核心素养综合测评卷(一)-【数理报期末复习】2024-2025学年高一数学必修第二册升级突破（人教A版2019）

数理极 参 考答案 19 当n=6时，点P可能是(3,3). c),(b,d),(c,d)1,共有6个样本点， 事件N所含的样本点为(a,d,(b,d),(e,d),共有3 B) 故使事件C,的概丰为号的的取值为3或5 个样本点， 记事件A■“甲，乙两次解密过程中一共解开密码 故选(B)(D). 所以P代0：君= 三次” 山，对于(A),游戏过程中棋子出现在第1站， 则A=AB+AB, 即姚子向前跳出一站。 16解：)P=)=,PX=)=0 又A,B2与A:B互示，4，与昆，4：与B,分别相独立 此时出服子向上的点数不大于4， 所以P(A)=P(A,B)+P(AB) 其新率A·各：子，()正确： (2)投掷4次使币的样本空间？为： =P(A)P(B)+P(A》PB,) lo.a.o.al.la.o.o.bl.a.o.b.ol.ia.b.c.ol. 对于(B),游戏过程中棋子出现在第2站， ib.o.a.al.ia.o.8.bl.ia.b.a.bl.la.b.b.al.ib,b,a 棋子向前跳出一站，再跳出一站到达第2站： al,b,4.,b,B,a.b.a1,{4,b.b.6!.b.n,b,b1,b. 因此，甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的 或一次跳出两站到达第2站： b,o,b1.16,b,b.a1.16,6,6.bl. 其概率乃=子×号+片=子(B)结误： X=2包含的样本点有1a,,a,b,a,a,b,a,a, 概率为品 b.o,a.b.a.a.ai. 对于(C),当1≤：≤98时，棋子到第(n+1)站，有两 种擦况 所以(=2)：活= (2)由超如止日=3.所以a+B=3g P(A,)=2a(1-a).P(A2）=a2,P(B,)=2B(1 由第n站跳一结到第a+)站：其概半为号。,06,b0a X,=0包含的样本点有a,a,6,b,la,b,a,b,a,B),P氏B)=B, 记事件A=“甲，乙两次解密过程中一共解开密码 由第(n-1)站跳出2站到第(n+1)站， 其概率为P… 所以P0-后·音 6 三次”， 则A=AB+A,B,, 故P(X,=0)>P(X,=2) 所以P=号P.+P1≤a≤98)，(G)正确： 17.解：比赛结束时A队的得分高于B队有三种情 又A,B与4B互斥，A,与B,A与B,分别相西独立 况： 所以P(A)=P(A,B,)+P(AB,) 对于(D)根据C)选项，棋子跳到第9站的慨率为 (1)A队5分B队0分，即A队四局全胜，其服率为P =P(A )P(B)+P(A.)P(B) Po =PPn =2a(1-a)8+28(1-B)a (号)广=品 =23(w+B-2a0）=2(ca0)' 由于跳到第99站时，自动停止游戏， (2)A队4分B队1分，即A队第一，二、四局中败1 则Pm=P。所以P>Pm,(D)正确 因为a+B=33≥2v邱，所以6≥号，当且仅当 局，第三局胜，其概率为B3×宁×（号）×子。 故选(A)(C)(D). 。=B=子时等号成立，此时6取最小值号， 三，填空题 28:1014音 (3)A队3分B队2分，包括两种情况： 所P)=2)产取水植导 ①4队第三局败，其余各局胜：②1队第一，二，四局 故甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的服率 提示： 中胜1局，第三局胜， 12.由题可知，从中任餐取出2粒恰好是不同色的概 超小值为器 率为 其概率为=（号）×寸+3×子×（兮）× 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（一） 子-册 一、单项选择题 13.设事件M=“1张奖券中奖”，则M=AUBUC, 由互斥事件的概半加法公式可得所求概率P:= 1 ~4 ABAD 5~8 BABD 81 因为事件A,B,C两两互斥，且P代4)“100() 提示 1.a·(2a+b)=(1,-1)·(1,1)=1-1=0. 10 18.解：(1》由题知a后11,2,3,4,6后12,4,6,81， 所以P(M)=P(AU BUC)=P(A)+P(B)+ 21- 2+i 所以数对(a,)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1 61 所以：=1+2i, PC)=1000+10+2010001 6),(1.8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4) 3.因为AC⊥平面ABC,义ACC平面ABC, (3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),共16个 故1张奖参的中奖复率为 所以乎面ABC⊥平面ABC,且交线是AB. 若函数八x)的单调递增区间为[1，+￥)， 故平面ABC,上的点C在底面ABC上的射影H必在 14.315=3×3×5×7, 则函数代)图象的对称轴为直线x一会=1.即6交线松上 可得4，=3,4=3,4=5，=7， =2u 4.根据题意，m,n的情况如下：(1.1).(1.2)，(1. 若从a1,品：，出，a,中任选2个构成两位数a,0(i≠.所以满足条件的样本点为(1,2)，(2,4)，(3,6)， 3).(1.4).(2.1).(2.2).(2.3).(2.4).(3.1).(3.2). 且I≤i,j≤n), (48),共4个， (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有16种 则有0,42■33.0141=35,14=37，a24,=33,a24 所以事件A的概率P）:活·子 情况， 其中m,n满足Im-n1念1的情况如下： =35.484=37.4,41=53,4=53.a1=57.a41= (2)因为4>0，所以二次函数的图象开口向上， (1.1),(1.2).(2.1),(2.2).(2.3).(3.2),(3. 73,4%=73.4=75,共12个， 所以方程I八x)1=2有4个根， 3),(3,4).(4,3),(4,4)共10种情况. 则十位数字与个位数字不相等的有35,37,35.37. 即为(x)=2和风x)=-2各有2个根。 53.53.57.73,73,75,共10个， 阴以二次函教八x)=2-r-I的最小值小于一2 所以两人心领种会”的概率是名·音 所以，号，的十位致字4与个位数字，不相等的概率为 所以-4<-2，即公>4a 5.不妨设D所在圆的半径为R,BC所在圆的半径为 满足条件的样本点为(1,4)，(1,6).(1,8)，(2.4)，，由MD的长度为BC长度的2倍， 四、解答题 (2,6).(2.8).(3,4).(3.6),(3.8).(4,6),(4.8),共 可知R=2r,又CD=R-r=1, 15.解：(1)设事件制为“该学生没有参与该活动“，Ⅱ 所以t=1,R=2, 根据题表可得P以0=1-40+2+9+15.1- 故该曲池的体积V=三(R-广)×44m 100 所以事件B的鸳率刊因=若 19.解：()(1)由题知P氏A)=2a1-a)=8, 6.2至3月份的收入的变化值为60-80=-20（万 元)，11至12月份的收入的变化值为50-70■-20（万 2)设事件N为，G两所高中名有1名学生没有参P()=月：号 元)，故(A)正确： 与该活动”， 支出最高的月份是2月份为60万元，最低的月份是 B高中没有参与该活动的学生有3人，分别记为4， 解得=子B=号 5月份为10万元， b,c,C高中没有参与该活动的学生有1人，记为d, 故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故()错误 该试验的样本空间2=1(a,b).(a.c).(a,d),(b. (i)(i)知P(4)=d=6P(B,)=2g1- 7.8,9月份的支出分别为20万元，40万元，40万元. 20 参考答案 数理柄 故这三个月份的平均支出为20+0+0：1四（万元），子x6=4,即S=4,故(D)正确 3 所以P氏a)=青，则P(=子 故(C)错误： 故选(B)(D). 利润最高的月份是3月份和10月份.都是30万元， 11,对于(A),设圆锥的底而半径为R.高为h, 而P(i)=P团·P团=方.即子PB)= 高于2月份的利润，故(D)错误 由题意知2πR=12m,所以R=6, 7.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB■6，E是BB 圆维的母线长为62，故h=√(62)-6=6， 的中点， 而P(BG=P(PO=G即P=合 则BE=3.AE=CE=V6+3=35,AC=62. 故圆锥的休积为V=子×行×么=子×行×36× 所以5a=之×62×v(a5》-（35=96.6=72m.()错误： 则rC)=}即PG=子 对于(B).如图2.当M为AB的中点时， 所以小张，小胡、小氧三位同学中至少两位同学答 设点B到平面ACE的距离为A, 设M在底面上的投影为H,则H为OB的中点 对这道题的摄率为： 由w=a得时×分x6×6x3=吉 则HN为线段MN在东面的投影， PP(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 0H=3.而∠0H=120°，0N■6，在△0HN中， 9,6h,解得h=6 HN2=0f+0W2-20H·0N·eos∠120° 8.若A+4=1,根据向量共线的推论知P,BG三点 共线，即P在直线BC上， =9+36-2x3×6×(-号）=63。 △ABC中，当∠A=90°时，则BC的中点为三角形外 即N=37,即线段N在面的投形长为37，(B) 四、解答题 心.故P有可能为外心，(A)错误： 正确： 15,解：(1)在△ADC中，由余弦定理的推论得 若A+4=-2,不妨取入=-1,4=-1， 对于(C),如图2，作 as∠ADG=4r+C3-AC -3+3-7 当AB=AC时，P.BC=(-A-A·(A花-AT⊥0B于点T,作TM 2D·DC 2x5x3=- =A店-A心=0， ⊥AB于点M,连接M,N, 因为乙ADC为三角形的内角， 此时P的轨迹经过△ABC的垂心，(B)错误： 设圆锥底面直径为 所以∠ADC=120°，所以in∠ADC= C 2 若P为△MBC的重心，则必有=子×（店+ BE,由于AB=AE=62. 所拟m=D0sim∠AC=x5x3 1 BE=12, =子（店+， 即AB+AE=BE。 所以AB⊥AE,则TM,∥AE 4 此时A+4=子，(G)错误 又∠V0E=60°，则△0NE为正三角形， (2)在△ABD中，∠ADB=60°， 故T为OF的中点， 若A=4,1设△ABG为等边三角形， 则7=服， 由正装定理得nm“。 AB 结合A下=AAB+AAC(A∈R). 所以AB=53. 则P点在BC边的中线上，也在∠BAC的平分线上 故B,=子A.即M为AB的四等分点， 16.解：(1)由频率分布直方图可得这200位市民的 点P的轨迹可能经过△ABC的内心，(D)正确， 平均年龄为：5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17 二，多项选择题 由于平面ABE⊥成面BNE,平面ABEO底面BNE +45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85× 9.AC::10.BD:11.BCD ■BE,NTC底面BNE,NT⊥BE, 0.02=47.9. 提示： 故NT⊥平面ABE,ABC平面ABE,故NT⊥AB, 又7M⊥AB.7M,ANT=T.7M,TC平面NTM, (2)样本中年龄在区间[20.30)的频率为0.012× 9.设样本中有x位男生的测试成绩， 故AB⊥平面NTM,. 10=0.12. 则8=言解得s=2,()正瑞： MNC平面NTM,故AB⊥M,N, 年龄在区间70.80)的频率为0.006×10=0.06. 8×75%=6,所以样本中女生测试成墙的75%分位 故当M与M,重合时，MN⊥AB,(C)正确： 则从年龄在区间[20,30)的市民中抽取6× 数为920=95.（®）错误： 对于(D),由(C)的分折知，AB1M,N, 0.12+0.06=4(人).分别记作a,6,c,d. 0.12 样本中女生测试成绮的平均数为： 而m=6×=35, 从年龄在区间[70,0)的市民中抽取6× 6+7+7+7+8+9+10+10=8, 0.05 8 故MNa=M,N=√TN+TW 012+0.06=2(人)，分别记作4，B, 所以样本中女生测试成靖的标准差为；= 6+(x623D正跳 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有 ab.oc.nd,aA.aB.be.bd.bA.68.cd.cA.cB,dA,dB,AB. √分6-驴+3x0-8P像-9-82x(0-间 故选(B)(C)(D). 15种， =,2,(C)正确： 三、填空题 其中满足抽取的2人的年龄范大于10岁的有a4, 由选项(A)和(C)知，样本中所有学生薄试成绩的 2,1a1:4分 2B,6M,5B,cA,cB,4,dB,共8个 平均数为8×82×7.5：7.7.(D)错识 8+12 提示： 所以“的2人的年龄差大于0岁”的概来P=是 故选(A)(C) 12,因为A=30°，B■120 17.解：(1)厨为市=+C+C成=(4+xy-2) 10.由P+2P元=0.0=2成，可知点P为战段4C 所以C■180°-(A+B)■30° 所以由B配∥得x(y-2)=(4+). 上靠近点C的三等分点，点Q在线段AB的延长线上，且 山正孩定理得e·如后-器。华 B为AQ的中点，如图1所示 即y-之 对于(A),点P不是线段 13,设△ABC的内切圆半径为r. (2)由题易得4亡=A店+C=(x+6,y+1). AC的中点，点B是AQ的中点， 则r=方×号x25=1 励=BC+Ci=(x-2-3): 所以P店与C或不平行，故(A) 因为2，<23.所以当球的半径等于底面正三角形 由AC上B可得AC,BD=0. 错误： AC内切圆的半径时，球的半径取得最大值 即(x+6)(黑-2)+(y+1)(y-3)■x2+y2+4x 对于(B)脉=厨+=厨+子花=耐+ 故此球的半径的最大值为1， -2y-15■0， 子（底-时=方厨+子成，故(）正确： 14.设小张同学答对的事件为A,答错的事件为A。 又因为y一名 小胡同学答对的事件为B,答错的事件为B, 对于C).,元=l心1w=iP 小郭同学答对的事件为C,答错的事件为C mad <0,故(C)错误： 对于(D),设△ABC的边AB上的高为h, 因为小张同学答对的概率是行，小张，小胡两位同 所以AC=(8.0).B币=(0.-4)或AC=(0,4),丽 =(-8.0). 则S6c=乞·AB·h=3,即AB·h=6, 学都答错的概率是子，小胡，小郭两位同学都答对的概 又因为4配上丽. 则5w=·40子=×2×B×=率是右 所以四边形ABCD的面积为·心1励1=文× 数理极 参 考答案 21 8×4=16. 提示： 取OC的中点P,取CD的 18.解：(1)存在如图3所示 连接AC,BP.设AC交BP于点F 1依题意可得-1=0， 中点Q,连接EP,EQ,PQ, la+1≠0， 所以PQ∥OD,EP∥OB 因为CP∥AB,且CP=AB, 解得a=, 所以AC⊥EP,AC⊥PQ 2.从随机数表的第1行第5列开始从左至右依次选 又EP n PO=P,EP,PQ 答·紧 取两个数字， C平面EPQ, 则选取的个体编号依次为08,02,14,07,01,04（重 所以AC⊥平面EPQ. 取C靠近点G的三等分点公.侣·青 复和不在01~20内的端号别除)，第6个缩号为04 所以在三棱推B'-ACD表面上，满足AC⊥EF的点 3.因为a=(1,3),b=(22), 连接EF,PE,BE,则EF∥AD F轨迹为△EPQ(除E外)， 所以a+b■(3,5)，a-b=(-1,1). 又EFC平面PBE,AD文平面PBE. 所以eom(a+b,a-)=a+:a-b 因为EP=0B,PN=D,E0=BD. 所以AD∥平面PBE l a b l l a bl 故存在满足条件的点E,且E是线段DG上靠近点C -3+5 所以△EP0的周长为号×(，6-2+2+2)： 的三等分点， 高得 4+6-迈 (2)易知AP=BP=2,AB=2, 4.记五人分别为1,2,3，甲，乙. 2 所以AP+BP=AB,所以AP⊥BP 任选两人有(1,2)，(1.3)，(1，甲)，(1，乙)，(2,3) 所以点F轨迹的长度为4+石-区 又平面ADP⊥平面ABCP.平面ADPn平面ABCP(2,甲)，(2，乙)，(3.甲)，(3，乙)，（甲，乙），共10个样 =AP,BPC平面ABCP, 本点， 二、多项选择避 所以BP⊥平面ADP 其中甲、乙均未入选的情况有(1.2).(1,3).(23). 9.AC:10.CD:11.ABD. 因为DPC平面ADP,所以BP⊥DP. 共3个样本点， 提示： 所以BD2=DP2+BP=1+2=3. 则甲，乙均未人选的概率为品=03 9因为B=号a+6=原， 在△ADB中，因为AB=AT+BD,所以AD⊥DB 所以甲，乙至少有一人人选的概率为1-0.3=0.7. 所以(g+e)2=g3+e2+2e=36, ① 又PD⊥AD,PDC平面ADP.BDC平面ADB,平面 5.如图1. ADPO平面ADB=AD, 由愿意得AE⊥BC 由余装定理可得d+d-2aeo号=从， 所以∠PDB即为二面角P-AD-B的平面角. 所以正，成=0， 联立①②可得2a2-5ac+2c2=0, 在△Pm中，P-方·是 则.配=(A+E·BC 即2(）-5(）+2=0， 所以二面角P-4D-B的平面角的余装值为 =正，配+E序，配=D呢，配= 解得：-2成兰：号 19.解：(1)记事件A,B,分别表示元件A,B正常工作， 子花（花-商=分衣-分，店=子花 故选(A)(G). 则PA)=号P(B)=子， 10对A).设：2 事件E表示G正常工作，由元件A,B工作是相互独 6.由题可知，球形冰块内切于 立的， 高脚杯圆锥，圆推轴做面正三角形 P代=P代AB)=P4)PR)=子×号= 所以了■年+c, 48 是球面大圆的外切三角形，如图2， 作0D⊥AC,垂足为D, 因为c≠0，所以了，所以(A)错误： (2)设方案一二三正常工作的率分别为P,P,P 则球的半径r=OD=4cm, 对于B),因为为=x+c(i=1,2,…,n), 设新增的两个元件为元件C,D, 此时01=2,8cm,水面半 所以，…水的中位数是，名…，x,的中位数 记件6么分到表示新增的两个元件正微工作。径R=0心=8xm0=8(✉m 加c,所以(B)错误： 则P(C)=P(D》= 设加人小球后水面以下的体积为”，原来水的体积 对于(C),设=2任-居=2 事件A,.B,C,D,分别表示元件A,B.C,D不正常 工作， 为人，球的体积为所以水的体积为V=”一= 所以店2国*e习别， 由于四个元件工作相互轨立. 所以=，所以两组数据的方差相同，从而这两组 则P,=P[(AUC,UD,)B,J ()×8-子×4. 数据的标准差相问，所以(C)正确： =P(A,UG,UD)P(B】 7.由题知两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色 对于(D),设《<…<。，则第一组数据的极 =[1-P(A,CD)]P(B) 若第一次取球甲，乙机取红球概率为5×之=子、 差为x。一， =[1-P(A,)P(C,)P(D)]P(B) 则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白 设，<为<…<y。,则第二组数据的极差为y。- 球，乙的袋子中有1个红球和2个白球， =(。+c)-(+e)=x。-x, 所以B=-青×1-p]×号 第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 所以两组数据的极差相同，所以(D)正确 专-p 故选(C)(D). 11.如图4所示 同理得：A=子×[1-号1-p)门 故第一次取球甲，乙都取到红球且两次取球后，甲 对于(A),记正六边形 7 ABCDEF的中心为点O,由正棱 =号--p 的袋子中有6个球的服事为好×石·司 锥的几何性质可得P0⊥宝面 同理，第一次取球甲，乙都取到白球且两次取球后， ABCDEF. B=-1-pm]x[-1-p)] 甲的袋子中有6个球的概率为品 易知△A0B是边长为2的等 边三角形， =3p+2)p+4), 故所束概率为品+石·品 则SE大山ae 义因为0.8≤p<1, 8.如图3，连接AC,BD,交于点0，连接OB, 则A-月=后1->0， ABCD为菱形，∠ABC=120°， =6Sm=6x4x2=65 所以AC⊥BD,OB°⊥AC,OD⊥AC, 所以∠B'OD为二面角B-AC-D的平面角 -ag=子>Ear·P0=3X65×Pm A-A=-2+=(-5p+2)<0 于是∠B0D=30°， =23·P0=43. 所以选择方案三可以使部件G正常工作的概率最大 又因为0B=0D=4B=2. 所以P0=2,故0P=0A=0B=0C=0D=0E =OF=2,故O为正六棱锥P-ABCDEF的外接球球心. 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（二】 所以B'D=√OB+0D-20B·ODu%30 且该球的半径为2，因此P-ABCDEF的外接球的表面积 一、单项选择题 V22-2x2x2号6-， 为4T×2=16m,(A)对： I-4 CBBD 5-8 BAAA 对于(B),因为AB=AF=0B=0F=2.高中数学必修第二册 核心素养综合测评卷（一） ⊙数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 高 1.已知向量a=(1,-1),b=(-1,3),则a·(2a+b)= ( 数学 (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 必 2设：= 2+1 1+P+,则2= (A)1-2i (B)1+2i (C)2-i (D)2+i 3.如图1，在斜三棱柱ABC-AB,C,中，AC 册 ⊥平面ABC,则C,在底面ABC上的射影H必 我 在 ( ) (A)直线AB上 A (B)直线BC上 版 (C)直线AC上 (D)△ABC内部 图1 核 4.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1,2,3， 4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏， 甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m,再由乙猜这 养 个小球上的数字，记为n.如果m,n满足Im-nl≤1，那么就称甲、 合 乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是 (®) (c)3 (D) 5 卷 5.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载 了一种名为“曲池”的几何体，该几何体是上、 B 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被其 两条半径截得的部分).现有一个如图2所示的 曲池，其中AA1,BB,CC1,DD1是柱体的高，底 图2 面扇环所对的圆心角为写，AD的长度为BC长度的2倍，AM,=4,CD =1,则该曲池的体积为 ( (A)3m (B)4T (C)5m (D)6m 6.某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况如图3 所示，下列说法正确的是 ( (A)2至3月份的收入的变化值与11至12月份的收入的变化值 相同 (B)支出最高值与支出最低值的比是3：1 (C)7至9月份的平均支出为50万元 (D)利润最高的月份是2月份 金额/万元 80 C B 60 50 D A 20 10 0 123456789101112月份 注：收入 支出 利涧=收入一支出 0 图3 图4 7.如图4，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E是BB,的中点.若AB =6,则点B到平面ACE的距离为 ( ) (A)N5 (B)6 (C)36 2 (D)3 8.在△ABC所在的平面上存在一点P,AP=AAB+uAC(入，h ∈R),则下列说法正确的是 ( （A)若入+u=1,则点P的轨迹不可能经过△ABC的外心 (B)若入+4=-2，则点P的轨迹不可能经过△ABC的垂心 (C)若A+以=)，则点P的轨迹可能经过△ABC的重心 (D)若入=u,则点P的轨迹可能经过△ABC的内心 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试 (满分10分)，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通 过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女 生的测试成绩，分别是6,7,7,7,8,9,10,10，样本中男生测试成绩的 平均数为7.5，则 (A)样本中有12位男生的测试成绩 (B)样本中女生测试成绩的75%分位数是9 (C)样本中女生测试成绩的标准差为2 (D)样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 10.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P, Q,满足PA+2PC=0,QA=2QB,记△APQ的面积为S,则下列说 法正确的是 ( (A)PB∥CO (B)B胶=3BA+子BC (C)PA.PC>o (D)S=4 11.如图5，扇形ABC的弧长为12m,半径为62，线段AB上有一 动点M,BC上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点 的圆锥，使得AB和AC重合，则在图6的圆锥中 M B(C 图5 图6 (A)圆锥的体积为216π (B)当M为AB的中点时，线段MW在底面的投影长为3√7 (C)存在M,使得MN⊥AB (D)MN=330 2 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, 高中数学·必修第 b,c,A=30°，B=120°，b=5,则c= 13.已知一块形状为正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂 册 直的三棱柱)的实心木材ABC-A,BC1,AB=AA1=2√3，若将该木 材切割成一个球，则此球的半径的最大值为 (人教 14.航天(Spaceflight)又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航 A 天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇 版 宙空间，又称外层空间)以及地球以外天体各种活动的总称.航天活 核 动包括航天技术（又称空间技术）、空间应用和空间科学三大部分 心 为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛.小张、小胡、 小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题.已知小张同学答 对的概率是；，小张、小胡两位同学都答错的概率是；，小胡、小郭两 测 评 位同学都答对的概率是。若各同学答题正确与否互不影响，则小 张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)如图7，在△ABC中，已知∠B=30°，D是BC边上 的一点，AD=5,AC=7,DC=3. (1)求△ADC的面积； (2)求边AB的长. 图7 别 16.(15分)2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防 范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开 展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面 有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样 本数据的频率分布直方图如图8. (1)请估计这200位市民的平均年龄（同一组中的数据用该组 区间的中间值代替)； (2)现用分层随机抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70， 80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话 回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率。 频率 组距 0.023 0.020 0.017 高中数学·必修第二册（人教 0.012 0.006 0.002 0.001 01030507090年龄/岁 20406080 图8 版)核心素 17.(15分)如图9，AB=(6,1),BC=(x,y),C元=(-2，-3)， 且BC∥AD. (1)求y与x的关系式： (2)若AC⊥BD,求x与y的值及四边形ABCD的面积 合测评卷 图9 图 18.（17分)如图10，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段 DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP,得到 四棱锥D-ABCP. (1)在DC上是否存在点E,使得AD∥平面PBE?若存在，求出 点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角P-AD-B的平面角的余弦值 D P P> B 图10 19.（17分)某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该 电子产品核心系统的某个部件G由2个电子元件组成.如图11所示， 部件G是由元件A与元件B组成的串联电路，已知元件A正常工作的 概率为子，元件B正常工作的概率为号，且元件A,B工作是相西独立的 (1)求部件G正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另 一产地的电子元件，使得部件G正常工作的概率增大.已知新增元件 正常工作的概率为p(0.8≤p<1),且四个元件工作是相互独立的. 现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件A并联后，再与B串联： 方案二：新增两个元件都和元件B并联后，再与A串联； 方案三：新增两个元件，其中一个和元件A并联，另一个和元件 B并联，再将两者串联 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件G正常工作的概率达 到最大？ AB 图11 高中数学·必修第二册（人教A版）核心素养综合测评卷( (参考答案见19~21版)