隐零点问题的处理技巧课件-2026届高三数学一轮复习

高分提能六 隐零点问题的处理技巧 1 技巧一 虚设零点 技巧二 整体代换 ◆ 知识链接 ◆ 典型例题 2 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函 数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函数 的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函 数的性质巧妙求解.一般难度较大. 知 识 链 接 3 技巧一 虚设零点 例1 [2024·河北石家庄三模] 已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； 典 型 例 题 4 解：, . 当时，当,时，, 单调递 增,当时，, 单调递减; 当时，当,时，, 单调递增， 当时，, 单调递减； 当时，,在 上单调递增. 典 型 例 题 5 （2）当时，若函数，求函数 极 值点的个数. 解：当时，, ， 设 , 则,易知在区间 上单调递增. 因为, ， 所以存在唯一，使得 . 典 型 例 题 6 当时，,单调递减，即 单调递减； 当时，,单调递增，即 单调递增. 因为，且在上单调递减，所以 ， 又 ，所以在区间上存在唯一零点 . 当,时，, 单调递增； 当时，,单调递减. 所以的极值点为1, ，因此 极值点的个数为2. 典 型 例 题 技巧二 整体代换 例2 [2024·安徽安庆三模] 已知函数 的图象 在点处的切线平行于直线 . （1）若对任意的恒成立，求实数 的取 值范围； 解：的定义域为， ， 由题知，解得 . 典 型 例 题 8 由题意可知对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，只需 . 令,，则 ， 当时，，函数 单调递减， 当时，，函数 单调递增， 所以 ， 于是，因此实数的取值范围是 . 典 型 例 题 9 （2）若是函数的极值点，求证： . 证明：由条件知 ，对其求导得， 函数在 上单调递增，且, ， 所以存在，使得，即 . 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以 是函数 的极值点，所以 ，得证. 典 型 例 题 10 例3 [2024·浙江丽水二模] 设函数, . （1）当时，求函数 的单调区间； 解：当时，的定义域为 ， 且 ， 令 ，则 ， 所以在 上单调递增， 又，所以当时，，当 时, ， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 . 典 型 例 题 11 （2）若对定义域内任意的实数，恒有，求实数 的取值范围. 解：函数的定义域为 ， 依题意对任意 恒成立. 设，，则 ， 设 ，则 恒成立， 所以在 上单调递增， 典 型 例 题 12 又当时， ，当 时， ， 所以存在，使得，即 ， 所以 ， 则当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， 所以 . 典 型 例 题 令，则且 ， 所以 为增函数， 因为，所以 ， 又与均为减函数，所以在 上单调递减， 所以当时， ， 所以实数的取值范围为 . 典 型 例 题 自测题 1.已知函数 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：由题知，则 ， ， 故曲线在点处的切线方程为 ， 即 . 典 型 例 题 15 （2）证明： . 证明：由（1）得 . 令，则，所以 是增 函数. 因为， ， 所以存在，使得 ，即 . 典 型 例 题 16 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增, 所以 . 因为，所以 ， 所以 , 故 . 典 型 例 题 2.[2024·佛山二模] 已知 . （1）当时，求 的单调区间； 解：当时， ， ， 则当，即时， ， 当，即时， ， 故的单调递减区间为， ，单调递增区间为 . 典 型 例 题 18 （2）若有两个极值点，，证明： . 证明： ，令， ， 令，，则，是方程 的两个正根， 则，即 ， ，，所以 ， 则 可表示成 典 型 例 题 19 . 要证 ， 即证 ， 令 ， 则 ， 典 型 例 题 令 ，则 ， 则在 上单调递减， 又， ， 故存在，使得，即 ， 则当时，，当时， ， 故在上单调递增，在 上单调递减， 典 型 例 题 则 ， 又，所以 ， 故，所以 ， 所以 . 典 型 例 题 $$