斥，则，C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，D错误． 故选：AB 11．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．平面截球所得的截面面积为 C．球的体积为 D．球心到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】在直角，求得，可判定A正确；设正四棱锥外接球的半径为，得到平面截球所得的截面圆的半径为，可得判定B错误；求得由外接球的半径为，结合球的体积，可判定C正确；设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为，结合球的性质，可判定D正确. 【详解】如图所示，因为正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上， 连接，且，则平面，， 对于A中，在直角，，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，设正四棱锥外接球的半径为， 在直角中，， 可得，即，解得， 则平面截球所得的截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，所以B错误； 对于C中，由外接球的半径为，所以球的体积为， 所以C正确； 对于D中，设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为， 取的中点，连接，则点在上，且， 在直角中，可得，即，解得， 根据球的性质，可得平面， 在直角中，可得， 即球心到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据除法运算可得，再根据模长公式分析求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 13．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则的值为 ，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】根据对立事件和独立事件的概率公式可求的值和两人各射击一次得分之和不少于2的概率. 【详解】设“甲射击一次，命中目标”为事件，“乙射击一次，命中目标”为事件， 则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件， 则，， ， 依题意得，解得， 故“得分之和不少于2的对立事件为得分之和为0”，故所求概率为. 故答案为：. 14．在中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】先将目标式切变弦变形整理，然后利用余弦定理计算将条件代入，结合目标式可得答案. 【详解】． 由余弦定理得． 由正弦定理得，从而． 所以． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由题意，设． ，， ，或． （2），， ，即，． 设与的夹角为，则． 又，，与的夹角为． 16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助中位线的性质与线面平行判定定理推导即可得； （2）借助线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得； （3）借助点为线段的中点，可得点与点到平面距离相等，即有，结合体积公式计算即可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面； （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. （3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，即， 又，所以，则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. （3）由正弦定理得，即，解得， 因为，故角为锐角，故， 所以， ， 所以 . 18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1)（岁），； (2)； (3)10. 【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均年龄，再求出第80百分位数. （2）利用分层抽样求出第四、五组抽取的人数，再利用列举法计算概率. （3）利用分层抽样的平均数方差公式计算即得. 【详解】（1）这些人的平均年龄为（岁）． 由频率分布直方图知，年龄在的频率为， 在的频率为，则第80百分位数为， 由，解得， 所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为. （2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙， 对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”， 则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点， 所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率． （3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为， 则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人， 设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为， 则， 因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10. 19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解； （2）由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果； （3）根据单位根的概念，代入化简即可. 【详解】（1）由欧拉公式有 . （2）由于，，故， 而当时，有. 故的最大值是. （3）由于，故，而，所以. 故 （利用） （利用） （利用） （利用） （利用）. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$