第4章 相似三角形 单元测试-2025-2026学年九年级数学浙教版上册

浙教版九年级上 第4章 相似三角形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．已知、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 2．若线段是3和6的比例中项，则的值为　　 A． B． C． D． 3．已知，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 4．如图，在△中，，，若，则　　 A．6 B．8 C．10 D．12 5．点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是　　 A． B． C． D．1 6．如图，在中，是的中点，交于，已知，连接交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的　　 A． B． C． D． 8．如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 10．如图，点是△的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点、，则的值为　　 A． B． C． D．2 11．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为　　 A． B． C．2 D． 12．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题（共5小题） 13．如图，在中，，则 　　　　． 14．已知，则 　　． 15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高　　． 16．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为　　 ． 17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 　　 ． 三．解答题（共5小题） 18．已知，且． （1）求、、的值； （2）求的值． 19．如图，在△中，为上的一点，过点作，，分别交，于点，． （1）求证：△△． （2）若，求的值． 20．如图，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 21．已知：如图，在△中，，，分别为，中点，连结并延长，使． （1）求证：四边形为矩形； （2）记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 22．如图，点、分别在射线、上，且为锐角，内有一动点，使得． （1）若，且． ①求证：； ②连接，若，求的值； （2）若，，，求的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版九年级上 第4章 相似三角形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．已知、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据成比例线段的定义列出算式，求出解即可． 【解答】解：，，，是成比例的线段， ， 又，，， ， ． 故选：． 2．若线段是3和6的比例中项，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据线段比例中项的概念，可得，依此即可求解． 【解答】解：线段的长是3和6的比例中项， ， 线段是正数， ． 故选：． 3．已知，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，设，，计算判断即可． 【解答】解：， 设，， 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 、，原计算错误，不符合题意， 故选：． 4．如图，在△中，，，若，则　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先求出，再证明△△，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：， ， ， △△， ， 又， ， ， 故选：． 5．点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是　　 A． B． C． D．1 【分析】根据黄金分割的定义得，则，再设，根据得，由此可得，解此方程求出可得的长． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，如图所示： ， ， 设， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ． 故选：． 6．如图，在中，是的中点，交于，已知，连接交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意知，垂直平分，则可判断①；过作于，交于，利用等腰三角形的性质、外角与内角关系可判断②；设，利用，，则可得，从而证明，则可判断③；由，即可判断④． 【解答】解：是的中点，， 垂直平分， ， 故①正确； 如图，过作于，交于， ， ，； ，， ， ，； ，， ，； ； ，， ， 故②正确； 设， ， ，， ，， ， ， 即； ，， ， ， 故③正确； 由， 即不成立， 故④错误． 故正确的有①②③三个； 故选：． 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的　　 A． B． C． D． 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【解答】解：，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 物体被缩小到原来的． 故答案为：． 8．如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】判定△△，△△，推出，由线段的中点定义得到，即可求出的长． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， △△，△△， ，， ， 是的中点， ， ， ． 故选：． 9．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 10．如图，点是△的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点、，则的值为　　 A． B． C． D．2 【分析】取中点，连接，由三角形重心的性质得到，是中点，由三角形中位线定理推出，，判定△△，推出，得到，求出，即可得到的值． 【解答】解：取中点，连接， 点是△的重心， ，是中点， 是△的中位线， ，， ， ， ， △△， ， ， ， ． 故选：． 11．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为　　 A． B． C．2 D． 【分析】连接，由，得，由矩形的性质昨，则，所以△△，得，，所以，，可证明△△，由，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， △△， ，， ，， ， △△， ，， ， ， ， 故选：． 12．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】①正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． ②正确．利用四点共圆证明即可． ③正确．设，求出，即可解决问题． ④错误，通过计算正方形的面积为48． ⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可． 【解答】解：如图，连接． 由题意可得：，， ， ， ， 由题意可得： ，故①正确， 连接． ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，故②正确， 设，则，， ，即，故③正确， 由题意可得： ， ，， ，， ，△△， ，， ， ，故④错误， ，， △△， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，在中，，则 　　　　． 【分析】根据相似三角形的性质即可解答． 【解答】解：， ，， 又， ， 故答案为：，． 14．已知，则 　　． 【分析】设，，分别代入即可． 【解答】解：， 设，， ． 故答案为：． 15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高　5　． 【分析】根据题意可知：△△，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【解答】解：由题意可得， ，，，， △△， ， 即 解得， 树高， 故答案为：5． 16．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为　　 ． 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得，再证明△△，求得，最后利用△△即可解答． 【解答】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 在直角三角形中，，，， 由勾股定理得：， 平分，， ， 根据三角形面积公式可得， 即， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， △△， ， ， 同理可得△△， ， ， 故答案为：． 17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 　　 ． 【分析】证明△△，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明△△，得到，，设，利用勾股定理计算，得到问题的答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ， △△， ，， 连接，则垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ，， 设，则， ，， ，， ， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．已知，且． （1）求、、的值； （2）求的值． 【分析】（1）设，，，代入求出，即可求出答案； （2）把、、的值代入，求出即可． 【解答】解：（1）设，，， ， ， ， ，，； （2），，， ． 19．如图，在△中，为上的一点，过点作，，分别交，于点，． （1）求证：△△． （2）若，求的值． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质与判定即可求出答案． 【解答】解：（1），， ，， △△； （2），， 四边形是平行四边形， ， △△， ． 20．如图，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 【分析】（1）由正方形的性质推导出，，则，由，，证明△△，得，则，所以，则，而，所以△△； （2）因为，所以，求得，，则，由，求得，由相似三角形的性质得，所以． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，对角线、交于点， ，，，，且， ，， ， 点在上，于点， ， ， △△， ， ， ， ， ， △△． （2）解：正方形的边长为6， ， ， ，， ， ， ， △△， ， ， 的长是． 21．已知：如图，在△中，，，分别为，中点，连结并延长，使． （1）求证：四边形为矩形； （2）记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再利用斜边上的中线性质得到，然后利用对角线相等且互相平分的四边形为矩形得到结论； （2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，所以； ②由得到，再证明△△，根据相似三角形的性质得到，然后利用可得到结论． 【解答】（1）证明：，点为的中点， ， ， 点为的中点， ， ， ， 四边形为矩形； （2）①解：， ， ， ； ②证明：， ， 四边形为矩形， ， ，， △△， ， ， 而， ． 22．如图，点、分别在射线、上，且为锐角，内有一动点，使得． （1）若，且． ①求证：； ②连接，若，求的值； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）①要证明，可通过三角形内角和定理得出，由，推出，即可得证； ②要求的值，易得是等腰直角三角形，进而得到，再根据①中结论，得出、和的关系，由勾股定理得出的长，即可求解； （2）要求的长，可先通过作辅助线证明，根据相似比求出的长，利用含角的直角三角形的性质求出的长，再由已知角得到，利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）①证明：， ． ，， ， ， ； ②解：， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：如图，作交于点，连接， 则， ， ， ，， ， ， ，， 又， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$