专题1.3集合的基本运算常考题型讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.3集合的基本运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：并集的概念与运算】 知识讲解 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 【解题方法点拨】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 例题精选 【例题1】（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【例题2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，或， 则或. 故选：D. 【例题3】（24-25高一下·浙江舟山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的意义求解即可. 【详解】因为集合， 则. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·陕西·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据并集定义计算求解. 【详解】根据题意，， 所以，所以中元素的个数为. 故选：A 【相似题2】（23-24高一上·广东韶关·期中）若集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】由，可得， 又， 所以. 故选：D. 【基础知识点2：交集的概念与运算】 知识讲解 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图 例题精选 【例题1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】，解得，， 又，. 故选：B. 【例题2】（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用交集定义求出集合的元素个数，再根据真子集个数的公式即可求得结果. 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 【例题3】（24-25高一下·湖南·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知集合则集合的子集的个数为（    ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【答案】C 【分析】求出集合的元素数即可求解. 【详解】因为 所以，共有个元素， 所以集合的子集的个数为. 故选：C. 【相似题2】（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合集合交集概念求解两集合的交集. 【详解】因为,又因为 所以 故选：D 【基础知识点3：全集和补集的概念与运算】 知识讲解 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图． ． 例题精选 【例题1】（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可. 【详解】集合，又，故. 故选：C. 【例题2】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【例题3】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，所以或， 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的解法求出集合A，结合补集的概念与运算即可求解. 【详解】， 又， 所以或. 故选：C 【相似题2】（24-25高一上·广西南宁·期中）若全集，，则集合A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的补集运算求解即可. 【详解】因为全集，， 故， 故选：B 【相似题3】（24-25高一上·北京·期中）设，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 【基础知识点4：交并补运算的性质】 知识讲解 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 【例题2】（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 【例题3】（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求并集，再求补集即可； （2）由集合间的包含关系分集合是否为空集，当不为空集时，解不等式组即可； 【详解】（1）当时，，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则， 解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 【相似题3】（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述：或 【能力提升1：交并补的基本运算方法】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集，并集和补集的概念进行求解，得到答案. 【详解】， ，故 故选：A 【例题3】（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可根据交并补的概念算出各选项结果判断即可. 【详解】由题意得． 故选：C. 【相似题2】（2025·天津·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的补集和交集运算即可求解. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：D. 【相似题3】（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 【答案】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解. 【详解】全集，则， 所以. 故答案为： 【能力提升2：集合运算中参数问题的解决方法】 例题精选 【例题1】多选题［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 【例题2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 【例题3】已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 相似练习 【相似题1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 【相似题3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 【能力提升3：韦恩图在集合运算中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定阴影部分表示的集合，结合集合的基本运算可得结果. 【详解】由图得，阴影部分所表示的集合为. 由题意得，， ∴. 故选：C. 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 【例题3】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 【相似题2】多选题（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 【相似题3】多选题（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 【能力提升4：补集思想的应用】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 【例题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ． 【答案】 （答案不唯一，也可以是） 【详解】由已可得．又，所以C是中的一个．显然1是方程与的公共解，且，则解得所以． 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·上海黄浦�阶段练习）若三个关于x的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a的取值范围，进而可求出所求答案. 【详解】解：若三个方程都没有实根，则，解得， 所以当至少有一个方程有实根时，或， 故答案为: . 【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键. 【相似题2】 （24-25高一上·上海随堂练习）若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】先求出二个方程均无实根时，实数的取值范围，即可求出结果. 【详解】若方程无实根，则，得到， 若方程无实根，则，得到， 则当两方程均无实根时，， 所以若两个方程至少有一个方程有实根时，或， 故答案为：或. 【能力提升5：容斥原理的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 【例题2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）某班40名学生参加数学竞赛，他们需解答这三道题，答对情况如下表： 问题 和 和 和 答对人数 20 18 18 7 8 9 其中有2人一道题都没有答对，则这三道题都答对的人数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设答对问题的学生，答对问题的学生，答对问题的学生，根据容斥原理计算即可求解. 【详解】设答对问题的学生，答对问题的学生，答对问题的学生， 则 ， ， 解得，即这三道题都答对的人数为6人. 故选：. 【例题3】多选题（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 【相似题2】（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【答案】180 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】依题意，， 而，， 所以 . 故答案为：180 【能力提升6：集合运算中的新定义题型】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】由集合新定义确定，即可求解. 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B 【例题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 【例题3】（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 相似练习 【相似题1】多选题（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 【相似题2】多选题（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 【相似题3】多选题（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 【易错点1：对集合中的元素含义理解不清】 例题精选 【例题1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【详解】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C 【例题2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集. 【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 【例题3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，从而得到交集. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025·广东·二模）若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，再求交集运算即可. 【详解】， 所以， 故选：B. 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，那么集合（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程，解出即可. 【详解】联立，解得， 则. 故选：D. 【相似题3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 【易错点2：忽略空集】 例题精选 【例题1】多选题［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 【例题2】多选题（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 相似练习 【相似题1】 （24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 【相似题2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 【易错点3：含参数问题讨论不全面】 例题精选 【例题1】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【例题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 【相似题2】（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 课后针对训练 1、 单选题 1.（2025•河北模拟）已知集合A＝{x|x2＜5}，，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D． 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 5．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 10．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 12．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 14．已知集合和，满足，，则实数 ． 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 16．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 20．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D A D B C B 题号 11 12 答案 AD BC 1.【考点】求集合的交集．版权所有 【专题】集合思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；运算求解． 【分析】根据集合的描述法结合一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，再进行交集的运算即可． 【解答】解：，B＝{x∈Z|x＞0}， ∴A∩B＝{1，2}． 故选：C． 2．A 【分析】应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由题设，则． 故选：A. 3．B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 4．B 【分析】由题意知，再列举出所有符合条件的集合即可. 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 5．D 【详解】若，且，则，即. 6．A 【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可. 【详解】由题可得或，则或． 故选：A. 7．D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 8．B 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 9．C 【分析】根据Venn图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可. 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 10．B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 11．AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 12．BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 13． 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 14． 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 15． 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 16．17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 17．(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 18．(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 19．(1) (2) 【分析】（1）利用集合的混合运算集结果求得，进而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解. 【详解】（1）因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. （2）由（1）可知，， ， 所以，故. 20．(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.3集合的基本运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：并集的概念与运算】 知识讲解 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 【解题方法点拨】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 例题精选 【例题1】（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【例题3】（24-25高一下·浙江舟山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·陕西·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【相似题2】（23-24高一上·广东韶关·期中）若集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【基础知识点2：交集的概念与运算】 知识讲解 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图 例题精选 【例题1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【例题3】（24-25高一下·湖南·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知集合则集合的子集的个数为（    ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【相似题3】（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【基础知识点3：全集和补集的概念与运算】 知识讲解 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图． ． 例题精选 【例题1】（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【相似题2】（24-25高一上·广西南宁·期中）若全集，，则集合A=（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一上·北京·期中）设，，若，则实数 . 【基础知识点4：交并补运算的性质】 知识讲解 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【例题2】（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 【例题3】（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【相似题2】（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【相似题3】（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【能力提升1：交并补的基本运算方法】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·天津·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 【能力提升2：集合运算中参数问题的解决方法】 例题精选 【例题1】多选题［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【例题2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【例题3】已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 相似练习 【相似题1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【相似题3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【能力提升3：韦恩图在集合运算中的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题3】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【相似题2】多选题（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【能力提升4：补集思想的应用】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【例题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ． 相似练习 【相似题1】（20-21高一上·上海黄浦�阶段练习）若三个关于x的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为 . 【相似题2】（24-25高一上·上海随堂练习）若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 . 【能力提升5：容斥原理的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 【例题2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）某班40名学生参加数学竞赛，他们需解答这三道题，答对情况如下表： 问题 和 和 和 答对人数 20 18 18 7 8 9 其中有2人一道题都没有答对，则这三道题都答对的人数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题3】多选题（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【相似题2】（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【相似题3】（24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【能力提升6：集合运算中的新定义题型】 例题精选 【例题1】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【例题2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 相似练习 【相似题1】多选题（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【相似题2】多选题（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【易错点1：对集合中的元素含义理解不清】 例题精选 【例题1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·广东·二模）若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，那么集合（    ） A．， B． C． D． 【相似题3】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【易错点2：忽略空集】 例题精选 【例题1】多选题［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【例题2】多选题（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【相似题2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【易错点3：含参数问题讨论不全面】 例题精选 【例题1】已知集合． (1)若，求实数a的值； 【例题2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【相似题2】（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025•河北模拟）已知集合A＝{x|x2＜5}，，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D． 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 5．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 10．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 12．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 14．已知集合和，满足，，则实数 ． 15．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 16．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 20．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$