第17章 一元二次方程　期末复习练习　2024-2025学年沪科版数学八年级下册

期末复习 第17章 一元二次方程 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x21 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 2.将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，1 D．2，﹣3，﹣1 3.用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7 4.已知m是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根．则代数式3m2﹣6066m+2的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．5 D．﹣1 5.某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 6.关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤1且k≠0 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k＜1 7.已知m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根，且满足（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4，则a的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．﹣3或1 8.已知α，β是方程x2﹣2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 9.关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（　　） A．2022 B． C．﹣2022 D． 10.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　） A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　　． 12.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　　． 13.若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 　　． 14.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知： （1）i可以运算，例如：i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝　　； （2）方程x2﹣6x+10＝0的两根为 　 　．（根用i表示）． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程： （1）2x2+x﹣4＝0； （2）（2y+1）2+15＝8（2y+1）． 16.阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.于x的方程x2﹣mx+2m＝0的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形ABC的两边长，求△ABC的周长． 18.某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价售出，平均每月能售出800个．市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨a元． （1）试用含a的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价为　 　元； ②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为　 　台； ③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为　 　元． （2）如果商场要想销售总利润平均每月达到20000元，商场经理甲说“在原售价每台50元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨30元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 20.为了进一步改善生态环境，开州区政府拟对总面积为19000平方米的某公园进行绿化升级．某施工队按计划施工10天后，区政府要求绿化工程必须在15天内完成，于是该施工队将每天的绿化任务提高了80%，圆满的在规定期限内完成了任务． （1）该工程队原计划每天的绿化任务至少是多少平方米？ （2）如图，在绿化过程中，欲修建一个中间隔有一道篱笆，面积为180平方米的长方形花圃ABCD，该花圃一面靠墙（墙的最大可用长度为18米），其余部分由篱笆围成．为了进出方便，在实际修建过程中，除墙外的其他各边都用木质材料共修建了5个宽都为1米的小门，剩余部分刚好用完总长为43米的篱笆，那么该花圃的长和宽各应设计为多少米？ 六、（本题满分12分） 21已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）运动几秒时四边形APQC的面积为16cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 七、（本题满分12分） 22.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 八、（本题满分12分） 23.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mm＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． （4）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、ab，且c＜10，求c的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习 第17章 一元二次方程 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D B A A B D B 10.解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根， 故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立， 故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得：x0， ∴2ax0+b＝±， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2， 故④正确． 故正确的有①②④， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.﹣2． 12.10． 13.﹣4． 14.1；x1＝3+i，x2＝3﹣i． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（1）x1，x2． （2）y1＝1，y2＝2． 16.解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0， 整理，得 （y﹣1）（y﹣4）＝0， 解得y1＝1，y2＝4， 当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得：x； 当当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得：x； 综上所述，原方程的解为x1，2，x3，4； （2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0， 整理，得 （x﹣5）（x+2）＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， 故a2+b2＝5． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：把x＝6代入x2﹣mx+2m＝0中， 得36﹣6m+2m＝0， 解得m＝9． 因为m和6恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为6，底为9时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时△ABC的周长为6+6+9＝21； ②当腰长为9，底为6时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时△ABC的周长为6+9+9＝24． 综上所述，△ABC的周长为21或24． 18.解：（1）试用含a的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价为（50+a）元； ②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为（800﹣10a）台； ③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为（10+a）（800﹣10a）元． 故答案为：（50+a）；（800﹣10a）；（10+a）（800﹣10a）； （2）当x＝40时，（10+a）（800﹣10a）＝50×400＝20000 当x＝30时，（10+a）（800﹣10a）＝40×500＝20000， ∴甲、乙经理说法都正确． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 20.解：（1）设该工程队原计划每天的绿化任务是x平方米，则提高工作效率后每天的绿化面积是（1+80%）x平方米， 依题意得：10x+（15﹣10）×（1+80%）x≥19000， 解得：x≥1000． 答：该工程队原计划每天的绿化任务至少是1000平方米． （2）设AB＝y米，则BC＝（43+5﹣3y）米， 依题意得：y（43+5﹣3y）＝180， 整理得：y2﹣16y+60＝0， 解得：y1＝6，y2＝10． 当y＝6时，43+5﹣3y＝43+5﹣3×6＝30＞18，不合题意，舍去； 当y＝10时，43+5﹣3y＝43+5﹣3×10＝18． 答：该花圃的长应设计为18米，宽应设计为10米． 六、（本题满分12分） 21.解：（1）6÷1＝6（秒），8÷2＝4（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：6×82t（6﹣t）＝16， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4（不符合题意，舍去）． 答：运动2秒时四边形APQC的面积为16cm2． （2）△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半，理由如下： 假设△PBQ的面积能等于△ABC面积的一半， 当运动时间为t（0≤t≤4）秒时，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t（6﹣t）6×8， 整理得：t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×12＝﹣12＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半． 七、（本题满分12分） 22.解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；（50﹣x）． （3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 八、（本题满分12分） 23.解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴，， 故答案为：3，﹣1； （2）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝3，mn＝﹣1， ∴； （3）∵实数s，t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t， ∴s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴s+t＝3，st＝﹣1． ∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝32﹣4×（﹣1）＝13， ∴ ∴； （4）∵a+b＝c﹣10，， ∴将a、b看作是方程的两实数根． ∵，即， 而c＜10，则10﹣c＞0， ∴（10﹣c）3﹣27≥0， ∴（10﹣c）3≥27， ∴10﹣c≥3， 即c≤7， ∴c的最大值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $$