专题1.2集合间的关系常考题型讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.2集合间的基本关系】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1:子集的概念】 知识讲解 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出；（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 例题精选 【例题1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【相似题3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【基础知识点2：空集的含义】 知识讲解 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {}或∈{} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例题精选 【例题1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础知识点3：韦恩图】 知识讲解 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 韦恩图表示集合间关系 例题精选 【例题1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【基础知识点4：子集的性质】 知识讲解 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【例题2】【多选】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 相似练习 【相似题1】（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【相似题2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【能力提升1：判断两个集合的关系】 知识讲解 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【例题2】（23-24高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【例题3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【相似题2】（23-24高一·全国·课堂例题）（1）对于集合A，B，C，如果，，则，若AB，呢？ （2）若，则对吗？ 【相似题3】（23-24高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【能力提升2：确定集合的子集和子集的个数】 知识讲解 一、核心结论：子集个数公式 若集合 含有 个元素（），则： 子集个数： 个 真子集个数： 个（排除集合 本身） 非空子集个数： 个（排除空集） 非空真子集个数： 个（排除空集和集合 本身） 例题精选 【例题1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【例题2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题3】（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【相似题3】（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【能力提升3：空集的特殊性及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【例题2】多选题（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【例题3】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【相似题2】（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【能力提升4：根据集合间的关系求参数范围】 知识讲解 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【例题2】（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【例题3】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知集合，，若，则实数 ． 【相似题2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【易错点1：忽略空集】 例题精选 【例题1】多选题已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【例题2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【易错点2：求参数时忽略端点值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 2．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 5．（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 7．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 9．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 10．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，则的子集个数为 ． 四、解答题 14．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 16．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 17．（21-22高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 18．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新高一数学常考题型归纳 【专题1.2集合间的基本关系】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1:子集的概念】 知识讲解 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出；（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 例题精选 【例题1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 【例题2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 【例题3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可. 【详解】由题意可得：， 所以，，，，即不是集合M的子集， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 【相似题2】指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 【相似题3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【基础知识点2：空集的含义】 知识讲解 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {}或∈{} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例题精选 【例题1】（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【例题2】（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，中不含任何元素，C错误； 对于D，不是的元素，因此不是的子集，D错误. 故选：B 【相似题2】多选题（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 【相似题3】多选题（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】从元素与集合的关系、集合与集合的关系两方面来看即可求解. 【详解】从元素与集合的关系来看：成立，不成立， 从而集合与集合的关系来看：成立，但不成立. 故选：AB. 【基础知识点3：韦恩图】 知识讲解 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 韦恩图表示集合间关系 例题精选 【例题1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含.故选：A 【例题2】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，集合没有包含关系故选：A 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以集合的元素集合也有，即.故选：B 【相似题2】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD. 【基础知识点4：子集的性质】 知识讲解 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 【例题2】【多选】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 相似练习 【相似题1】（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【相似题2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【能力提升1：判断两个集合的关系】 知识讲解 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 【例题2】（23-24高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集定义可判断； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； 【详解】（1）x是矩形是平行四边形， ； （2），， ，， 的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数， 例如： 所以； 【例题3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 【答案】集合为集合的真子集，证明见详解 【分析】根据题意先证明为集合的子集，再说明，，即可得结果. 【详解】集合为集合的真子集，证明如下： 对任意，则， 且，则，可知集合为集合的子集， 又因为，可知， 令，解得，可知； 综上所述：集合为集合的真子集. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【相似题2】（23-24高一·全国·课堂例题）（1）对于集合A，B，C，如果，，则，若AB，呢？ （2）若，则对吗？ 【答案】（1）AC；（2）对． 【详解】（1）若AB，则集合A中每个元素都是集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不属于集合A， 又，则集合B中每个元素都是集合C的元素， 所以集合A中每个元素都是集合C的元素，且集合C中至少有一个元素不属于集合A，即AC； （2）若，则集合A中至少有一个元素不属于，即，结论正确. 【相似题3】（23-24高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 【能力提升2：确定集合的子集和子集的个数】 知识讲解 一、核心结论：子集个数公式 若集合 含有 个元素（），则： 子集个数： 个 真子集个数： 个（排除集合 本身） 非空子集个数： 个（排除空集） 非空真子集个数： 个（排除空集和集合 本身） 例题精选 【例题1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 【例题2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得或或， 则满足题意的的个数是3. 故选：B. 【例题3】（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【分析】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【详解】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B 【相似题2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 【相似题3】（22-23高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【能力提升3：空集的特殊性及其应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 【例题2】多选题（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 【例题3】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【相似题2】（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【相似题3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【能力提升4：根据集合间的关系求参数范围】 知识讲解 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【例题2】（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【例题3】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知集合，，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】根据子集概念可知或，解之并验证是否符合题意即可. 【详解】解：因为，所以或， 所以，或， 经验证当时，，集合不满足元素的互异性， 或均符合题意，所以或 故答案为：或 【相似题2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 【易错点1：忽略空集】 例题精选 【例题1】多选题已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【分析】按照B为空集和B不为空集，根据集合的包含关系分类讨论求得实数a的值，进而做出正确判断. 【详解】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 【例题2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 【答案】 【分析】由可得或，分别列方程求即可. 【详解】，， 所以或， 当时，且，故； 当时，，解得或； 综上所述：实数组成的集合为. 故答案为：. 【相似题2】（20-21高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 【易错点2：求参数时忽略端点值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式，求出集合，再借助数轴分析，即可求解. 【详解】因为，且，所以.    故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 【相似题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2 2．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 5．（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 7．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 9．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 10．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，则的子集个数为 ． 四、解答题 14．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 16．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 17．（21-22高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 18．（22-23高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C D C C B BCD 题号 11 12 答案 BC AC 1．B 【分析】利用集合间的包含关系列出方程，求解检验即得. 【详解】由题意，，则有或，解得或， 显然当时，集合中的元素出现重复，与集合元素的互异性矛盾， 而时，，，满足. 故选：B. 2．B 【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等和集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，故，A错； 对于B选项，，， 故，B对； 对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错； 对于D选项，， 故，D错. 故选：B. 3．B 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B 4．C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 5．C 【详解】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答】， ， ， 由题意如图： ，解得a 故选：C． 6．D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 7．C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 8．C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 9．B 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】满足⫋的集合可以为， 故集合A的个数为3. 故选：B 10．BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 11．BC 【分析】运用元素与集合的关系，集合与集合关系，结合空集概念解题即可 【详解】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 12．AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 13．4 【分析】先求出交集元素个数，再应用子集个数公式计算即可. 【详解】由，解得或， 中有个元素， 故的子集个数为为. 故答案为：4. 14．(1)14 (2)1和2． 【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可； （2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 15．(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 16．(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 17．(1) (2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解， 则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 18．（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$