精品解析：甘肃省白银市靖远县第一中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分：100分），参加竞赛的职工共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男职工得分的平均值和方差分别是88和2，女职工得分的平均值为92，则女职工得分的方差为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.6 D. 2 5. 在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8 6. 如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中各项系数的和为64，则（ ） A. B. 展开式中常数项为20 C. 展开式中含项的系数为30 D. 展开式中各项系数的绝对值的和为160 10. 椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（ ） A. C的长轴长为 B. C的焦距为4 C. 若，则的面积为2 D. 11. 已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ） A. B. C. D. 若x为正整数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，且，则________． 13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，在吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为________． 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l经过点F交C于M，N两点，且M，N两点在C的准线上的投影分别为A，B，准线与x轴的交点为D，分别记△ABF与△BDF的面积为，，若，则直线l的斜率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还集成了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中x为年份代号，y（单位：万台）代表年销量． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代号x 1 2 3 4 5 年销量y/万台 0.5 0.9 1 1.2 1.4 （1）经过分析，y与x线性相关，试求y关于x的经验回归方程； （2）利用（1）中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量； （3）某中学准备从A，B两种品牌的激光一体机中购买一批配备给各办公室使用，下表是以往这两种激光一体机各100台的使用年限（整年）统计表： 使用年限 1年 2年 3年 4年 5年 A品牌 5 15 20 10 50 B品牌 10 20 15 15 40 激光一体机使用年限越长，办公费用越低．以使用年限的频率估计概率．该中学从节省办公费用的角度来看，应选择购买哪一种品牌的激光一体机？ 参考公式：，． 参考数据：，． 16. 记数列的前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 17. 已知函数，且在 处取得极值． （1）求m的值及的单调区间； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，点分别在线段上运动，且．将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面． （1）当时，求证：； （2）是否存在，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由； （3）证明：存在，使得二面角的平面角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件化简求出，然后求出共轭复数，进而可判断其对应的复平面的点所在的象限. 【详解】由题得， 所以．它在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得，结合，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得，所以， 因为且，则满足. 故选：C. 3. 若函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 4. 某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分：100分），参加竞赛的职工共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男职工得分的平均值和方差分别是88和2，女职工得分的平均值为92，则女职工得分的方差为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出男女职工的人数，继而根据方差公式，即可求出答案. 【详解】设男职工人数为m，女职工人数为n，则， 又总平均数为90，故，解得； 设为总平均数，则，设女职工得分的方差为， 根据方差性质有， 即得， 解得， 故选：B 5. 在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论． 【详解】如图． 由题得D为BC的中点，，．又，． 则． ∵E，G，F三点共线．．即， ．当且仅当时取等号，则的最小值为． 故选：B． 6. 如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设图象向左平移最小个单位，得到，再结合三角形的面积及，列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A 7. 已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义将问题转化为直线与函数的图象有3个公共点求解。再借助导数探讨单调性并作出图象，数形结合求出范围. 【详解】由，得，令函数，其定义域为， ，函数为奇函数， 依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 求导得，函数在上单调递减， 曲线在点处的切线方程为，令， 求导得，函数在上单调递减， 当时，；当时，， 即当时，；当时，；当时，， 作出的图象，如图： 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 所以m的取值范围是. 故选：B. 8. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中各项系数的和为64，则（ ） A. B. 展开式中常数项为20 C. 展开式中含项的系数为30 D. 展开式中各项系数的绝对值的和为160 【答案】AC 【解析】 【分析】根据展开式中各项系数的和可求出n的值，判断A；利用两个二项式相乘的性质结合展开式通项公式可判断BC；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，令，则可得，A正确； 对于B，的通项公式为， 令，则；令，则无整数解； 故的展开式中常数项为，B错误； 对于C，结合B的分析，令，则； 令，则无整数解； 故展开式中含项的系数为，C正确； 对于D，展开式中各项系数的绝对值的和即为的各项系数和， 令，则展开式中各项系数的绝对值的和为，D错误 故选：AC 10. 椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（ ） A. C的长轴长为 B. C的焦距为4 C. 若，则的面积为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，根据题意，联立方程组，分别求得椭圆的顶点坐标，得到长轴长和焦距，可得判定A错误，B正确，再将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，得到，结合椭圆的定义和几何性质，可得判定C正确，D正确. 【详解】设C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由方程可知，曲线C关于直线与对称，且关于原点对称， 故C的中心为O，顶点为C与直线，的交点， 由，可得，即， 所以曲线C的其中2个顶点为，， 又由，可得， 所以曲线C的另外2个顶点为, 则，，所以，，， 故长轴长为，A错误；焦距，B正确； 将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，可得方程为， 设该椭圆焦点分别为M，N．点Q在该椭圆上，则， 又由椭圆的定义，可得， 即，解得， 因为，所以的面积为，故C正确； 由，由椭圆的性质得，当点P为长轴的端点时，取得最大值， 当点P为短轴的端点时，取得最小值，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ） A. B. C. D. 若x为正整数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB；利用周期、举反例判断CD； 【详解】令，得， 因为，所以，故A对； 令得， 令得，故B对； 由得， 所以函数是周期为8的函数， 又， 所以， 所以， 所以， 又，函数是周期为8的函数， 如，则，故C错； 若x为正整数，则， 所以，故D对； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. 13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，在吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（吃到个芋头馅的概率）和（吃到个芋头馅且个汤圆中恰有种不同馅的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：吃到个芋头馅.事件B：个汤圆中恰有种不同馅. 从10个汤圆中随机取个的总组合数为. 吃到个芋头馅，即从个芋头馅汤圆中选个，再从剩下的个汤圆中选个，组合数为，，所以.  吃到个芋头馅且个汤圆中恰有种不同馅有两种情况： 情况一：芋头馅个，绿豆馅个，红豆馅个，组合数为， 情况二：芋头馅个，绿豆馅个，红豆馅个，组合数为. 情况三：芋头馅个，糖冬瓜馅个，绿豆馅个，组合数为.  情况四：芋头馅个，糖冬瓜馅个，红豆馅个，组合数为. 则.   根据条件概率公式，将，代入可得： .  故答案为：. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l经过点F交C于M，N两点，且M，N两点在C的准线上的投影分别为A，B，准线与x轴的交点为D，分别记△ABF与△BDF的面积为，，若，则直线l的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线中焦点弦的概念性质，用的横纵坐标表示出两个三角形的面积，求出坐标之间的关系式，联立抛物线方程和直线方程，求出直线斜率. 【详解】 当位于第三象限时，如图所示，设 则， ，化简得. 设直线：，联立方程组得消去得；， 根据韦达定理：， 所以，解得(舍)或， 当时，，则，解得，斜率为. 由对称性可知，当位于第二象限时，斜率为 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还集成了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中x为年份代号，y（单位：万台）代表年销量． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代号x 1 2 3 4 5 年销量y/万台 0.5 0.9 1 1.2 1.4 （1）经过分析，y与x线性相关，试求y关于x的经验回归方程； （2）利用（1）中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量； （3）某中学准备从A，B两种品牌的激光一体机中购买一批配备给各办公室使用，下表是以往这两种激光一体机各100台的使用年限（整年）统计表： 使用年限 1年 2年 3年 4年 5年 A品牌 5 15 20 10 50 B品牌 10 20 15 15 40 激光一体机使用年限越长，办公费用越低．以使用年限的频率估计概率．该中学从节省办公费用的角度来看，应选择购买哪一种品牌的激光一体机？ 参考公式：，． 参考数据：，． 【答案】（1） （2）1.63 （3）选择购买A品牌激光一体机 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后求得即可得解； （2）直接根据经验回归方程预测即可； （3）只需算出两种品牌激光一体机的使用年限的均值，然后比较大小即可判断. 【小问1详解】 ． ． 则， ， 所以y关于x的经验回归方程为． 【小问2详解】 2025年对应的年份代码x为6． 当时，（万台）， 故可预测2025年该市激光一体机的销量约为1.63万台. 【小问3详解】 以频率估计概率，A品牌激光一体机的使用年限X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 ； B品牌激光一体机的使用年限Y的分布列为： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.15 0.15 0.4 ， 因为． 所以该中学应选择购买A品牌激光一体机． 16. 记数列的前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将题干式子变形得，利用与的关系化简可得，根据等差数列通项公式计算即可； （2）求得的通项公式，分类讨论求和即可； （3）由题意得，利用裂项相消求和即可. 【小问1详解】 ，得， 当时，有， 得， 化简可得， 因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 当时，， 综上，； 【小问3详解】 由（1）可得， 则. 17. 已知函数，且在 处取得极值． （1）求m的值及的单调区间； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1），的递减区间为 ，递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，且，即， 所以，当 时，当时 ， 所以的递减区间为 ，递增区间为，即 处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为 ，递增区间为； 【小问2详解】 由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时， ，即在上单调递增， 当时， ，即在上单调递减， 由时，， 当时， ， 在上单调递增， 当 时， ， 在上单调递减， 所以，则. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （i）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ii） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再由题意，得到，求得的值，即可求得的方程； （2）（ⅰ）设直线，联立方程组求得，，结合直线的斜率公式，进行化简，即可求解； （ⅱ）设直线，得到，联立方程组，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为． 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，点分别在线段上运动，且．将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面． （1）当时，求证：； （2）是否存在，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由； （3）证明：存在，使得二面角的平面角为． 【答案】（1） 当时，为的中点，为的中点， 此时，，． 如图，取的中点，连接． 则，． 又，平面， 所以平面． 又平面，所以． （2） 不存在，理由：假设存在，使． 过作于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面． 所以平面． 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，所以点重合． 所以，（*） 设，则， 则． 所以， 则，与（*）式矛盾． 所以不存在，使． （3） 以点为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面向上的直线为轴建立空间直角坐标系. 过点A在平面内作，连接， 已知，，，，可得，所以，即，且. 因为平面平面，平面平面，平面，且，根据面面垂直性质定理得平面. 设，，则，， 又，所以，. 容易得到，进而，，. 则和 设平面法向量，由，， 令，得， 容易知道平面法向量. 所以， 又，则. 左边平方得. 右边平方：. 此时等式为. 所以. 移项整理：把含的项移到一边，得. 所以 令 令 因为，，由零点存在定理知存在使，即存在使二面角平面角为. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线以及证明线面垂直即可证明线线垂直. （2）首先假设存在使得，然后根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的性质可证明，然后根据长度关系证明不是直角，从而与假设矛盾，得出答案. （3）先以点为原点建立空间坐标系，设相关量，根据条件求出一些点的坐标和向量. 接着求平面的法向量，然后根据二面角余弦值与相等建立等式，再通过令构造函数，利用零点存在情况判断是否存在满足条件的. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $