19.1 函数-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.1变量与函数 要点提示 1.变量的概念：在一个变化过程中，数值发生变化的量，叫做变量， 2常量的概念：在一个变化过程中，数值格终不变的量，叫做常量。 3,函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的岛数，如果当x=时y=b,那么h叫微当自变量 的值为时的盖越值.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解折式， 4.函数自变量取值范围的定义：使函数关系式有意义的自变量的所有取值叫微函数自变量的取值范围 O1固基础 知识点2函数的概念 知识点1变量与常量 4.下列关于变量x,y的关系，其中y不是x的 1.(2024上饶广信区期未)刘 函数的是 178.00 金额/元 老师到加油站加油，如图， 20.00 数量/L 这是他所用的加油机上某 8.90 单价/元 一时刻显示的数据，则其 第1题图 中的常量是 A.金额 B.单价 5.(2024南昌月考)下列曲线中能表示y是x C.数量 D.金额和数量 的函数的是 2.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总 价是y元.请先填写表格，再用含x的式子表 示 份数 知识点3函数值 总价/元 0.4 1.6 6.已知y是x的函数，y=一2x+3.当自变量 x与y之间的关系式是 ,其中 () 是常量 是变量 x=6时，函数值是 3.(教材变式)指出下列关系中的变量和常量： A.-6 B.-9 C.-12 D.-15 (1)圆的面积公式S=r2(S是圆的面积，r 7.根据如图所示的程序计算函数y的值.若输 是圆的半径)： 入x的值是1，则输出y的值是一1.若输入 (2)一种商品的单价为a元，购买该商品所 x的值是9，则输出y的值是 付的总金额y(单位：元)与购买的数量x(单 r≥3 -+0 位：件)之间的关系式为y=aux. 输入x 榆出y x<3 =-2r+ 第7题图 A.1 B.-17 C.-1 D.一4 下册第十九有 知识点4函数中自变量的取值范围 15.若定义f(x)=3x-2,如f-2)=3×(-2) 8.函数y=十中，自变量x的取值范围是 2=一8.给出下列说法：①当f(x)=1时，x= x-2 1;②对于正数x,f(x)>f(一x)均成立： ( ③f(x-1)+f(1-x)=0:④当a=2时，f(a A.x≠1 B.x≥2 C.x>0D.x>2 一x)=a一f(x).其中正确的是 9.在函数y=5x十3中，自变量x的取值范围 (填序号) 16.(教材变式)为了解某品牌汽车的耗油量，某 是 课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把 ◆易错点对函数的概念理解不清而出错 试验的数据记录下来，制成如下表格： 10.在下表中，设x表示乘公共汽车的站数， 汽车行驶的 3 y表示应付的票价。 时间t/h 油箱中剩余的 100 94 88 82 5678910 油量Q/L /元 2 33344 (1)根据上表的数据，请你写出Q与1之间 根据此表，下列说法正确的是 的关系式 A.y是x的函数B.y不是x的函数 (2)汽车行驶5h后，油箱中剩余的油量为 C.x是y的函数D.以上说法都不对 多少？ 02提能力念 山.在圆维体积公式V=x矿h(r表示圆锥底 面半径，h表示圆锥的高)中，常量与变量分 O3拓思维念 别是 17.创新意识将一张长方形的纸对折，如图 A常量是写，变量是V,小 ①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每 B常量是写，变量是么 条折痕与上次的折痕保持平行，如图②，连 续对折3次后，可以得到7条折痕，如 C.常量是号x,变量是V,hr 图③. ■ D.常量是h,变量是V,π，r 图① 图2 图③ 12.下列关系式中，变量y不是变量x的函数 回答下列问题： 的是 (1)对折4次可以得到 条折痕： A.y=±√E(x≥0)B.x+y=10 (2)写出折痕的条数y与对折次数x之间 C.y=lxl D.xy=1(x≠0) 的函数关系式： 13.函数y=(x-√3)°+ 1一中自变量的取 (3)求出对折10次后的折痕条数. x+2 值范围是 14.在关系式y=3x-1中，当x由1变化到5 时，y由 变化到 数学八年级J版 19.1.2函数的图象 第1课时 函数的图象 要点提示 1.函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么 坐标平面内由这些，点组成的图形，就是这个函数的图象， 2.画函数图象的步骤：(1)列表：(2)猫，点：(3)连线 3.从函数图象中获取信息：当函数图象从左到右呈“上升”秋态时，函数y随x的增大而增大：当函数图象从左 到右呈“下降”秋态时，函数y随「的增大而减小.反之也成主当x在装个区间上取值时，如果函数y的值始 终是同一个常数，那么在这个区间上函数的图象是平行于x辅的线段（或射线成直线）， O1因基础 g。e。。。。。0 知识点2画函数的图象 3.跨语文学科“乌鸦喝水”的故事耳熟能详。 知识点1函数图象的意义 如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此 1.(2024九江都昌期末)如图所示的是汽车行 时水位在a处，喝不着水，沉思了一会后，聪 驶速度y(单位：km/h)与时间x(单位：min) 明的乌鸦衔来一个个小石子放人瓶中，水位 之间的函数关系图象.下面说法不正确的个 上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水.设乌鸦衔 数为 ( 来的石子个数为x,水位高度为y.若每个石 ①汽车行驶时间为40min: 子的体积一样，下列图象中最符合故事情境 ②在AB段汽车是在匀速行驶： 的大致图象是 ③在第30分钟时，汽车的速度是90km/h: ④第40分钟时，汽车停下来了. y/(km/h) 80 60 A B D 40 20 B 4.(教材变式)(1)在下图中画出函数y=3.x 0510152025303540 x/min 2的图象 第1题图 ①列表： A.1 B.2 C.3 D.4 2.某航空公司行李托运的费用y(单位：元)与质 量x(单位：kg)之间的函数关系图象如图所 ②描点并连线 示.由图可知，当质量不超过 kg (2)判断点A(-3,-4),B(2,-2),C(3,7) 时，可以免费托运， 是否在函数y=3x一2的图象上. 元 900 600 300 2处 002030400爪g 第2题图 第3题图 下册第十九帝 O2提能力多 ……… 的函数，小南家到该度假村 的距离是 km; 5.(2024江西)将常温中的温度计插人一杯 (2)小南出发 h后爸爸驾车出发， 60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y(单 爸爸驾车的平均速度为 km/h: 位：℃)与时间x(单位：min)之间的关系用 (3)请直接写出小南从家里到度假村的路途 图象可近似表示为 中，当他与爸爸相遇时，离家的距离. s/km 70 x/min 0 x/min 0 x/min 0 x/min 6 A D 6.如图所示的是底部放有一个实心铁球的长 20 方体水槽轴截面示意图.现向水槽匀速注 0 2 5 水，下列图象中，能大致反映水槽中水的深 度y与注水时间x之间的关系的是() ……O3拓思维 。。 9.应用意识如图①，AB∥CD∥EF,BC∥DE ∥AF,AB⊥BC.已知动点P以1cm/s的速 度按B→C→D→E→F→A的路径运动， △ABP的面积S(单位：cm)随时间t(单 图2 第6题图 第7题图 位：s)的变化如图②所示.若AB=4cm,试 7.如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B 回答下列问题： =30°，直线1⊥AB.当直线1沿射线BC方 (1)图①中BC长是多少？ 向，从点B开始向右平移时，直线！与四边 (2)图②中a是多少？ 形ABCD的边分别相交于点E,F.设直线I (3)图①的面积是多少？ 向右平移的距离为x,线段EF的长为y,且 S/em y与x之间的函数关系图象如图②所示，则 四边形ABCD的周长为 46911b 8.小南一家到度假村度假，小南和妈妈坐公交 图2 车先出发，爸爸驾车沿着相同的道路后出 发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家 里，于是立即返回家里取，取到东西后又马 上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不 计).如下图所示的是他们离家的距离s(单 位：km)与小南离家的时间t(单位：h)的关 系图，请根据图回答下列问题： (1)在上述变化过程中， 是 50 数学八年级RJ版 第2课时 函数的表示方法 要点提示 1,用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫微辮桥式法。 2.用表格表示变量间的西数关系的方法叫微列表法。 3.用图象表示变童间的函数关系的方法叫做用象法 O1固基础 则C与P之间的关系式为 44.4 A.C=0.5P-0.5 B.C=2P-0.5 知识点1解析式法 C.C=2P+0.5 D.C=0.5P+1.5 1.某城市市区人口x万人，市区绿地面积50 5,某地区用电量与应缴电费之间的关系如下 万平方米，平均每人拥有绿地ym,则y与x 表，则下列叙述错误的是 ) 之间的关系式为 ( A.y=x+50 B.y=50.x 用电量/kW·h 1 2 3 C.y=50 D清 应缴电费/元 0.551.101.652.20 2.(2024北京海淀区二模)某种型号的纸杯如 A.用电量每增加1kW·h,电费增加0.55元 图①所示.若将n个这种型号的纸杯按图②@ B.若用电量为8kW·h,则应缴电费4.4元 中的方式规律地叠放在一起，叠在一起的纸 C.若应缴电费2.75元，则用电量为5kW·h 杯的总高度为H,则H与n满足的函数关 D.若小明家的应缴电费比小红家多2元，则 系是 ( 小明家的用电量比小红家的用电量多 A.H=0.3n B.o 1.1kW·h C.H=10+0.3n D.H=10-0.3n 知识点3图象法 6.(教材变式)如图所示的是八年级某 6 学生把水滴人一个玻璃容器的示意 图（滴水速度保持不变），能正确反 图①D 映容器中水的高度h与时间1之间第6题图 第2题图 第3题图 对应关系的大致图象是 3.(2024井冈山期末)如图，△ABC的高AD= 4,BC=6,点E在BC上运动，若设BE的长 为x,△ACE的面积为y,则y与x之间的 关系式为 B 知识点2列表法 7.周末，李明与王亮两家相km 300 4.已知火车站托运行李的费用C(单位：元)和 约驾车去B城游玩，在整 托运行李的质量P(P为整数，单位：kg)的 个行程中，汽车离出发地 王亮 李明 对应关系如下表所示： A城的距离y(单位：km) 01 4 5 x/h P/kg 2 与王亮家车行驶的时间x 幕7题图 (单位：)的对应关系如图所示，则下列说法 C/元 2.5 3.5 中不正确的是 下册第十九有 A.出发地与B城的距离是300km B.当王亮家车行驶到距出发地A城240km 4 处，被李明家的车追上 1 C.在整个行驶过程中，李明家车的平均速度 -p12345678910 是80km/h (2)根据画出的函数图象，写出： D.李明家比王亮家早到0.2h ①x=4对应的函数值y约为 02提能力之 。。。。。。 ②该函数的一条性质： 8.在综合实践活动中，小强同学了解到裤子的 尺码（单位：英寸）与腰围的长度（单位：cm) 03拓思维 对应关系如下表： 11.应用意识某城市居民用水实行阶梯收费， 尺码/英寸 22 23 24 25 每户每月用水量如果未超过20t,按每吨 腰围/cm 60 62.5 65 67.5 2.5元收费：如果超过20t,未超过的部分 若小强的腰围是75cm,则他所穿裤子的尺 按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3 码是 元收费.设某户居民每月用水量为x1,应缴 A.28英寸 B.29英寸 水费为y元 C.30英寸 D.31英寸 (1)请写出y与x之间的函数解析式： 9.已知A,B两地相skm (2)若该城市某户居民4月份的水费平均 120- 距120km,甲、乙80 每吨2.8元，则该户居民4月份用水多 两人沿同一条公路 40 少吨？ 01 2 从A地出发到B 第9题图 地，甲骑摩托车，乙骑自行车.图中DE,OC 分别表示甲、乙离开A地的路程s(单位： km)与乙离开A地的时间t(单位：h)的函数 关系，则乙出发 h被甲追上。 10.已知y是x的函数，自变量x的取值范围 是x>0,下表是y与x的几组对应值： …12 357 9 y…1.983.962.631.581.130.88… 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格 所反映出的y与x之间的变化规律，对该 函数的图象与性质进行了探究。 下面是小腾的探究过程，请补充完整， (1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描 出了以表中各组对应值为坐标的点，根据 描出的点，画出该函数的图象： 3 数学八年级RJ版∴AG=号AE=3,FG=BG=BF,AELBF. .AM∥CG,AG∥CM, .四边形AMCG是平行四边形， 在R△ABG中，BG=√AB-AGF=√F-3=4, ∴.CG=AM=35. ∴BF=2BG=8, 第十九章 一次函数 四边形ABEF的面积为之AE·BF=号X6X8=24. 19.1函数 13.C14.C 19.1.1变量与函数 15.解：(1)证明：：G,F分别是BE,BC的中点， 1.B2.0,81.2y=0.4r0.4x,y ∴GF是△EBC的中位线，∴.GF∥EC 3.解：(1)r和S是变量，开是常量。 同理可得FH∥BE, (2)x和y是变量是常量。 ,四边形EGFH是平行四边形， 4.D5.D6.B7.D8.D9.x≠-g 10.A11.C (2)当EF=合BC且EF1BC时，GEGFH是正方形，证明 12.A13.x>-2且x≠514.21415.①②④ 如下： 16.解：(1)根据表中数据可知，Q=100一6t 连接GH,如图 (2)行驶5h后，油箱中剩余的油量为100一6×5=70(L). :G,H分别是BE,CE的中点， 17.解：(1)15 GH是△EBC的中位线， (2)由题意可知，3y=2一1(x为正整数). GH∥BC,GH=之BC (3)当x=10时，y=2-1-1023, ,EF⊥BC,∴，EF⊥GH 即对折10次后的折痕条数为1023 □EGFH是菱形. 19.1.2函数的图象 EF-BC.:EF-GH, 第1课时函数的图象 1.A2.203.A ,菱形EGFH是正方形. 4.解：(1)①-5-21 16.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形 ②如图所示。 ∠BAD=∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABF=90 AF⊥AE,.∠FAE=90°， ∴.∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE, 即∠FAB=∠EAD ∠FAB=∠EAD, 在△ABF和△ADE中， ∠ABF=∠ADE, BF=DE. ∴.△ABF2△ADE(AAS),.AB=AD, (2)当x=-3时，y=3×(-3)-2=-11≠一4： .四边形ABCD是正方形， 当x=2时，y=3×2-2=4≠-2： (2)如图，过点A作AM∥CG,交BC于点 当x=3时，y=3×3-2=7. M,连接ME, 故点A,B不在函数y=3x一2的图象上，点C在函数y=3 ∴.∠MAE=∠AHG=45 一2的图象上. ,∠FAE=90, 5.C6.D7.10+2/3 .∠MAF=90-45=45°， 8.解：(1)距离s时间t60 ∴∠MAF-∠MAE. (2)160 由(I),知△ABF≌△ADE,∴AF=AE. (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的 AF-AE, 距离分别是30km和45km, 在△MAF和△MAE中， ∠MAF=∠MAE, 9.解：(1)当0≤≤4时，动点P在BC上运动， AM=AM. .BC=1×4=4(cm). ∴.△MAF≌△MAE(SAS),.FM=EM. (2)当4≤≤6时，Sar=acm. 设BM=x, ,CD=3DE=6,四边形ABCD是正方形， 此时点P在CD上运动，则Sa=之BC·AB=8cm. ..BC=CD=6,BF=DE=2,AD//BC. 故a是8. ∴.EM=FM=2十x,CM=6-x,CE=4 (3)由题图②，得CD=(6一4)×1=2(cm),DE=(9一6)×1 ,∠BCD=90, =3(cm),EF=(11-9)×1=2(cm), ∴，在R△MCE中，CF十CE=EF, 则AF=BC十DE=7cm,.题图①的面积是AB·AF一CD 即(6一x)2十42=(2十x),解得x=3, ·DE=4×7-2×3=22(cm). .BM=3, 第2课时函数的表示方法 ∴.在R1△ABM中，根据勾股定理，得AM=√AB十BF 1.C2.C3.y=-2x+124.D5.D6.B7.D8.A =√/6+3=3/5. 9.1.8 170 数学八年级RJ版 10.解：(1)如图 -3,n=2. 故当m=一3，n=2时，它是正比例函数。 8.解：(1)是.理由如下： 根据题意可设y=m(x十2)，z=n(y一1)，且m,n均不为0， .=n[m(x十2)-1]=n(mx+2m一1) 2 =mnx十n(2m一1)， -101234567890 .x是工的一次函数 (2)根据题意，得n(2m一1)=0.：m≠0n≠0心m=立 1 (2)(答案不唯一)①1.98 ②当x>2时，y随x的增大而减小 11,解：(1)当0≤x≤20时，y=2,5r: 放当m=之，即y=之十2)时：是x的正比例函数。 当x>20时，y=3.3(x-20)十2.5×20=3.3.x-16. 9.B10.C11.A12.y=2x+313.二 (2)·该户居民4月份的水费平均每吨2.8元，.该户居民4 14.解：1)设y=kx,y=(x一2)，则y=kx+k:(x-2) 月份用水超过201. (k1,k≠0) 设该户居民4月份用水a【. 根据题意，得2.8a=3.3a一16，解得a=32. k1一k:=0, k=一交1 依题意，得 解得 故该户居民4月份用水32L -3k1-5k:=4. k:=一交 19.2一次函数 19.2.1正比例函数 y=-名-2，即y=-x+1, 1A2.-33.A4B5.D6,k>号 ∴此函数是一次函数 (2)把x=3代人y=-x十1，得y=-2, 7.解：(1)由题意可设y十3关于x的函数解析式为y十3=kx .当x=3时，y的值是一2. (k是常数，≠0) 15.解：(1)y关于x的函数解析式是y=30x一3(x一1)，即y= 把x=2,y=7代入，得10=2k,解得k=5, 27x十3， 则y十3=5x,即y=5x-3. 该函数是一次函数 故y关于x的函数解析式为y=r一3. (2)当x=20时，y=27×20+3=543, (2)把x=-1代入y=5x-3,得y=-5-3=-8. 16.解：(1)6.613 8.解：(1)y=3x,是正比例函数. (2)由题意，得y与r之间的关系式为y=(0.2+3)x一3= 2y-是=1.5，是正比例函数 3.2x-3. (3)当y=61时，3.2x-3=61,解得x=20. (3)y=200一80x,不是正比例函数， 故护栏总长度为61m时，立柱的根数为20 9.210.C11.A12.B13.-3 14,解：(1)由正比例函数y=(k一2)x的图象经过第一，第三象 第2课时一次函数的图象与性质 限可得k-2>0,.>2. 1.D2.上2（或右4）3.B4.D5.C 6.(9,0)(0,3)三 (2):正比制函数y=(1-号)：巾，y随x的增大而增 7.解：(1)由题意，得m一2>0，解得m>2, (2)①当y随x的增大而增大时，由题意，得 大1-号>0，解得4反. 1m一2>0， (3)由正比例函数y=(1一k)xF的图象经过第一，第三 4(m-2)+6≤10.解得2<m≤3： 象限可得1k1一√E=1,且1-k>0.k=-√2-1. ②当y随x的增大而减小时，由题意，得 15.解：(1)（答案不唯一）这三个正比例函数的图象都是直线. m-2<0, 解得0≤m<2. -2(m-2)+6≤10， (2)设A(m,号n）,B(m,km).Cm,-2m)。 综上所述，m的取值范围为2<n≤3或0≤m<2. .AB=BC. 8.解：(1)一次函数y=mx一(m一2)的图象过点(0,3)， .3=一(m一2)，解得m=一1. ∴7m一km=km一（一2m）, (2)”一次函数y=mx一(m一2)的图象经过第一，第二，第 m(2+2）=0 四象限， m≠0小2+2=0.=-是 /m<, 解得m<0, 1-(m-2)>0, 即m的取值范围是m<0. 19.2.2一次函数 9.k≥0，b010.A11.B12.013.2 第1课时一次函数的概念 14.解：(1)当x=m十1时，y=m十1-2=m-1, 1.B2.D3.2或0或-14.A5.C6.D ·点P(m十1，m一1)在一次函数y=x一2的图象上。 7.解：(1)由题意可知，m一2=1且m一3≠0，解得m=一3. 故当n=一3，为任意实数时，它是一次函数. (2:”一次函数y=一之十3的图象与轴、y轴分别相交 (2)由题意可知，m一2=1，加一3≠0且n一2=0，解得m= 于点A,B, 下册参考答案 171