18.2 特殊的平行四边形-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

(2)EC,DF是□EFCD的对角线，OD=2, ∴.DF=√BF-BD=√(45)-8=4 .DF=20D=4. 13.解：(1)BP=CP ,ED,EF是△ABC的中位线， 证明：：四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠DCB=90, ∴，D,F分别是AC,BC的中点， .∠DCF=90 DF是△ABC的中位线， CG为∠DCF的平分线.∴∠DCG=∠FCG=45°， DF=号AB, ∴∠PCE=45°..CG⊥AP,.∠PEC=∠B=90°， ∴.AB=2DF=8. .∠CPE=45°=∠APB, 13.解：(1)证明：，AE⊥BE,.∠AED=∠AEB=90°， ∠BAP=∠APB=45°，.AB=BP .∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°. :AB=号BC,BC=2BP=BD+CP,∴BD=CP :AE平分∠BAC,.∠BAE=∠DAE, (2)△ABP≌△CEP..AP=CP ∠ABE=∠ADE, ∴.AB=AD.AE⊥BD,∴.BE=DE AB-3-BC.:.BC=2AB-6. 又，F是边BC的中点，.BF=FC, BC=BP+CP.CP=6-BP...AP=6-BP .EF是△BDC的中位线， 在R△ABP中，AP=AB+BP,即(6-BP)'=9+BP, EF-(AC-AD)-(AC-AB). 解得BP-号∴B即的长为是 (2)EF=AB-AC.理由如下： 第2课时矩形的判定 如图，延长AC交BE的延长线于点P 1.C 2.证明：：(O是边AB的中点，.OA=OB. 由I)同理可得AB=AP,EF=号PC, ∠AOD=∠BOC, EF=AP-AC)=合(AB-AO. 在△AOD和△BOC中，〈OA=OB, ∠A=∠B 18.2特殊的平行四边形 .△AOD≌△BOC(ASA),.DA=CB, 18.2.1矩形 :∠A+∠B=90°+90°=180°， 第1课时矩形的性质 .DA∥CB. 1.C2. 四边形ABCD是平行四边形. 3.证明：：四边形ABCD为矩形， 又：∠A=90,四边形ABCD是矩形. AB=CD,∠B=∠C=90. 3.A .BE=CF. 4.解：(1)证明：，线段DE与BF分别是△ABC的中位线 ,∴，BE十EF=CF十EF,即BF=CE. 与中线， (AB=DC. .D,E,F分别是BC,AB,AC的中点， 在△ABF和△DCE中，{∠B=∠C, ∴EF为△ABC的中位线，BD=子BC, BF=CE: ,.△ABF≌△DCE(SAS), ∴EF∥BC,EF=2BC·EF=BD, ..AF=DE. .四边形BDFE是平行四边形，.BF与DE互相平分. 4.B5.D 6.证明：如图，连接BE,DE (2)当BF=宁AC时，四边形BDFE是矩形。 ∠ABC=90°，∠ADC=90°，E是AC的中点 理由：线段DE是△ABC的中位线，一DE=AC BE=DE=号AC 又，F是BD的中点， :BF=2AC,∴BF=DE ,EF⊥BD 由(1)可知，四边形BDFE是平行四边形， 7.30°8.A9.C10.2511.13或10g .四边形BDFE是矩形. 12.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， 5.C ,.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°， 6.解：四边形ADCE是矩形 .∠DCF=90. 证明：，AB=AC,AD⊥BC, 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF. ∴AD平分∠BAC.即∠BAD=∠CAD=∠BAC AB=DC. .Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), :AN是∠CAM的平分线， ∴.∠AEB=∠F,.AE∥DF. ∴∠MAN=∠CAN=合∠CAM. 又：AE=DF,.四边形AEFD是平行四边形. (2)BD⊥AE,AE∥DF..BD⊥DF, ∴∠DAN=∠CaD+∠CAN=(∠BAC+∠CAM0=号 .∠BDF=90° ×180°=90. BF=45,BD=8, 又：CE⊥AN,AD⊥BC, 下册参考答案 167 .∠AEC=∠ADC=90°， 12.解：△BEF是等边三角形 .四边形ADCE是矩形， 理由：，四边形ABCD是菱形， 7.A8.D9.2或10 ,AD=AB,AD∥BC,CD=BC 10.证明：(1)在□ABCD中，AD=BC,AB=CD,AB∥CD, .∠CBD=∠ADB=60°， .BE∥CD. ∴.△ADB和△BDC都是等边三角形 又AB=BE,.BE=DC. ∴.AB=DB,∠ABD=∠A=∠BDC=60 ,四边形BECD为平行四边形， :∠ABD=∠EBF=6O°，∴∠ABD-∠EBD=∠EBF ∴，BD=EC ∠EBD,即∠ABE=∠DBF (2)由1)知.四边形BECD为平行四边形，则OD=立DE, I∠A=∠BDF, 在△ABE和△DBF中， AB=DB. OC=BC. ∠ABE=∠DBF, ,四边形ABCD为平行四边形， .△ABE≌△DBF(ASA),∴BE=BE. ∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD. :∠EBF=60°，.△BEF是等边三角形， 又，∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, 13.解：(1)如图①，点F即为所求。 .∠OCD=∠ODC, (2)如图②，四边形ABDM即为所求（答案不唯一）. ∴.OC=OD,∴.BC=DE ,□BECD为矩形. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,OB=OD,.∠ABE=∠CDF 图① ,E,F分别是OB,OD的中点， 图② 14.解：(1)如图，连接AC,BD交于点O. ∴BE=之OB,DF=OD,BE=DR. ,四边形ABCD是菱形，且边长为65cm, AB=CD. ..AB=AD=6V3 cm:ACLBD.AC= 在△ABE和△CDF中，〈∠ABE=∠CDF, 20A.BD-20B. BE=DF. :∠BAD=60°， .△ABE≌△CDF(SAS). .△ABD为等边三角形， (2)当AC=2AB时，四边形ECCF是矩形.理由如下： :.BD=AB=6/3 cm. ,四边形ABCD是平行四边形，.AC=2OA 又AC=2AB,.AB=OA ∴.OB=3√3cm,.OA=/AB-OB=9cm E是OB的中点，AG⊥OB,∠OEG=90°， ∴.AC=20A=18cm 同理可证CF⊥OD,.EG∥CF (2)设共有x个这样的菱形图案 由(I)知△ABE≌△CDF,AE=CF 依题意，得18十15(x一1)=3918，解得x=261 又，AE=EG,.EG=CF, 故共有261个这样的菱形图案， 四边形EGCF是平行四边形 第2课时菱形的判定 :∠OEG=90,∴.平行四边形EGCF是矩形. 1.B 18.2.2菱形 2.证明：，D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 第1课时菱形的性质 DE∥CF,DE=BC,DF/∥CE,DF=AC 1.C2.A3.57 ∴.四边形DFCE是平行四边形 4.证明：四边形ABCD是菱形， .AC=BC...DE=DF. .AB=BC=CD=AD,∠A=∠C .四边形DFCE是菱形 ,BE=BF,.AB一BE=BC-BF,即AE=CF 3.D DA=DC. 4.解：(1)△AOB是直角三角形.理由如下： 在△DAE和△DCF中， ∠A=∠C. 四边形ABCD是平行四边形，BD=8, AE=CF. ∴△DAE≌△DCF(SAS),.DE=DF, ∴OB=OD=2BD=4 .∠DEF=∠DFE. OA=3.AB=5.∴.OA+OB=32+4=5=AB, 5.B6.5 .△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°， 7.解：(1)：四边形ABCD是边长为10cm的菱形，BD=16cm: (2)证明：由(1)可知，∠AOB=90°，∴.AC⊥BD. ∴AD=10cm,0D=号BD=8em,∠A0D=90,AC=2A0 .□ABCD是菱形， 5.D6.B7.D8.D9.B10.611.24 在Rt△AOD中，AO=AD-OD=/10-8=6(cm) 12.解：(1)证明：CF∥AB, .AC=2A0=12 cm .∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE (2)Smm=2AC·BD=2×12X16=96(cam). 'E是AC的中点，，AE=CE, ,.△ADE≌△CFE(AAS),,∴.AD=CF, 8.40°或50°9.A10.AD=4BE11.2/7 (2)当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形. 168 数学八年级RJ版 证明：由(1)知，AD=CF ②EF+2PC=BC. :AD∥CF,∴.四边形ADCF是平行四边形. 证明：出①知，OE=OF, ,AC⊥BC,.△ABC是直角三角形， .∠OEF=∠OFE=45, :D是AB的中点CD=号AB=AD, 在Rt△OEF中，EF=√2OE .四边形ADCF是菱形 :∠FEC的平分线EP交直线AC于点P, 13.解：(1)能. .∠FEP=∠CEP 由题意，得∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t, ∠OPE是△CPE的外角， ..DF=t. .∠OPE=∠PCE+∠CEP=45+∠CEP. 又'AE=t,.AE=DF :∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP, AB⊥BC,DF⊥BC,.AE∥DF ∴.∠OEP=∠OPE,.OE=OP, 四边形AEFD为平行四边形. ∴.EF=√2OE=√2OP 当AD=AE时，口AEFD为菱形， :在R△BOC中，BC=EOC=E(OP 六0-21=4解得1=号。 PC). ',EF+√EPC=BC :当=号时，四边形AEFD为菱形。 (2)完成图形如图所示，结论①成立，结论 (2)10或16 ②不成立，应为EF-√2PC=BC 18.2.3正方形 本章小结 1.B2.B3.B 1.A2.B3.135 4.解：(1)证明：：∠A=∠ABC=90°， 4.证明：四边形ABCD是正方形， .∠A+∠ABC=180°， ∴.AB=AD.∠BAD=∠BAF+∠DAE=90 .BC∥AD,即BC∥AF,∴∠CBE=∠DFE. .DE⊥AG, 又E是边CD的中点，CE=DE. .∠AED=∠DEG=90,∠DAE+∠ADE-90°， I∠CBE=∠DFE, ∠ADE=∠BAF 在△BEC与△FED中， ∠BEC=∠FED, 又：BF∥DE, CE=DE. '.∠BFA=∠DEG=90=∠AED. .△BEC≌△FED(AAS),,.BE=FE. ,∴.△ABF≌△DAE(AAS), .四边形BDFC是平行四边形. ..AF=DE. (2)BD=BC=3.∠A=90°， “.DE-AE=AF-AE=EF ∴.AB=√BD-AD=√/3-1F=2,√E」 5.D6.AC=BD(答案不唯一) 由(1)，得四边形BDFC是平行四边形， 7.证明：，四边形ABCD是菱形， ∴，AC⊥BD,OA=OC.OB=OD. ∴.□BDFC的面积=BC·AB=3X22=6√2. .BE=DF,∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF, .四边形AECF是菱形 5B6B79 .OE=OA...OE=OF=0A=OC.EF=AC. 8.解：（口）示例：选择①.证明：，AD∥BC,AB∥CD, ∴，四边形AECF是正方形. .四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形. 8.V丽9.B10.号1.m-1 (2)在R1△ABC中，AB=3,AC=5,.由勾股定理，得 12.解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下： BC=VAC-AB=4. 由旋转的性质可知，∠E=∠AFD=90°，∠EAF=∠DAB 由(1)，得四边形ABCD是矩形， -90°，AE=AF, .四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12. ∴.四边形AFHE是正方形 9.C10.A11.26 (2)如图，连接BD. 12.解：(1)证明：，E为边BC的中点，F为对角线BD的中点， 由题意可知，BC=CD=13,∠C=90', ∴EF是△DCD的中位线，BE=之BC, .BD=CD+CB=13√2. :四边形AFHE是正方形， &EF=CD,EF∥CD ∴.∠EHD=∠DHB=90°， BC=CD=2AB. 在Rt△DHB中，：BH=7, '∠BDC=∠CBD,EF=BE=AB. ∴.DH=BD-B=17. ·BD是∠ABC的平分线， 13.解：(1)①证明：，OE LOF,四边形ABCD是正方形， .∠ABD=∠CBD,∴.∠ABD=∠BDC, ,.∠EOF=90°，∠BOC=90,OB=(OC,∠OBF=∠OCE ∴.AB∥CD,.AB∥CD∥EF, =45”, .四边形ABEF为平行四边形. ,.∠BOC-∠COF=∠EOF-∠COF,即∠BOF=∠COE 又，EF=BE,.四边形ABEF为菱形， .△BOE≌△COE(ASA),.OF=OE (2)四边形ABEF为菱形，AE=6, 下册参考答案 16918.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 要点提示 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫败矩形，也就是长方形， 2.矩形的性质：(1)矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质：(2)矩形的四个角都是直角：(3)矩 形的对角线相等：(4)矩形是抽对称母形. 3.矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一建 O1固基础 知识点2直角三角形斜边上的中线的性质 4.(2024赣州赣县区期未)如图，测量三角形纸 知识点1矩形的定义及性质 片的尺寸，点B,C分别对应刻度尺上的刻度 1.(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线 2和8，D为BC的中点.若∠BAC=90°，则 AC与BD相交于点O,则下列结论一定正 AD的长为 () 确的是 ( A.4 cm B.3 cm C.5 cm D.2.5 cm A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD B 0m23456789 第4题园 第5题图 0 C 5.如图，D,E,F分别是△ABC各边上的中点， 第1题图 第2题图 2.(2024吉林)如图，在平面直角坐标系中，点 AH是高.若ED=6cm,则HF的长为() A的坐标为（一4,0），点C的坐标为(0,2) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 以OA,OC为边作矩形OABC.若将矩形 6.如右图，在四边形ABCD中， OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形 ∠ABC=90°，∠ADC=90°，E, OA'B'C',则点B的坐标为 ( F分别是AC,BD的中点，连接 A.(-4,-2) B.(-4,2) EF.求证：EF⊥BD C.(2,4) D.(4,2) 3.(2024陕西)如下图，四边形ABCD是矩形， 点E和点F在边BC上，且BE=CF.求证： AF=DE. 数学八年级J版 ●易错点运用矩形的性质进行计算时易 (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； 出错 (2)若BD⊥AE,BF=4√5，BD=8,求DF 7.如图，在矩形ABCD中， 的长度 对角线AC,BD交于点 O,E是BC上一点，且 E AB=BE.若∠1=15°， 第7题圈 则∠2 02提能力 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,E,F分别是AB,AO的中点. 若AC=8,则EF的长度为 () A.2 B.4 C.6 D.8 O3拓思维)念 13.如下图，在矩形ABCD中，AB=2BC,点 第8题图 第9题图 F在边BC的延长线上，P是线段BC上一 9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点 点（不与点B,C重合），连接AP并延长，过 O,AB=6,BC-8.过点O作OE⊥AC于点 点C作CG⊥AP,垂足为E. O,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足 (1)若CG为∠DCF的平分线，请判断BP 为F,则OE+EF的值为 与CP的数量关系，并证明： A智 B智 c n号 (2)若AB=3,△ABP≌△CEP,求BP 的长. 10.如图，在矩形ABCD中，AB =4,AD=6.在边AD上取 一点E,使BE=CB,过点C 作CF⊥BE,垂足为F,则 第10题图 BF的长为 11.(2024牡丹江)矩形ABCD的面 积是90，对角线AC,BD交于点 O,E是BC边的三等分点，连接 DE,P是DE的中点，OP=3,连接CP,则 PC+PE的值为 12.如右图，在矩形ABCD 中，E是边BC上一点，点 F在BC的延长线上，连B 接AE,DF,BD,且DF=AE. 下册第十八章 35 第2课时 矩形的判定 要点提示 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）：(2)对角线相为的平行四这形是矩形：(3)有 三个角是直角的四边形是矩形. 。。。。。。 O1固基础念 4.如右图，线段DE与BF分别是 △ABC的中位线与中线. 知识点1有一个角是直角的平行四边形是 (1)求证：BF与DE互相平分： 矩形 (2)当线段BF与AC满足怎样 1.如图，下列条件中，能证明口ABCD是矩形 的数量关系时，四边形BDFE是矩形？请说 的是 明理由. A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB⊥AD D.AB=BC 第1题周 2.(2024长春)如下图，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD =∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 5.如图，直线EF∥MN,PQ分 别交EF,MN于A,C两点， AB,CB,CD,AD分别是 ∠EAC,∠MCA,∠ACN, ∠CAF的角平分线，则四边 第5题图 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 形ABCD是 3.在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于 A.菱形 B.平行四边形 点O.下列选项中，能判定四边形ABCD是 C.矩形 D.不能确定 矩形的是 6.如右图，在△ABC中，AB= A.OA=OB=OC=OD AC,AD⊥BC,垂足为D,AN B.AB∥CD,AD∥BC 是△ABC外角∠CAM的平 C.AD∥BC,AD⊥CD 分线，CE⊥AN,垂足为E.试B D.AC=BD 猜想四边形ADCE的形状，并给出证明. 数学八年级RJ版 (2)连接BD,若∠BOD=2∠A,求证：四边 形BECD是矩形. 0 02提能力之 7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别 ……念O3拓思维 交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延 长线于点E.已知∠A=30°，DF=1,AF= 11.空间观念如右图，在□AB CD中，对角线AC与BD相 BF,则四边形BCDE的面积为 ( 交于点O,E,F分别是OB, A.23 B.43 C.4√5 D.25 OD的中点，连接AE并延长至点G,使EG =AE,连接CF,CG (I)求证：△ABE≌△CDF: (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四 第7题图 第8题图 边形EGCF是矩形？请说明理由， 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= 3,AC=4,P是斜边BC上一动点，PE⊥AB 于点E,PF⊥AC于点F,EF与AP相交于 点O.线段OF的最小值是 A.4.8B.3.6 C.2.4 D.1.2 9.如图，在□ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,点 E以每秒1个单位长度的 第9题图 速度从点A出发沿AC方向运动，同时点F 以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿 CA方向运动.若AC=12,BD=8,则经过 s后，四边形BEDF是矩形 10.(2024南昌期中)如下图，将口ABCD的边 AB延长至点E,使BE=AB,连接DE, EC,DE交BC于点O. (1)求证：BD=EC: 下册第十八章 37 18.2.2菱形 第1课时 菱形的性质 要点提示 1.菱形的定义：有一键郁速相等的平行四边形网做荒形. 2.菱形的性质：(1)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质：(2)菱形的四条边都相等：(3)菱形 的两条对角线互棉垂直，并且每一条对角线平令一组对角：(4)菱形是轴对称图形， 3.菱形面积的计算：S=ab(其中a.b表示惹形对角线的长). O1固基础 知识点1菱形的定义及性质 1.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的 第5题图 第6题图 度数比为 ( ) 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD的长分 A.3:1 B.4:1C.5:1 D.6:1 别为4,5，P是对角线AC上的一点，PE∥BC 2.(2024济宁)如图，菱形AB 交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,连接 CD的对角线AC,BD相交 EF.图中阴影部分的面积为 于点O,E是AB的中点，连 7.(教材变式)如下图，四边形ABCD是边长为 接OE.若OE=3,则菱形的 10cm的菱形，其中对角线BD的长为 第2题图 边长为 16cm.求： A.6 B.8 C.10 D.12 (1)对角线AC的长： 3.(2024上海)在菱形ABCD中，∠ABC= (2)菱形ABCD的面积. 66°，则∠BAC= 4.(2024广安)如下图，菱形ABCD中，E,F分 别是AB,BC边上的点，且BE=BF.求证： ∠DEF=∠DFE. ◆易错点因考虑不全面而漏解 8.如图，把一个长方形的纸片对 知识点2菱形的面积 折两次，然后剪下一个角，展 开这个角得到一个锐角为80 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角 的菱形，则剪痕与折痕所成的 第8题图 线BD=4,则菱形ABCD的面积是( 角α的度数应为 A.16 B.83 C.82 D.43 数学八年级RJ版 之02提能力之…… 13.如图，在菱形ABCD中，E为边AD的中 点.请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图 9.(2024绥化)如图，四边形ABCD是菱形， (保留作图痕迹，不写作法). CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的 (1)在图①中作边BC的中点F: 长是 (2)在图②中作一个与菱形ABCD面积相 A B.6 C.18 D.12 等的平行四边形. 第9题图 第10题图 图① 图② 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD O3拓思维) 相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若AD= 14.推理能力某沿路护栏的纹饰部分是由若 BD,则BE与AD的数量关系是 干个和菱形ABCD(如图①)全等的图案组 成的，每增加1个菱形，纹饰长度就增加 11.(2024包头)如图，在菱形D dcm(如图②).已知菱形ABCD的边长为 ABCD中，∠ABC=60, 63cm,∠A=60. AB=6,AC是一条对角 (1)求点A,C之间的距离： 线，E是AC上一点，过点 第11题图 (2)若d=15cm,纹饰总长度L为3918cm, E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE 则共有多少个这样的菱形图案？ =AF,则DE的长为 12.如下图，在菱形ABCD中，∠ADB=60°， 点E,F分别在AD,CD上，且∠EBF= 图① 图② 60°.试判断△BEF的形状，并说明理由. 下册第十八章 第2课时 菱形的判定 要点提示 藿形的判定方法：(1)有一组郁这相等的平行陶这形是菱形（定义）：(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形： (3)四条边相等的四边形是菱形。 O1固基础 (2)求证：四边形ABCD是菱形. 知识点1有一组邻边相等的平行四边形是 菱形 1.如图，将△ABC沿BC方向 平移得到△DCE,连接AD. 下列条件中，能够判定四边形 第1题图 ACED为菱形的是 ( A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60 知识点3四条边相等的四边形是菱形 2.如右图，在△ABC中，AC= 5.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为 BC,D,E,F分别是AB, 菱形，拟定以下测量方案，其中正确的是 AC,BC的中点，连接DE,B () DF.求证：四边形DFCE是菱形. A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等 C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等 6.如图，△ABC为等腰三角形，把它沿底边 BC翻折后得到△DBC,那么四边形ABDC 为 () 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是 A.一般的平行四边形B.菱形 菱形 C.矩形 D.以上都不对 3.(2024南昌期中)在四边形ABCD中，AB= CD,AD=BC.添加下列条件能使四边形 ABCD为菱形的是 ( 第6题图 第7题图 A.AC=BD B.AB=AC ●易错点混淆菱形的判定方法而出错 C.∠A=∠B D.AC⊥BD 7.如图，□ABCD的对角线AC和BD相交 4.如右图，已知四边形ABCD 于点O,下列说法正确的是 ( 是平行四边形，其对角线相 A.若OB=OD,则回ABCD是菱形 交于点O,OA=3,BD=8, B.若AC=BD,则回ABCD是菱形 AB=5. C.若OA=OD,则□ABCD是菱形 (1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由： D.若AC⊥BD,则□ABCD是菱形 数学八年级RJ版 之02提能力) …… 是菱形？请证明你的结论， 8.(2024通辽)如图，□ABCD的对角线AC, BD交于点O.以下条件不能证明口ABCD 是菱形的是 A.∠BAC=∠BCAB.∠ABD=∠CBD C.OA*+OB=AD D.AD+OA=OD 第8题图 第9题图 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A 为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F, 03拓思维 连接BF;分别以点B,F为圆心，大于BF 13.推理能力如下图，在Rt△ABC中，∠B 的长为半径画弧，两弧相交于点G,连接AG 90°，AC=40cm,∠A=60°，点D从点C出 并延长，交BC于点E.若AE=2/10,BF= 发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速 2√6，则AB的长为 ( 运动，同时点E从点A出发沿AB方向以 A.3 B.4 C.5 D.8 1cm/s的速度向点B匀速运动.当其中一 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为 个点到达终点时，另一个点也随之停止运 斜边AB的中点.若在BD下方作DE= 动.设点D,E运动的时间是1s(0<1≤ BE=BC=3,则当AB= 时，四 20).过点D作DF⊥BC于点F,连接 边形CDEB是菱形. DE.EF. (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果 能，求出相应的t值；如果不能，请说明 理由. (2)当t= 时，△DEF为 第10题围 第11题图 直角三角形 11.(教材变式)如图所示，将两张等宽的长方 形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD.若AD=6cm,∠ABC=60°，则四 边形ABCD的周长等于 cm. 12.如下图，在△ABC中，D是AB上一点，E 是AC的中点，过点C作CF∥AB,交DE 的延长线于点F (1)求证：AD=CF; (2)连接AF,CD.若D是AB的中点，当 AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 下册第十八帝 18.2.3 正方形 要点提示 1,正方形的定义：有一组第这湘等且有一个角为直角的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质：(1)正方形具有平行四边形、矩形，菱形的一切性质：(2)正方形是轴对称图形，有4条对称轴。 3.正方形的判定：（门）有一组都边相等的雌形是正方形：(2)有一个角为直角的黄形是正方形：(3)对角线相等的 慧形是正方形：(4)对角线互相是直的趣形是正方形. O1固基础 知识点2正方形的判定 5.如图，四边形ABCD是平行四边形.下列结 知识点1正方形的定义及性质 论错误的是 1.(2024九江都昌期末)正方形具有而菱形不 A.当∠ABC=90°，□ABCD是矩形 一定具有的性质是 B.当AC=BD,□ABCD是矩形 A.对角线相等 C.当AB=BC,□ABCD是菱形 B.对角线互相垂直 D.当AC⊥BD,□ABCD是正方形 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相平分 2.如图，以正方形ABCD的边CD为边向外作 等边三角形CDE,AC与BE交于点F,则 落5题国 第6题园 ∠AFE的度数为 ( 6.(2024黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角 A.105 B.120 C.135 D.150 线AC,BD相交于点O.添加一个条件： D 后，菱形ABCD为正方形 7.如右图，在菱形ABCD中， 对角线AC,BD相交于点 O,点E,F在对角线BD 第2题图 第3题图 上，且BE=DF,OE=OA.求证：四边形 3.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC AECF是正方形. 下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为 4.(教材变式)如右图，在正方形 ABCD中，G是BC边上任意一 点（不与点B,C重合），DE1 AG于点E,BF∥DE交AG于 ◆易错点不能灵活应用正方形的轴对称 点F,连接BE,DF.求证：DE-AE=EF 性质而出错 8.如图，正方形ABCD的边长 为4，E为BC上一点，BE 1,F为AB上一点，AF=2 若P为AC上一动点，则PF第8题困 +PE的最小值为 42 数学八年级J版 02提能力 ……念O3拓思维 9.如图，四边形ABCD与 13.几何直观如图①，在正方形ABCD中，对角 CEFG是正方形，点D在CG 线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥OF 上.连接AF,H是AF的中 分别交DC,BC于点E,F,连接EF,∠FEC B C 点，BC=52,CE=122,那 第9题图 的平分线EP交AC于点P. 么CH的长是 (1)①求证：OF=OE: A.12 B.13 C.14 D.16 ②写出线段EF,PC,BC之间的等量关系 10.(2024吉林)如图，正方形ABCD的对角线 式，并证明你的结论 AC,BD相交于点O,E是OA的中点，F是 (2)将∠EOF绕点O按逆时针方向旋转一 OD上一点，连接EF.若∠FEO=45°，则 个角度，使点E,F分别在CD,BC的延长 既的值为 线上，请在图②中完成图形并判断(1)中的 结论①②是否分别成立.若不成立，写出相 应的结论（所写结论均不必证明）. 第10题图 第11题图 11.(教材变式)如图，将5个边长都为2的正 方形按如图所示摆放，A1,A2,…,A分别 是正方形的中心.若按此规律摆放n(≥2) 个这样的正方形，则这”个正方形两两重 叠部分的面积之和是 12.如右图，E为正方形ABCD 外一点，且∠E=90°.将 Rt△ABE绕点A逆时针旋转 90°得到△ADF,DF的延长 线交BE于点H. (1)试判断四边形AFHE的形状，并说明 理由； (2)已知BH=7,BC=13,求DH的长 下册第十八帝