第3章 圆的基本性质 单元测试-2025-2026学年九年级数学浙教版上册

浙教版九年级上 第3章 圆的基本性质 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为　　 A．5 B．4 C．2 D．3 【分析】根据旋转的性质可得，可得是等边三角形．可得的长 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 2．如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【解答】解：，， ， ， 故选：． 3．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接，若，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， 点为上任意一点（点不与点重合）， ， ， ， 的度数可能是． 故选：． 4．如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，即可推出． 【解答】解：，， ， ． 故选：． 5．如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，． 故选：． 6．如图，圆上依次有，，，四个点，，交于点，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 7．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【解答】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：． 8．如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧的长是，那么　　 A． B． C． D．与的大小不能确定 【分析】由圆周角定理，得，由题意得，再代入弧长的公式，进行计算即可． 【解答】解：连接， ，， ，， ， 即， 故选：． 9．如图，在中，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【解答】解：， 经过8次旋转后图形回到原位置． ， 旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点作轴于点． 由题意可得，是等腰直角三角形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在中，， ， 点的坐标为． 故选：． 10．如图，△内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为△的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【解答】解：为的直径，如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， ，， 为△的中位线，点为的中点， ，即弦的弦心距，为弦的弦心距， ， ， 当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， 当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：． 11．如图，的半径是5，点是圆周上一定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，设交于，连接，，过点作于，连接．解直角三角形求出，，根据求解即可． 【解答】解：如图，设交于，连接，，过点作于，连接． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 12．如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接，则最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】作于，连接延长交于，作于，证明，得定值，则点在射线上运动，故当时，的值最小，再证，可知，利用等积法求出的长即可． 【解答】解：如图，作于，连接延长交于，作于， ，， ， ， ， ，， ， ， 定值， 点在射线上运动， 当时，的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，，， 由勾股定理得， ， ， ， ，，， ， ， 的最小值为， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　． 【分析】连接，根据圆周角定理得出，求出的度数，进而可得出结论． 【解答】解：连接． 是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，是的直径，弦，若，则的度数为 　　． 【分析】根据圆周角定理得到，根据垂直的定义得到，根据三角形内角和即可求解． 【解答】解：如图，记与交于点， ，， ， 于点， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点与点重合，点落在点处，若，且、、三点恰共线，则　　． 【分析】首先根据旋转可得，，然后计算出，再设，则，则，，然后在中利用三角形内角和定理即可计算出的度数． 【解答】解：根据旋转可得，， ， ， 设，则， ，， 在中：， ， ． 故答案为：． 16．如图，在△中，，，将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，为线段的中点，是线段上的动点，在将△绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为 　　，最大值为 　　． 【分析】如图，过点作，为垂足，根据直角三我的性质与勾股定理求出，，根据为线段的中点，求得．当在上运动，与垂直的时候，△绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，根据求最小值；当在上运动至点，△绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，根据求最大值． 【解答】解：如图，过点作，为垂足， 在△中， ，， ， ， ， ， 在△中， ，， ， 为线段的中点， ， 当在上运动，与垂直的时候，△绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，如图： 此时最小值为：． 当在上运动至点，△绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，如图： 此时最大值为：， 故答案为：，． 17．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 　　． 【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明△△，根据性质得，过 作交于点，设与 交于点，再证明△△，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解． 【解答】解：如图，过作于点，过作于点， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， △△， ， 过作交于点， ， ， ， 设与交于点， ，， ， ，， △△， ， △为等腰直角三角形， ， ， △为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ， ； 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在四边形中，，连接，将△绕点逆时针旋转，点与点重合，得到△，若，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求线段的长度． 【分析】（1）由旋转的性质得，，，根据等边三角形的判定定理即可求证． （2）由等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出，即可得到的值． 【解答】（1）证明：△是由△旋转得到的， △△， ，，， △是等边三角形 （2）解：△是等边三角形， ， ， ， 在△中，， 19．如图，四边形中内接于，四边形，四边形均为平行四边形，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据圆内接四边形的性质求出，证明△△，根据全等三角形的性质求出． 【解答】（1）证明：四边形，四边形均为平行四边形， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形中内接于， ， ， 四边形，四边形，四边形均为平行四边形， ，，， △△， ． 20．如图，为的直径，为上的一点，过点作，交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，根据已知条件和直角三角形的性质证明，，从而证明，然后根据等腰三角形的性质证明； （2）根据垂径定理求出，最后在△中，利用勾股定理求出，进而求出即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，为的直径，， ， 设的长为，则， ， ， 在△中，， ， ， ， ， 或， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 的半径为． 21．如图，在圆内接四边形中，，是对角线，，在的延长线上取一点，使得，在的延长线上取一点，连结，使得． （1）若是圆的直径，，求． （2）求证：①． ②． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，求出，进而求出； （2）①根据平行线的判定证明； ②在上取一点，使，证明△△，根据全等三角形的性质证明即可． 【解答】（1）解：是圆的直径， ， 由圆周角定理得：， ， ， ； （2）证明：①，， ， ； ②如图，在上取一点，使， 则， ， ， ，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 22．如图①，已知是的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接，是的中点，作弦，垂直为． （1）若点和点不重合，连接、和，当△是等腰三角形时，求的度数； （2）若点和点重合，如图②，探索与的数量关系并说明理由． 【分析】（1）当△是等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图1，设的度数为，根据弦相等则弧相等得：，表示出，则，可求得，则； ②当时，如图2，设的度数为，同理可得：，，，； （2）如图3，点和点重合，设的度数为，则，同理得：，，则，利用30度的三角函数可得结论． 【解答】解：（1）连接， 当△是等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图1， ， 设的度数为，则， ， ，为直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图2， ， 设的度数为， ， 为弦，为半径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当△是等腰三角形时，的度数是或； （2），理由是： 如图3，点和点重合， 设的度数为，则， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版九年级上 第3章 圆的基本性质 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为　　 A．5 B．4 C．2 D．3 2．如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接，若，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．如图，圆上依次有，，，四个点，，交于点，连接，，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧的长是，那么　　 A． B． C． D．与的大小不能确定 9．如图，在中，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．如图，△内接于，为的直径，点，分别为上的动点（不与点，点，点重合），且，为的中点，分别连结，，若，，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．4.5 D．5 11．如图，的半径是5，点是圆周上一定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接，则最小值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为　　． 14．如图，是的直径，弦，若，则的度数为 　　． 15．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点与点重合，点落在点处，若，且、、三点恰共线，则　　． 16．如图，在△中，，，将△绕点按逆时针方向旋转，得到△，为线段的中点，是线段上的动点，在将△绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段的最小值为 　　，最大值为 　　． 17．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 　　． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在四边形中，，连接，将△绕点逆时针旋转，点与点重合，得到△，若，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求线段的长度． 19．如图，四边形中内接于，四边形，四边形均为平行四边形，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 20．如图，为的直径，为上的一点，过点作，交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 21．如图，在圆内接四边形中，，是对角线，，在的延长线上取一点，使得，在的延长线上取一点，连结，使得． （1）若是圆的直径，，求． （2）求证：①． ②． 22．如图①，已知是的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接，是的中点，作弦，垂直为． （1）若点和点不重合，连接、和，当△是等腰三角形时，求的度数； （2）若点和点重合，如图②，探索与的数量关系并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$