18.1 平行四边形-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角特征 要点提示 1.平行四边形的定义:两粗对边夸数平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形ABCD记作“ABCD” 2.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对边播等.(2)平行四边形的对角相等。 3.两条平行线之间的距离:两条平行线中,一条直线上催妻一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之 间的距离,如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都等,即平行我罔的群离 处处辄等. 01 固基础 ...... 知识点1平行四边形的定义 1.如图,在CABCD中,EF//AB,GH//AD. EF与GH交于点O,则图中平行四边形的 个数为 C A.7 C.9 B.8 D.11 #7#### 知识点③ 两条平行线之间的距离 5.在同一平面内:已知a//c若直线a,之 第1题图 第3题图 间的距离为5cm,直线6,c之间的距离为 知识点2平行四边形边、角的性质 3cm,则直线a,c之间的距离为 ) 2.(2024南昌期中)在□ABCD中,C= A.2cm或8cm B.2cm ( 100*,则A的度数为 ) C.8cm D.不确定 A.100* B.160{ 6.如图:直线m/n,A,B为直线 C.80* D.60* n上两点,C,P为直线n上 3.(教材变式)如图,二ABCD的顶点A,B,C 两点. 的坐标分别是(0,1),(-2,一2),(2,-2). 第6题图 (1)如果A,B,C为三个定点; ( 则顶点D的坐标是 _~ 点P在直线n上移动,那么无论点P移动 A.(一4.1) B(4,-2) 到何位置,总有△。 与△ABC的 C.(4,1) D.(2,1) 面积相等,理由是 4.(2024湖北)如右图,在 ABCD中,E,F是对 (2)如果点P在如图所示的位置,请写出另 角线AC上的两点,且i 外两对面积相等的三角形: AE-CF.求证:BE-DF 数学八年级 提能力 2 ......... (2)求/ABCD的面积; 7.如图,在ABCD中,AE平分 BAD交BC 于点E,CF/AE交AD于点F.若 B , 80{,则 1的度数为 ) C.60* A.40” B.50* D.80* 第7题图 第8题图 ........ 3拓思维 8.如图,在CABCD中,B=AEB,AE/ ....... DF,DC是/ADF的平分线,有下列结论: 13.推理能力如图①,在△ABC中,AB一AC, ①BE=CF;②AE是DAB的平分线; ABC=a,D是边BC上一点,以AD为边 ③ DAE十 DCF-120*,其中正确的有 作 ADE,使AE=AD. DAE十 BAC 1C __ -180{}. A.0个 B1个 C.2个 D.3个 (1)ADE的度数为 (用 9.(2024广州)如图,在CABCD中,BC=2,点 含a的式子表示); E在DA的延长线上,BE=3.若BA平分 (2)以AB,AE为边作□ABFE 之EBC,则DE的长为 ①如图②,若点F恰好落在边DE上,求 _#### 证:BD-CD: ②如图③,若点F恰好落在边BC上,求 证:BD-CF. 第题图 第10题图 ##0△#04# 10.(2024吉安峡江期末)如图,在ABCD 中,BF平分ABC,交AD于点F,CE平 分 BCD,交AD于点E.若AB=6,EF 图① 图② 图③ 2,则BC的长为 11.在ABCD中,BAD的平分线将边BC 分为3cm和4cm的两部分,则 ABCD 的周长为 12.如下图,在口ABCD中,E为AD边上一 点,BE平分 ABC,连接CE.已知DE 6,CE-8,AE-10. (1D)求AB的长; 下册第十八章 第2课时 平行四边形对角线的性质 要点提示 1.平行四边形的对角线互相平分. 2.平行四边形的面积一囊×高(底为平行四边形的任意一条边,高为这条边与其对边间的距离). 3.等么善高的平行四边形的面积相等。 固基础 知识点2平行四边形的面积 ..... 0/ .... 知识点1平行四边形对角线的性质 5.如图,在CABCD中,对角线AC.BD相交 于点O,BC-6,CABCD的BC边上的高为 1.(2024贵州)如图,二ABCD的对角线AC与 4.则阴影部分的面积为 ) BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 A.24 B.12 C.6 D.3 ( ) ###### A.AB-BC B.AD-BC C.OA-OB D.AC|BD 第题图 第6题图 6.(教材变式)如图,□ABCD中,O是对角线 AC,BD的交点,过点O的直线分别交AD. 第1题图 第2题图 BC于点M,N.若△CON的面积为3. 2.如图,CABCD的对角线AC,BD相交于点 △DOM的面积为5,则二ABCD的面积是 Q.且AC+BD-16.若△BCO的周长为14. _~ 则BC的长是 ( - A.16 B.24 C.32 D.40 A.12 B.9 C.8 D.6 7.如下图,在二ABCD中,对角线AC和BD 3.如图,ABCD的对角线 相交于点O,BD|AD,AB-10,AD-8.求 AC与BD相交于点O,过点 OB的长度及□ABCD的面积. O作OEIAC交AD于点: 第3题图 E,连接CE.若□ABCD的 周长为22,则△CDE的周长为 4.(2024赣州章贡区期中)如下图,在□ABCD 中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的一 条直线分别交AD,BC于点E,F.求证:AE -CF. ### 易错点 不能正确的应用对角线的性质 而出错 8.在□ABCD中对角线AC和BD交于点 O.若AC-8,BD-10,则边AB长的取值 范围是 C ) A.4</AB5 B.2<AB18 C.1AB9 D. 1AB9 数学八年级即J 提能力 2 ......... (2)BE-DF. 9.如图,CABCD的对角线AC,BD相交于点 O.E是BC的中点,AC-4.若ABCD的 ( 周长为12,则△COE的周长为 ) C.6 A.4 B.5 D.8 ...... 3拓思维 ......... 14.几何直观 某村搬迁后新开垦的平行四边 形的耕种田地ABCD如图所示. (1)如图①,点0为田地中的一口井,项目 第9题图 第10题图 部为了充分利用这口井,计划在相对的两 10.(2024眉山)如图,在□ABCD中,O是BD 块三角形的田地(△AOB和△COD)中种 的中点,EF过点O,有下列结论;①AB/ 药材,剩下的田地(△AOD和△COB)中种 DC:②EO-ED;③ A-C;④Sa形Ano 蔬菜,请你比较一下疏菜地和药材地的面 一S选cpor,其中正确的个数为 7 _ 积的大小,并说明理由; A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图②,如果这口井(点O)在边BC上; 11.如图,在CABCD中,BE |CD于点E,BF 请你找到一个简便的分法,使得疏菜地和 1AD于点F.若CE-2,DF=1,EBF 药材地的面积一样大,且共用这口井. 60{,则□ABCD的面积为 ##_ 图① 图② 第11题图 第12题图 12.如图,在□ABCD中,过对角线BD上一点 P作EF/BC,GH//AB,且 CG=2BG.连 接 AP. 若SArH=2,则Sm边形/Gcp= 13.如下图,在CABCD中,对角线AC,BD相 交于点O,分别过点A,C作AE BD.CF 1BD,垂足分别为E,F.求证: (1)/AEO/CFO; 下册第十八章 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定(1) 要点提示 平行四边形的判定方法:(1)画馥对边夸别平行的四边形是平行四边形(定义):(2)画馥对边夸别翻等的四边形 是平行四边形;(3)画蕴对角弯删耀等的四边形是平行四边形;(4)对角线羞耀平夸的四边形是平行四边形 .. /固基础 ....... 知识点1两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 1.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,AB -CD.添加下列条件后能判定这个四边形 ( 是平行四边形的是 ) A. ADB-/CBD B.AO-CC C. ABC-ADC D.AD-BC 知识点③ 对角线互相平分的四边形是平行 2.(2024南昌期中)如下图,在四边形ABCD 四边形 中,1-2,B- D.求证:四边形AB 5.(2024乐山)如图,下列条件中不能判定四边 CD是平行四边形. 形ABCD为平行四边形的是 , ) A.AB/DC,AD/BC B.AB-DC.AD-BC C C.AO-CO).BO-DC D. AB/DC,AD-BC 第5题图 6.如下图,在CABCD中,连接BD,取BD中 点O,过点O作直线EF,分别交AD,BC于 点E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE 是平行四边形 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平 # 行四边形 3.下面给出的是四边形ABCD中乙A, B. C,D的度数比,其中能判定四边形AB ( CD是平行四边形的是 ) A.4:3:2:1 B.3:2:3:2 C.3:3:2:2 D.3:2:2:1 4.(教材变式)如右图,在 2 ABCD中,AE,CF分别 提能力 是 DAB,BCD的平分线,求证:四边形 7.(2024宜春上高期末)如图所示,在□ABCD AFCE是平行四边形 中,E,F分别是边BC,AD上的点,若添加 数学八年级 条件,使四边形AECF一定是平行四边形, (2)若BF AE,求证:四边形ACED是平 则添加的条件不可以是 __ ( 行四边形. A.AE/CF B. BE-DF C. BAE-DCF D. AE-CF D 第7题图 第8题图 8.如图,小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎 成四块,为了能配到一块与原来相同的平行 四边形玻璃,她带了两块碎玻璃去商店,这 C 两块碎玻璃的编号应该是 ) A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 9.(2024彝州大余期末)在直角坐标系中,已知 03拓思维 ......... ........ A(1,0),B(-1,-2),C(2,-2).若以A,B. 13.几何直观 若△ABC和△AED都是等腰三 C.D为顶点的四边形是平行四边形,那么点 角形,且BAC=EAD-90* D的坐标可以是 (1)如图①,B是DE的中点,判断四边形 BEAC的形状,并说明理由; 10.如图,在ABCD中,ABC=60{*},点E,F (2)如图②,连接EB,DC,判断EB与DC 分别在CD.BC的延长线上,AE/BD,EF 的数量关系,并说明理由. BC.若EF-3,则AB的长为 ##### 图① 图② 第10题图 第11题图 11.如图,ABCD的对角线交于点O.M.N. P.Q分别是/□ABCD四条边上不重合的 点,有下列条件:①AQ=CN,AM=CP; ②MP,NQ均经过点O;③NQ经过点O AQ=CN.其中能判定四边形MNPQ是平 行四边形的是 (填序号). 12.(2024赣州经开区期末) 如右图,四边形ABCD是 平行四边形,BE一CD (1)若 DAE=60*,求 BAD的度数: 下册 第十八章 第2课时 平行四边形的判定(2) 要点提示 平行四边形的判定方法(补充):一组对边年行重细等的四边形是平行四边形 /固基础 知识点2平行四边形的性质与判定的综合 ......... 运用 知识点1 一组对边平行且相等的四边形是 5.(2024辽宁)如图,ABCD的对角线AC 平行四边形 BD相交于点O,DE/AC.CE//BD.若AC 1.下列条件中,能判定四边形ABCD是平行四 一3.BD一5,则四边形OCED的周长为 边形的是 ( ) ) A.CD-AB,AB/CD A.4 B.6 C.8 D.16 BA-B.C-D C.AB-BC,AD-CD D.AD-BC,AB//CD 2.如图,点A,B,C,D在同一平面内.有下列条 第5题图 第6题 件:①AB//CD;②AB=CD;③BC/AD; 6.(2024赣州会昌期中)如图,在ABCD中. ④BC一AD.其中任意选两个,能使四边形 E,F分别是AB,DC上的点,请添加一个条 ABCD是平行四边形的有 件,使得四边形EBFD为平行四边形,则添 A.3种 B.4种 { C.5种 D.6种 加的条件是 ,A 7.如下图,在二ABCD中,点E,F在对角线 BD上,且BE-DF,求证; B 'B 第2题图 第3题图 (1)△ABE△CDF; 3.如图,把线段AB向右平移3个单位长度; (2)四边形AECF是平行四边形 移动前后的线段和对应端点的连线所组成 的图形是 4.如下图,在四边形ABCD中,AC与BD交 于点O,BE|AC,DF AC,垂足分别为E F.且AF=CE,BAC= DCA.求证:四 边形ABCD是平行四边形。 数学八年级J版 提能力) 2 ......... 件,使四边形ABEF是平行四边形(不需要 说明理由). 8.现有一张平行四边形纸片ABCD,AD> AB,要求用尺规作图的方法在边BC,AD上 分别找点M,N,使得四边形AMCN为平行 四边形,甲、乙两名同学的作法如图所示,下 ( 列判断正确的是 。 3 第8题图 拓思维 A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 13.几何直观如下图,在CABCD C.甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 中,AD=2AB-6 cm,BE 是 9.(2024新余期末)如图,在/ABC中,AB /ABC的平分线,点M从点E 3.AC-4,BC-5,△ABD,△ACE,△BCF 出发,沿ED方向以1cm/s的速度向点D 都是等边三角形,连接EF,DF,有下列结 运动,点N从点C出发,沿射线CB方向以 论:①AB1AC;②四边形AEFD是平行四 4cm/s的速度运动.当点M运动到点D 边形;③ DFE-150{;④SArrp-6.其 时,点N随之停止运动,设运动时间为/s. 。 中正确的个数是 ~ (1)求AE的长; A.1 B.2 C.3 D.4 (2)是否存在以M.E,B,N为顶点的四边 形是平行四边形?若存在,请求出7的值 若不存在,请说明理由 第9题图 第10题图 10.如图,在△ABC中,BAC=90{*},AB=4$$ AC=6,D,E分别是BC,AD的中点,AF/ BC交CE的延长线于点F,则四边形AF- BD的面积为 11.已知平面直角坐标系内有O(0,0),A(3; 0).B(1,1),C(x,1)四个点,若以O.A.B. C为顶点的四边形是平行四边形,则x的 值是 12.(2024武汉)如右图,在 ABCD中,点E,F分 别在边BC,AD上,AF -CE. (1)求证:△ABE△CDF: (2)连接EE.请添加一个与线段相关的条 下册第十八章 第3课时 三角形的中位线 要点提示 1.中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一. 知识点② 固基础 #1 .......。 ......... 三角形的中位线与四边形 5.如图,在四边形ABCD中,M是AD上一动 知识点1三角形的中位线 点,N是CD上一定点,连接BM,MN,E,F 1.如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不 分别是BM,NM的中点,当点M从点A向 共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若 点D移动时,关于线段EF的长度,下列结 MN-3m,则AB- C ) 论一定正确的是 ( ) B.6m C.8m A.4m D.10m A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.不改变 D.不能确定 第1题图 第2题图 2.(2024广安)如图,在△ABC中,D,E分别是 第5题图 第6题图 AC,BC的中点,若 A-45{*,CED-70*, 6.(2024南昌月考)如图,在四边形ABCD中, ( 则C的度数为 ~ E,F分别是边AB,AD的中点,且EF=2. A.45* C.60{ B.50* D.65。 CD-3,BC=5.若 AFE-65{*,则 ADC 3.如图,在△ABC中,BD平分 的度数是 C ) ABC,且D,E分别为AC, B.150*C.155{* A.145* D.165* AB的中点:若BC=4,则EB 7.如下图,在△ABC中,D是边BC的中点,点 的长为 C 第3题图 F,G在边AB上,且AG=AC,AE |CG于 4.(2024九江都昌期末)如下图,在△ABC中, 点E,EF//BC. 中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC (1)求证:四边形BDEF是平行四边形; 的中点.连接DF,FG,EG,DE,求证:DF (2)若AB=10,AC=6,求BF的长 -EG. 数学八年级J版 提能力 2 ......... (2)若OD-2,求AB的长. 8.(2024赣州信丰期末)如图,在△ABC中; $AB=25,BC-24,D,E分别是AB,BC的中 点,连接DE,CD.若DE-3.5,则△ACD的 周长是 ( ) A.28 C.32 B.28.5 D.36 ......... 3拓思维 C ......... 第8题图 第9题图 9.如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD. 13.推理能力如图,在△ABC中,AE平分 M.N,P分别是AD,BC,BD的中点:若 BAC,BE 1AE于点E,F是边BC的 ABD=24^{}, BDC-70{*,则 NMP的度$ 中点. 数为 (1)如图①,BE的延长线与边AC交于点 10.如图,在Rt△ABC中,C=90{},AC=6, D.求证:EF- BC-8,N是BC边上一点,M为AB边上 (2)如图②,请写出线段AB,AC,EF之间 的动点,D,E分别为CN,MN的中点,则 的数量关系,并说明理由: DE的最小值是 图① 第11题图 图② 第10题图 11.如图,在△ABC中,AB=AC.M.N分别是 AB.AC的中点,D.E为BC上的点,连接 DN.ME. 若 AB=13cm:BC-10 cm.DE 5cm,则图中阴影部分的面积为 cm{. 12.如右图,在△ABC中,ED. EF是△ABC的中位线,连 接FC,DF,交点为O 下册第十八章:台风中心移动的速度为20km/h, .△AOE≌△COF(ASA), .140÷20=7(h). ..AE=CF. 故台风影响该海港持续的时间为7h, 5.C6.C 11,A12.两个锐角互余的三角形是直角三角形真 7.解：在□ABCD中，AD=8,AB=10. 第十八章平行四边形 BD⊥AD, 18.1平行四边形 BD=√AB-AD=√10-8=6. 18.1.1平行四边形的性质 :四边形ABCD是平行四边形， 第1课时平行四边形的边、角特征 :.OB=1BD=3.SACD=AD.BD-8X6-48. 2 1.C2.A3.C 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 8.C9.B10.C11.12512.8 ∴.AB∥CD,AB=CD. 13.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， .∠BAE=∠DCF ..AO-CO.BO-DO. (AB=CD. 'AE⊥BD,CF⊥BD. 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, .∠AEO=∠CFO=90 AE=CF. 又：∠AOE=∠COF, .△ABE≌△CDF(SAS),.BE=DF .△AEO≌△CFOAAS). 5.A (2),△AEO≌△CFO,.OE=OF, 6.(1)PAB同底等高的两个三角形的面积相等 ,BO=DO,∴.BO-OE=D)-OF,即BE=DF (2)△PAC与△PBC,△OAC与△OBP 14.解：(1)蔬菜地和药材地的面积一样大 7.B8.D9.510.1011.20cm或22cm 理由：过点O作OH⊥AD于点H,延长HO交BC于点G, 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， 如图①. ∴.AD∥BC.∴.∠AEB=∠CBE :四边形ABCD是平行四边形， ,BE平分∠ABC, .AD∥BC,AD=BC .∠ABE=∠CBE, ,GH⊥AD,,GH⊥BC, ∠ABE=∠AEB,.AB=AE=10. (2):四边形ABCD是平行四边形， ∴So+Sam=号AD.OH+2BC,0G=2AD.GH .CD=AB=10. 在△CED中，CD=10,DE=6,CE=8. ..ED+CE =CD, 同理可得Sa十Sam=S=n, .△CED为直角三角形且∠CED=90, .CE⊥AD, .SAe十Saw-SaMB十Sa0: ,蔬菜地和药材地的面积一样大. ∴.Sp=AD·CE=(10+6)×8=128. 13.解：(1)90°-a (2)证明：①四边形ABFE为平行四边形， .AB∥DE,.∠EDC=∠ABC=a. 由(1)可知.∠ADE=90°一a, 图① 图2 .∠ADC=∠ADE十∠EDC=90°-a+a=90°， (2)(答案不唯一)如图②，作出平行四边形ABCD的两条对 即AD⊥BC. 角线，过对角线的交点和点O的直线能将该平行四边形的 又AB=AC,.BD=CD. 面积平分，此时可使得蔬菜地和药材地的面积一样大，且共 ②@：AB=AC,∠ABC=a, 用这口并， .∠ACB=∠ABC=a,∠BAC=180°-2a. 18.1.2平行四边形的判定 四边形ABFE为平行四边形， 第1课时平行四边形的判定(1) ∴.AE∥BC,AE=BF,∠EAC=∠ACB=a 1.D 又∠DAE+∠BAC=180°，.∠DAE=2a, ∠1=∠2， .∠DAC=∠DAE-∠EAC=a· 2.证明：在△ACD和△CAB中， ∠D=∠B. .∠DAC=∠ACB,.AD=CD. AC-CA. AD=AE,AE-BF..BF-CD. ∴，△ACD≌△CAB(AAS), .BF-DF=CD-DF,BD=CF. ..AB=CD.AD=BC. 第2课时平行四边形对角线的性质 .四边形ABCD是平行四边形. 1.B2.D3.11 3.B 4.证明：口ABCD的对角线AC,BD交于点O, 4.证明：四边形ABCD是平行四边形 ,.AO=CO,AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO. .∠DAB=∠BCD,AD∥BC. ∠EAO=∠FCO. AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD: 在△AOE和△COF中，AO=CO, ∠AOE=∠OF, ∴∠FAE-∠DAB,∠BCF=2∠BCD, 下册参考答案 165 .∠FAE=∠ECF 又∠BAC=∠DCA,.AB∥CD. :AF∥EC, .四边形ABCD是平行四边形. ∴.∠FAE+∠AEC=180°，∠AFC+∠ECF=180, 5.C6.(答案不唯一)FC-AE .∠AEC=∠AFC, 7.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， .四边形AFCE是平行四边形 .AB=CD,AB∥CD,.∠ABE=∠CDF 5.D (AB-CD. 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF, ,AD∥CB,∴，∠OED=∠OFB. BE=DF. O是BD的中点，，OD=OB .△ABE≌△CDF(SAS). ∠OED=∠OFB. (2)由(1)可知，△ABE≌△CDF, 在△OED和△OFB中， ∠DOE=∠BOF. .AE=CF,∠AEB=∠CFD, OD=OB. ∴.180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE, .△OED≌△OFB(AAS),.OE=OF AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形 ,OD=OB,,四边形BFDE是平行四边形. 8.C9.D10.1211.4或-2 7.D8.D9.(4,0)或(-2,0)或(0，-4)10.111.①2@ 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD, 12.解：(1)四边形ABCD是平行四边形 AD=BC.∠B=∠D. AB=CD,AD∥BC, AF=CE...AD-AF=BC-CE. .∠DAE=∠AEB=60, .DF=BE. .BE=CD...AB-BE, AB=CD. △ABE是等边三角形， 在△ABE与△CDF中，{∠B=∠D. ∠BAE=60°， BE=DF. ∴.∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°+60°=120 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)证明：由(1)得，AB=BE,∠DAF=∠CEF. (2)示例：BE=CE, ,BF⊥AE,,F为AE的中点，即AF=EF 13.解：(1)AE=3cm ∠DAF=∠CEF, 在△ADE和△ECF中，{AF=EF, (2)存在，1的值为号或2。 ∠AFD=EFC. 第3课时三角形的中位线 ,△ADF≌△ECF(ASA), 1.B2.D3.2 ..DF-CF. 4.证明：BE,CD都是△ABC的中线， ∴四边形ACED是平行四边形. .DE是△ABC的中位线， 13解：(1)四边形BEAC是平行四边形.理由如下： :△AED是等腰三角形，∠EAD=90°， DE∥BC,DE-BC ∴.AE=AD,∠E=45. F,G分别是OB,OC的中点， B是DE的中点，.AB⊥DE ∴.∠BAE=45”,∠EBA=90° ∴FG∥BC,FG=BC △ABC是等腰三角形，∠BAC=90°， .DE∥FG且DE=FG, 六∠CBA=45,∠BAE=∠CBA, .四边形DEGF是平行四边形， ∴，BC∥AE. ..DF=EG. 又，∠EBA=∠BAC=90,∴.BE∥AC, 5.C6.C 四边形BEAC是平行四边形. 7.解：(1)证明：：AE⊥CG,AG=AC,.GE=EC (2)EB=DC.理由如下： ,D是边BC的中点， ,△AED和△ABC都是等腰三角形. ,BD=CD,∴，DE为△GB的中位线，.DE∥AB ..AE=AD,AB=AC. :EF∥BC,.四边形BDEF是平行四边形. :∠EAD=∠BAC=90°， (2):四边形BDEF是平行四边形，·.BF=DE. ∴·∠EAD+∠DAB=∠BAC+∠DAB, 由(1可知，BF=DE=号BG. 即∠EAB=∠DAC, .△AEB≌△ADC(SAS),,EB=DC :AG=AC=6BF=2AB-AG)=×10-6)=2 第2课时平行四边形的判定(2) 1.A2.B3.平行四边形 8.C9.2g10号 11.30 4.证明：AF=CE,AF-EF=CE-EF,.AE=CF 12.解：(1)证明：ED,EF是△ABC的中位线： :BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90 .ED∥FC,EF∥DC, ∠BAE=∠DCF. ∴.四边形EFCD是平行四边形 在△ABE与△CDF中， AE=CF. :口EFCD的对角线EC,DF相交于点O, ∠AEB=∠CFD. △ABE≌△CDF(ASA),.AB=CD. 166 数学八年级RJ版 (2)EC,DF是□EFCD的对角线，OD=2, ∴.DF=√BF-BD=√(45)-8=4 .DF=20D=4. 13.解：(1)BP=CP ,ED,EF是△ABC的中位线， 证明：：四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠DCB=90, ∴，D,F分别是AC,BC的中点， .∠DCF=90 DF是△ABC的中位线， CG为∠DCF的平分线.∴∠DCG=∠FCG=45°， DF=号AB, ∴∠PCE=45°..CG⊥AP,.∠PEC=∠B=90°， ∴.AB=2DF=8. .∠CPE=45°=∠APB, 13.解：(1)证明：，AE⊥BE,.∠AED=∠AEB=90°， ∠BAP=∠APB=45°，.AB=BP .∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°. :AB=号BC,BC=2BP=BD+CP,∴BD=CP :AE平分∠BAC,.∠BAE=∠DAE, (2)△ABP≌△CEP..AP=CP ∠ABE=∠ADE, ∴.AB=AD.AE⊥BD,∴.BE=DE AB-3-BC.:.BC=2AB-6. 又，F是边BC的中点，.BF=FC, BC=BP+CP.CP=6-BP...AP=6-BP .EF是△BDC的中位线， 在R△ABP中，AP=AB+BP,即(6-BP)'=9+BP, EF-(AC-AD)-(AC-AB). 解得BP-号∴B即的长为是 (2)EF=AB-AC.理由如下： 第2课时矩形的判定 如图，延长AC交BE的延长线于点P 1.C 2.证明：：(O是边AB的中点，.OA=OB. 由I)同理可得AB=AP,EF=号PC, ∠AOD=∠BOC, EF=AP-AC)=合(AB-AO. 在△AOD和△BOC中，〈OA=OB, ∠A=∠B 18.2特殊的平行四边形 .△AOD≌△BOC(ASA),.DA=CB, 18.2.1矩形 :∠A+∠B=90°+90°=180°， 第1课时矩形的性质 .DA∥CB. 1.C2. 四边形ABCD是平行四边形. 3.证明：：四边形ABCD为矩形， 又：∠A=90,四边形ABCD是矩形. AB=CD,∠B=∠C=90. 3.A .BE=CF. 4.解：(1)证明：，线段DE与BF分别是△ABC的中位线 ,∴，BE十EF=CF十EF,即BF=CE. 与中线， (AB=DC. .D,E,F分别是BC,AB,AC的中点， 在△ABF和△DCE中，{∠B=∠C, ∴EF为△ABC的中位线，BD=子BC, BF=CE: ,.△ABF≌△DCE(SAS), ∴EF∥BC,EF=2BC·EF=BD, ..AF=DE. .四边形BDFE是平行四边形，.BF与DE互相平分. 4.B5.D 6.证明：如图，连接BE,DE (2)当BF=宁AC时，四边形BDFE是矩形。 ∠ABC=90°，∠ADC=90°，E是AC的中点 理由：线段DE是△ABC的中位线，一DE=AC BE=DE=号AC 又，F是BD的中点， :BF=2AC,∴BF=DE ,EF⊥BD 由(1)可知，四边形BDFE是平行四边形， 7.30°8.A9.C10.2511.13或10g .四边形BDFE是矩形. 12.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， 5.C ,.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°， 6.解：四边形ADCE是矩形 .∠DCF=90. 证明：，AB=AC,AD⊥BC, 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF. ∴AD平分∠BAC.即∠BAD=∠CAD=∠BAC AB=DC. .Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), :AN是∠CAM的平分线， ∴.∠AEB=∠F,.AE∥DF. ∴∠MAN=∠CAN=合∠CAM. 又：AE=DF,.四边形AEFD是平行四边形. (2)BD⊥AE,AE∥DF..BD⊥DF, ∴∠DAN=∠CaD+∠CAN=(∠BAC+∠CAM0=号 .∠BDF=90° ×180°=90. BF=45,BD=8, 又：CE⊥AN,AD⊥BC, 下册参考答案 167