第18章 勾股定理　期末复习　2024-2025学年沪科版数学八年级下册

期末复习 第18章 勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（　　） A． B．1.5，2，2.5 C．5，15，20 D．7，24，25 2.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形面积为（　　） A．194 B．144 C．14 D．12 （第2题） （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 4.已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　） A． B．2 C．或2 D．或4 5.如图所示，高速公路上有A，B两点相距14km，C，D为两村庄，已知DA＝6km，CB＝8km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建造一个服务站点E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　） A．8km B．7km C．7.2km D．8.5km 6.如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7.如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（　　） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 8.如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 9.如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点A沿正方体侧面爬到点B的最短路程是（　　） A．4cm B． C． D．5cm 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），点C在y轴上，且△ABC是等腰三角形，则点C的坐标除了（0，﹣4）之外，还可能为（　　） A．（0，9），（0，﹣1） B．（0，9）C．（0，9），（0，﹣1）D．（0，9），（0，﹣1） （第9题） （第10题） （第13题） （第14题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若3、4、a为勾股数，则a的值为　 　 ． 12.在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则三角形ABC的周长为　 　 ． 13.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，则BC的长为 　 　 ． 14.如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B在小正方形的顶点上． （1）连接AB，则AB的长为　　 个单位长度． （2）在图a中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC为钝角三角形； （3）图b中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形∠ABD＝45°． 16.如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC＝20，BC＝15，BD＝9．判定△ABC是不是直角三角形，并说明理由． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶D的距离DE为2米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF． 求：（1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 18.如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积为． （1）用公式计算三角形的面积； （2）请想一想是否有其他方法？试试看． 20.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 六、（本题满分12分） 21.综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为 　 　 ，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为 　 　 ． 【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 七、（本题满分12分） 22.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝9，MN＝15，BN＝12，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 八、（本题满分12分） 23.一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边CD上一动点，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处． （1）若AB＝4，AD＝3，如图1，连接BD，当点C′在线段BD上时，求点P的坐标． （2）在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿BD将△BCD折叠得△BC′D，DC′与x轴交于E点，求△BDE的面积． （3）若AB＝8，BC＝4，当△ADC′为等腰三角形时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习 第18章 勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C A A D C B C 10.解：∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴， （1）如图，当AC1＝BC时， 设C1（0，m）（m＞0）， ∴OC1＝m，BC1＝OB﹣OC1＝4﹣m， ∴， ∵AC1＝BC1， ∴， ∴m2+9＝（4﹣m）2， 解得， ∴； （2）如图，当AB＝BC2时， 此时可有BC2＝AB＝5， ∴OC2＝OB+BC2＝4+5＝9， ∴C2（0，9）； （3）如图，当AB＝BC3时， ∵AB＝5，OB＝4， ∴C3（0，﹣1）， 综上所述，点C的坐标除了（0，﹣4）之外，还可能为，（0，9），（0，﹣1）• 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 5， 12. 84或64． 13. 10． 14. 24 14.解：如图2， ∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴CM＝CG， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab10， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝a2+b2ab ＝29﹣5 ＝24， 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解：（1）AB5； 故答案为：5． （2）△ABC如图所示； （3）△ABD如图所示． 16.解：△ABC为直角三角形．理由如下： ∵BC＝15，BD＝9，CD是△ABC的高， ∴△BCD为直角三角形， ∴． ∵AC＝20，△ACD为直角三角形， ∴． ∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，AC＝20，BC＝15， ∴AC2+BC2＝625＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：（1）设墙高为x米，则BC＝（x﹣1）米，EF＝（x﹣2）米． 在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OB2＝BC2+OC2＝（x﹣1）2+22． 在Rt△OEF中，根据勾股定理，得OE2＝EF2+OF2＝（x﹣2）2+32． ∵OB＝OE， ∴OB2＝OE2，即（x﹣1）2+22＝（x﹣2）2+32． 解得：x＝4． 答：墙的高度为4米； （2）由（1）知，OB＝OE＝4，且OB2＝BC2+OC2， 所以OB2＝（x﹣1）2+22＝（4﹣1）2+22＝13． 所以OB＝13米． 答：竹竿的长度为米． 18.解：有触礁危险． 理由：过点P作PD⊥AC于D． 设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD＝90°﹣45°＝45度． ∴BD＝PD＝x． 在Rt△PAD中， ∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴PA＝2PD＝2x ∴AD， ∵AD＝AB+BD， ∴x＝6+x， ∴x， ∵3（1）＜9， ∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：（1）p， ． （2）如图所示，过点C作CD⊥AB， 设BD＝x，则AD＝6﹣x， 在Rt△ACD中，BC2﹣BD2＝CD2， 在Rt△BCD中，AC2﹣AD2＝CD2， ∴BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解得：， ∴， ∴． 20.解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知，， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）设点B到AC的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到AC的距离为． 六、（本题满分12分） 21.解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图1，由题意，得： AC15（cm），BC＝8cm，∠C＝90°， 由勾股定理得：（cm）； 故答案为：17cm； （3）如图2，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′， 由题意得：， ∴AD＝AE+DE＝6cm， ∵底面周长为16cm， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′＝10cm， 七、（本题满分12分） 22.解：（1）是．理由如下： ∵AM2+BN2＝92+122＝225，MN2＝152＝225， ∴AM2+NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点； （2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x， ①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2， 即（18﹣x）2＝x2+36， 解得x＝8； ②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2． 即x2＝36+（18﹣x）2， 解得x＝10， 综上所述，BN＝8或10． 八、（本题满分12分） 23.解：（1）∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°， ∴， ∵将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处， ∴BC′＝BC＝AD＝3，PC′＝PC，∠PC′B＝∠C＝90°， ∴DC′＝BD﹣BC′＝2， 设PC′＝PC＝x，则DP＝DC﹣PC＝4﹣x， 在Rt△DPC′中，由勾股定理得：DP2＝DC′2+PC′2， ∴（4﹣x）2＝22+x2， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠DBA， ∵当点P与点D重合时，沿BD将△BCD折叠得△BC′D， ∴∠CDB＝∠C′DB， ∴∠DBA＝∠C′DB， ∴DE＝BE， 设DE＝BE＝a，则AE＝AB﹣BE＝4﹣a， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2， ∴32+（4﹣a）2＝a2， 解得， ∴， ∴△BDE的面积； （3）分三种情况讨论： ①当AC′＝C′D时，如图1，连接CC′，则点C′在线段AD垂直平分线上，也在线段BC垂直平分线上， ∴C′C＝C′B， ∵将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处，AB＝8，BC＝4， ∴BC′＝BC＝4，∠PBC′＝∠PBC， ∴△CBC′是等边三角形， ∴， ∴BP＝2PC， ∵CP2+CB2＝PB2， ∴CP2+42＝（2CP）2， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当AD＝DC′＝4时，如图2，连接BD， 由折叠的性质得：BC′＝BC＝4，∠PBC′＝∠PBC， ∴C′D+C′B＝4+4＝8， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴C′D+C′B＜BD（不合题意）， 故这种情况不存在； ③当AD＝AC′＝4时，如图3， 由折叠的性质得：BC′＝BC＝4，∠PBC′＝∠PBC， ∴AC′+BC′＝4+4＝8＝BC， ∴点C′落在BC上的中点处， 此时，， ∴∠CPB＝45°， ∴PC＝BC＝4 ∴DP＝8﹣4＝4， ∴点P的坐标为（4，4）； 综上所述，当△ADC′为等腰三角形时，点P的坐标为（4，4）或． 学科网（北京）股份有限公司 $$