专题1.1集合的概念与表示常考题型讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.1集合的概念与表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【知识点1：集合与元素的概念】 知识讲解 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【例题2】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【例题3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 【相似题2】多选题（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【相似题3】多选题（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【知识点2：元素与集合的关系】 知识讲解 元素与集合关系的判断 【知识点的认识】 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 常用数集及其记法 【知识点的认识】 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记为R． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【例题2】（25高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【相似题3】 （24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【知识点3：元素的三个特性】 知识讲解 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征． （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 【解题方法点拨】 解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【例题2】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】已知集合，则实数a的值为 ． 相似练习 【相似题1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【相似题2】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【相似题3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【知识点4：集合的表示方法】 知识讲解 1.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合的表示方法 (1)自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， （2）用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法 （3）用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． （4）图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合.集合{12}用图示法表示如图所示 例题精选 【例题1】集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 相似练习 【相似题1】多选题下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【相似题2】多选题（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【相似题4】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若集合，用列举法表示集合A，则 ． 【相似题5】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【相似题6】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【能力提升1：集合不同表示方法之间的转化】 知识讲解 【知识点的认识】 1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开． 2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π} 3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合． 4．自然语言（不常用）． 【解题方法点拨】 在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合，用描述法可表示为 ． 【相似题3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）集合可用列举法表示为 . 【能力提升2：数集与点集的区别】 知识讲解 在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【例题3】多选题（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【相似题2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【能力提升3：集合与方程的综合问题】 知识讲解 集合与方程的综合问题 1. 方程的解集表示 一元方程： 例：方程 的解集为 （数集）。 含参数方程： 例：方程 的解集： 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 （空集）。 2. 点集与方程组 二元方程组： 例：方程组 的解集为点集 （两直线交点）。 二次方程与几何图形： 例：方程 的解集为点集，表示以原点为圆心、半径为2的圆上所有点。 3. 解的存在性与参数分析 判别式应用： 一元二次方程 （）： 时，有2个不同实数解； 时，有1个实数解（重根）； 时，无实数解（实数集内解集为 ）。 例：若集合 中至多1个元素，则 。 四、核心要点总结 方程与集合结合： 数集用于表示方程的数值解； 点集用于表示方程组的几何解（如交点）； 参数问题需结合判别式或分类讨论分析解的情况。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【例题3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 【相似题2】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【相似题3】（24-25高一上·重庆·期中）设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【能力提升4：集合概念中的新定义问题】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【例题2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3】多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【相似题2】【多选题】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 【易错点1：不能正确理解集合的表示方法】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例题2】多选题（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 相似练习 【相似题1】多选题（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【相似题2】（24-25高一上·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【易错点2：集合与方程的综合讨论不够全面】 知识讲解 一、核心考点梳理 1. 集合与方程的基本对应关系 有限集：方程有明确有限个解，集合元素对应方程的根（如一元一次方程、一元二次方程有实根的情况）。 无限集：方程解为无限个（如不等式解集、含参数的恒成立问题），需用区间或不等式表示。 2. 常见方程类型 一元一次方程：形如 ，注意讨论 时是否有解（决定集合为空集或无限集）。 一元二次方程：（重点），需结合判别式 分析根的情况： ：两个不同实根（集合含2个元素）； ：两个相等实根（集合含1个元素）； ：无实根（集合为空集）。 分式方程/根式方程：需注意定义域（如分母不为0、根号下非负），解集需验根。 二、解题关键步骤与策略 1. 明确集合元素的意义 看清代表元素：集合是“数集”还是“点集”？ 例：（数集，元素为方程的根）； （点集，元素为抛物线上的点）。 区分元素与集合的关系：元素是否满足方程条件，注意符号 （属于）与 （不属于）的使用。 2. 含参数方程的分类讨论 参数位置：参数可能在二次项系数、常数项或一次项系数中，需分情况讨论： 二次项系数含参：先讨论系数为0时是否退化为一次方程（避免漏解）。 例：解方程 ，需先讨论 （一次方程）和 （二次方程，用判别式）。 常数项或一次项含参：结合判别式或韦达定理（根与系数关系）分析。 例：已知集合 中元素之和为3，利用韦达定理得 ，即 。 3. 利用集合性质简化问题 集合元素的互异性：方程的解必须满足集合中元素互不相同。 例：若集合 ，则 ，即 。 空集的特殊性：空集是任何集合的子集，需注意方程无解的情况是否符合题意。 例：若 ，则 （此时方程无解）。 三、易错点规避 1. 忽略方程类型的前提条件 误区：直接用二次方程判别式解决问题，未注意二次项系数是否为0。 对策：遇到“二次”形式方程时，先明确是否为一元二次方程（即二次项系数不为0），再决定是否用判别式。 2. 未考虑定义域对解集的限制 误区：解分式方程或根式方程时，未排除使分母为0或根号下为负的解。 对策：解完方程后，必须将解代入原方程验根，确保满足所有隐含条件。 3. 混淆集合元素与方程根的关系 误区：误将集合元素个数等同于方程根的个数，忽略互异性或定义域限制。 对策：集合元素个数可能少于方程根的个数（如重复根或不合题意的根需舍去），需逐一验证。 四、满分答题模板 1. 步骤化解题流程 1. 审题：明确集合代表元素、方程类型及参数位置。 2. 分类讨论： 若为含参二次方程，先讨论二次项系数是否为0； 结合判别式分析根的情况（实根个数、正负等）。 3. 结合集合性质：利用互异性、空集等条件筛选参数值。 4. 验根与验证：确保解满足方程定义域和集合要求。 例题精选 【例题1】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 相似练习 【相似题1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 2．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|5x2+4x＝0}，则集合A＝（　　） A．{0} B． C． D． 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 7．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．10以内的质数组成的集合是 B．与是同一个集合 C．方程的解集是 D．集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 9．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 10．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 11．（22-23高一上·陕西商洛·期中）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 13．（20-21高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数 14．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 16．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 20．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.1集合的概念与表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【知识点1：集合与元素的概念】 知识讲解 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 【例题3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 【答案】B 【分析】根据集合元素的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】ACD选项中的对象不满足确定性，ACD选项中的对象不能构成集合； B选项中的对象满足确定性、互异性和无序性，B选项中的对象可以构成集合. 故选：B. 【相似题2】多选题（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 【相似题3】多选题（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确. 故选：ABD 【知识点2：元素与集合的关系】 知识讲解 元素与集合关系的判断 【知识点的认识】 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 常用数集及其记法 【知识点的认识】 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记为R． 例题精选 【例题1】（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 【例题2】）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 【例题3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 【相似题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系即可求解. 【详解】由于，故和0是中元素. 故选：D 【相似题3】 （24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 【知识点3：元素的三个特性】 知识讲解 集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征． （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 【解题方法点拨】 解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 【例题2】已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 【例题3】已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 相似练习 【相似题1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【相似题2】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 【知识点4：集合的表示方法】 知识讲解 1.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合的表示方法 (1)自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， （2）用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法 （3）用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． （4）图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合.集合{12}用图示法表示如图所示 例题精选 【例题1】（25高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 【例题2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 【例题3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 相似练习 【相似题1】多选题下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 【相似题2】多选题（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 【相似题3】多选题（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 【相似题4】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若集合，用列举法表示集合A，则 ． 【答案】 【分析】解方程组可求得，由此可得结果. 【详解】由，解得或. 所以集合. 故答案为：. 【相似题5】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【相似题6】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 【能力提升1：集合不同表示方法之间的转化】 知识讲解 【知识点的认识】 1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开． 2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π} 3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合． 4．自然语言（不常用）． 【解题方法点拨】 在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 【例题2】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 【例题3】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合. 【详解】 要想越小，则取值越小， 故时，；故时，；故时，；故时，； 故集合中最小的4个元素所构成的集合为， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合，用描述法可表示为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据集合元素特征和描述法定义得到答案. 【详解】. 故答案为：（答案不唯一）． 【相似题3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）集合可用列举法表示为 . 【答案】 【分析】求得方程的根据，结合和集合的表示方法，即可求解. 【详解】由方程，解得或， 因为，所以，即集合. 故答案为：. 【能力提升2：数集与点集的区别】 知识讲解 在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标． 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 【例题3】多选题（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】解方程组并结合一次函数图象交点组成的集合为点集，即可求得答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是或， 而，不是点集，不合题意； 故选：CD 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【相似题2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【能力提升3：集合与方程的综合问题】 知识讲解 集合与方程的综合问题 1. 方程的解集表示 一元方程： 例：方程 的解集为 （数集）。 含参数方程： 例：方程 的解集： 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 （空集）。 2. 点集与方程组 二元方程组： 例：方程组 的解集为点集 （两直线交点）。 二次方程与几何图形： 例：方程 的解集为点集，表示以原点为圆心、半径为2的圆上所有点。 3. 解的存在性与参数分析 判别式应用： 一元二次方程 （）： 时，有2个不同实数解； 时，有1个实数解（重根）； 时，无实数解（实数集内解集为 ）。 例：若集合 中至多1个元素，则 。 四、核心要点总结 方程与集合结合： 数集用于表示方程的数值解； 点集用于表示方程组的几何解（如交点）； 参数问题需结合判别式或分类讨论分析解的情况。 例题精选 【例题1】 （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过讨论和即可求解. 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 【例题3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 【答案】3 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合函数的表达式,通过集合的元素个数为3，得到 关系即可判断； 【详解】若集合的元素个数为3，则方程有三个不等实根, 则有, 所以方程一定有这一个根，且不是方程的根， 又，所以有两个不等于的根， 所以集合的元素个数也一定为3. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据集合的元素个数为3，列出关于方程的正确约束条件，进而根据约束条件即可判断方程的解的情况. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 【答案】 【分析】若，此时，为的根，再分和两种情况，求出相应的， 得到两个三元数对，若，即，此时为的根，同理可得到两个三元数对，得到答案. 【详解】由题意得为方程的一个解， 是的一个解， 若，即，此时为的根， 故是的根，将代入得①， 若②， 式子①②联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故③， 式子①③联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，即，此时为的根， 故为的根，即④， 若⑤， 式子④⑤联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故⑥， 式子④⑥联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 故答案为： 【相似题2】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【相似题3】（24-25高一上·重庆·期中）设为实数，集合. (1)若，求S； (2)若，求满足的条件； (3)设，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】(1) (2)，，或， (3) 【分析】（1）代入，解方程求解可得； （2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，. （2）因为，则，即， 当2为方程的根时，则，解得； 当2不为方程的根时，则. 综上所述，，，或，. （3）， 若，， 则，又， 所以有，解得 验证：当时，， 不满足集合S恰有两个元素，故； 若，由， ， 则，又，则，又， 所以，即. 由，则，即，解得. 验证：当时， 也不满足集合S恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和2. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 【能力提升4：集合概念中的新定义问题】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 【例题2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用特例说明①③④的真假，根据概念判断②的真假. 【详解】若，，而，故整数集不是“紧密集合”，所以①错； 根据“紧密集合”的定义，实数集是“紧密集合”，所以②正确； 因为集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，所以③正确； 因为集合是“紧密集合”，但，故④错. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是“紧密集合”的概念.正确理解概念是解决问题的关键. 【例题3】多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 【相似题2】【多选题】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 【相似题3】（24-25高一上·广东广州·期中）非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”； (3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”. 【答案】(1)集合是“坏集”， 集合是“好集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)且 【分析】（1）根据“好集”还是“坏集”的定义，依次验证集合即可得到结论； （2）有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，根据指数函数单调性和“坏集”定义可得结论； （3）首先确定且为“超级好集”，再证明不可能存在其他元素即可. 【详解】（1）对于集合，当时，，；集合是“坏集”； 对于集合，不妨令， 当时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若和中至少有一个属于，则集合是“好集”. （2）假设有限集合中的大于的最小元素为，最小元素为，则，， ，，，，有限集合是“坏集”. （3）当且时，，，是“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其他元素. 由（2）知：集合中不可能同时有大于和小于的元素， 若，且为中大于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于的元素中最大的元素， 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其他元素. 满足题意的“超级好集”且. 【易错点1：不能正确理解集合的表示方法】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 【例题2】多选题（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 相似练习 【相似题1】多选题（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 【相似题2】（24-25高一上·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，方程解集为. (3) (4) 【分析】（1）解一元二次方程即可得解集. （2）对分类讨论即可得方程的解集. （3）利用换元法令，把原方程化为一元二次方程，结合的取值范围即可得到原方程的解集. （4）利用代入消元法即可得到方程组的解集. 【详解】（1）由得，， 解得，故方程的解集为. （2）当时，方程无解，解集为， 当时，解方程得，方程解集为. （3）令，则方程可化为， 解方程得，（舍）， ，故方程解集为. （4）由得，，解得, 方程组的解为，， 故方程组解集为. 【易错点2：集合与方程的综合讨论不够全面】 知识讲解 一、核心考点梳理 1. 集合与方程的基本对应关系 有限集：方程有明确有限个解，集合元素对应方程的根（如一元一次方程、一元二次方程有实根的情况）。 无限集：方程解为无限个（如不等式解集、含参数的恒成立问题），需用区间或不等式表示。 2. 常见方程类型 一元一次方程：形如 ，注意讨论 时是否有解（决定集合为空集或无限集）。 一元二次方程：（重点），需结合判别式 分析根的情况： ：两个不同实根（集合含2个元素）； ：两个相等实根（集合含1个元素）； ：无实根（集合为空集）。 分式方程/根式方程：需注意定义域（如分母不为0、根号下非负），解集需验根。 二、解题关键步骤与策略 1. 明确集合元素的意义 看清代表元素：集合是“数集”还是“点集”？ 例：（数集，元素为方程的根）； （点集，元素为抛物线上的点）。 区分元素与集合的关系：元素是否满足方程条件，注意符号 （属于）与 （不属于）的使用。 2. 含参数方程的分类讨论 参数位置：参数可能在二次项系数、常数项或一次项系数中，需分情况讨论： 二次项系数含参：先讨论系数为0时是否退化为一次方程（避免漏解）。 例：解方程 ，需先讨论 （一次方程）和 （二次方程，用判别式）。 常数项或一次项含参：结合判别式或韦达定理（根与系数关系）分析。 例：已知集合 中元素之和为3，利用韦达定理得 ，即 。 3. 利用集合性质简化问题 集合元素的互异性：方程的解必须满足集合中元素互不相同。 例：若集合 ，则 ，即 。 空集的特殊性：空集是任何集合的子集，需注意方程无解的情况是否符合题意。 例：若 ，则 （此时方程无解）。 三、易错点规避 1. 忽略方程类型的前提条件 误区：直接用二次方程判别式解决问题，未注意二次项系数是否为0。 对策：遇到“二次”形式方程时，先明确是否为一元二次方程（即二次项系数不为0），再决定是否用判别式。 2. 未考虑定义域对解集的限制 误区：解分式方程或根式方程时，未排除使分母为0或根号下为负的解。 对策：解完方程后，必须将解代入原方程验根，确保满足所有隐含条件。 3. 混淆集合元素与方程根的关系 误区：误将集合元素个数等同于方程根的个数，忽略互异性或定义域限制。 对策：集合元素个数可能少于方程根的个数（如重复根或不合题意的根需舍去），需逐一验证。 四、满分答题模板 1. 步骤化解题流程 1. 审题：明确集合代表元素、方程类型及参数位置。 2. 分类讨论： 若为含参二次方程，先讨论二次项系数是否为0； 结合判别式分析根的情况（实根个数、正负等）。 3. 结合集合性质：利用互异性、空集等条件筛选参数值。 4. 验根与验证：确保解满足方程定义域和集合要求。 2. 规范书写示例 题目：已知集合 中仅有一个元素，求实数 的值。 解答： 当 为一元一次方程时，二次项系数为0，即 （不成立，舍去）。 当方程为一元二次方程时，由集合仅有一个元素知 ，即： 验证：此时方程有两个相等实根，满足集合元素互异性，故 。 例题精选 【例题1】（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 【答案】 【分析】由题意，方程有唯一解，由于分母，所以先讨论与时分式可约分的情况，此时只有唯一解，符合题意；再讨论时，将方程转化为有唯一解，即求解值. 【详解】由题意，集合是单元素集， 即方程有唯一解， ， 当时，原式等于，符合题意； 当时，原式等于，符合题意； 当时，方程转化为有唯一解， ，得， 所以的取值集合为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解； （2）结合（1）可直接求解； （3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围. 【详解】（1）若，则或，当时，方程为， 其解为，所以A是单元素集． 当时，方程为，无实数解，所以A为空集． 所以，若A是空集， 则或 即，所以a的取值范围为； （2）由（1）可知，若A是单元素集，则或即； （3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 2．（21-22高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2024秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|5x2+4x＝0}，则集合A＝（　　） A．{0} B． C． D． 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（     ） A． B．或 C． D． 7．（24-25高一上·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．10以内的质数组成的集合是 B．与是同一个集合 C．方程的解集是 D．集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 9．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 10．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 11．（22-23高一上·陕西商洛·期中）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 13．（20-21高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数 14．（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 16．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 四、解答题 17．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 20．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C C D B B CD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 2．B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 3．C 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 4．【考点】列举法表示集合．版权所有 【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解． 【分析】解一元二次方程，即可求出集合A． 【解答】解：由5x2+4x＝0，得x（5x+4）＝0， 解得x1＝0，， 故． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，考查了集合的表示方法，属于基础题． 5．C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 6．C 【分析】首先解出方程组，再写出其解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解集是或. 故选：C 7．D 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】选项A：10以内的质数组成的集合是，A说法错误； 选项B：表示空集，不含任何元素，所以与不是同一个集合，B说法错误； 选项C：由解得，根据集合中元素互异性可得方程的解集是，C说法错误； 选项D：根据集合中元素互异性可知互不相等，所以一定不是等腰三角形，D说法正确； 故选：D 8．B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 9．B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 10．CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 11．BCD 【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案. 【详解】， 选项A，不符合； 选项B，，符合； 选项C，符合； 选项D，，符合， 故选：BCD. 12．5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 13．或 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 14． 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 15．4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 16． 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 17．(1) (2) 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 18．(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 19．(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 20．(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【详解】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$