精品解析：广东省深圳市深圳大学附属中学、东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一下学期第二次检测数学试题

广东省深圳市深圳大学附属中学、东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一下学期第二次检测数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5.考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意．本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. （ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A B. C. D. 3. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，，若四边形的斜二测直观图为，轴的夹角为，则直观图中四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意．本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 B. 若是非零向量，则“”是“”必要不充分条件 C. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D. 用一个平面去截正方体，在正方体表面形成的截面形状不可能是正五边形 10. 在圆锥SO中，底面直径MN为，母线长为2.P为底面圆周上任意一点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的外接球表面积为 C. 的面积最大值为 D. 若，则点到平面SMP的距离为 11. 对于复数是的共轭复数，是的模，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意复数一定是实数 B. 对任意复数一定是纯虚数 C. 对任意复数一定是实数 D. 若，则的最小值为4 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知向量，且，则________________ 13. 已知正三棱台中，上底面边长为，下底面边长为，该几何体的体积为，则该几何体的侧棱长为______． 14. 在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在正方体中，E，F分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 在平行四边形ABCD中，已知，点为BC上一点，点为CD上一点，满足.当时，. （1）求值； （2）当取最小值时，求. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若，求和的面积. 18. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正弦值. 19. 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. （1）在三棱锥中，，求证：该三棱锥完美三棱锥； （2）已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市深圳大学附属中学、东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一下学期第二次检测数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5.考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意．本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. （ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式求值. 详解】由题意知，带入得 故选：C. 3. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，可得，再由三角形面积公式可得答案. 【详解】，，， ， ， . 故选：D. 4. 已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由空间线面位置关系及向量法逐个判断即可. 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：若，则或，错误； 对于B：若，则，所以，所以，正确； 对于C：由，可得，所以，所以，正确； 对于D：由，可得：，，所以，所以，正确， 故选：A 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，，若四边形的斜二测直观图为，轴的夹角为，则直观图中四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，画出直观图，求出各边长可得结果. 【详解】如图，作出对应的轴，轴，使. 由题意得，， 作于点，作于，则四边形为矩形，且， 由得为等腰直角三角形，故. 由四边形为矩形得，， 所以，故， 所以四边形的周长为. 故选：C. 6. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数图象性质列式求解. 【详解】如图，函数的周期，则， ， 所以折成直二面角后，，解得， 因此，由，得， 而，且0在函数的单调递减区间内，所以. 故选：D 7. 如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 8. 如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得、，进而有，最后由即可得. 【详解】由题设，，， 令，又，， 所以，，即， ，，即， 所以， 又，则，即，故. 故选：B 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意．本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 B. 若是非零向量，则“”是“”的必要不充分条件 C. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D. 用一个平面去截正方体，在正方体表面形成的截面形状不可能是正五边形 【答案】BD 【解析】 【分析】由大角对大边及正弦定理可证明出充分性成立即可判断A不正确；结合共线向量，以及充分、必要条件的概念判断即可判断B正确；通过举反例可判断C不正确；利用反证法和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形． 【详解】对于A，由，得，由正弦定理得，且， 所以，充分性成立，故A不正确； 对于B，由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，故C不正确； 对于D，假若用一个平面去截正方体，所得截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内， 由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理， 可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形．故D正确. 故选：BD. 10. 在圆锥SO中，底面直径MN为，母线长为2.P为底面圆周上任意一点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的外接球表面积为 C. 的面积最大值为 D. 若，则点到平面SMP的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高及轴截面等腰三角形顶角，再利用锥体的体积、球的表面积、三角形面积公式求解判断. 【详解】对于A，圆锥底面圆半径，母线，则圆锥的高，体积，A正确； 对于B，圆锥轴截面等腰底角，则，外接圆直径即为圆锥外接球直径， 因此圆锥外接球半径，该球表面积，B正确； 对于C，由选项B知，则的顶角为，等腰顶角， 的面积为，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，，得，，则， ，设点到平面SMP的距离为，由， 得，因此，D正确. 故选：ABD 11. 对于复数是的共轭复数，是的模，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意复数一定是实数 B. 对任意复数一定是纯虚数 C. 对任意复数一定是实数 D. 若，则的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的平方运算，即可判断A，根据立方和差公式，集合复数运算，即可判断BC，根据复数的几何意义，判断D. 【详解】A.设，则，则，故A正确； B. ，若或时，为0，不是纯虚数，故B错误； C. 是实数，故C正确； D. ，即，且，即， 则复数，所以复数表示点的轨迹是， 表示复平面内的点与和连线的距离， 如图点关于的点为，则，得，即，此时的最小值是， 点关于的点为，则，得，即，此时的最小值是， 因为，所以的最小值为4，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知向量，且，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数m，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知正三棱台中，上底面边长为，下底面边长为，该几何体的体积为，则该几何体的侧棱长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先计算出正三棱台的高,在根据勾股定理求出该正三棱台的侧面上的高，进而在侧面中可求解. 【详解】如图:    分别为正三棱台的上、下底面的中心,取的中点,连接,作, 则, 由题意得: 正三棱台的上、下底面的面积分别为, 设正三棱台高为,则, 解得, , 所以该正三棱台的侧面上的高为, 所以在侧面等腰梯形中，侧棱 故答案为： 14. 在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由几何图形，结合向量的线性运算，化简，转化为隐圆问题，求圆上的点与圆外的点的连线的取值范围. 【详解】如图，取的中点，取的中点， ， 由条件可知，，，所以，， 则，所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 的最大值为，最小值为， 的最大值为，最小值是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在正方体中，E，F分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据正方体的性质可得，再利用线面平行的判定定理可得结论； （2）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据可得结论. 【小问1详解】 连接，在正方体中，E，F分别为的中点， 因为，所以， 则四边形是平行四边形，可得， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为在正方体中，平面， 而平面，所以， 又因为在正方形中， 且平面， 所以平面， 由（1）可知，， 所以平面. 16. 在平行四边形ABCD中，已知，点为BC上一点，点为CD上一点，满足.当时，. （1）求的值； （2）当取最小值时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时, ， 可得，, ， 化简得， 带入解得. 【小问2详解】 由题意可得，， 由(1)可知. 带入得， 设，对称轴,可知在上单调递减，在上单调递增， 则在上时取最小值，此时. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求证：； （2）若，求和的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2），6. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简推理即得. （2）由（1）的结论，利用和角的正切列式求出，再利用同角公式、正弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 即，整理得， 在中，，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则都为锐角， ， 整理得，解得，则； 由，解得，由，解得， 由正弦定理得，则， 所以的面积. 18. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）求出直三棱柱的各边长，找到二面角的平面角即可求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 ∵三棱柱为直三棱柱，∴. ∵，点是线段的中点，∴， ∴为等腰直角三角形，故， ∴，即. ∵在直三棱柱中，，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 ∵四边形为矩形，点是线段的中点，∴， ∵，∴为等边三角形，故. 由题意得，，，∴， ∵，∴. 如图，过作平面，垂足为，连接，. 由（1）得，平面平面， ∵平面，∴平面平面. ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离等于到平面的距离， ∵平面，平面，∴， ∵面，∴， ∴四边形为矩形，故，. 由平面，平面，∴，故. 由，得， 由（1）知，， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角， 在中，，∴. 由，，得为等腰直角三角形，即， ∴二面角的正弦值为. 19. 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. （1）在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； （2）已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2）①不是，证明见详解；② 【解析】 【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可. （2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可. ②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可. 【小问1详解】 由题意结合空间向量的线性运算化简得 ， ， 因为，所以， 即， 故该三棱锥是完美三棱锥， 【小问2详解】 该三棱锥不是完美三棱锥， ①为正三角形，，故，，又， 得到，由勾股定理逆定理得， 即，同理可得， 所以， 则该三棱锥不是完美三棱锥. ②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 因为，由余弦定理得， 所以，， 因为该三棱锥为完美三棱锥， 所以， ， 解得，由余弦定理得，解得， 设，，解得， 即，向量， 则，则， 不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，则， 不妨取，则， 则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $