第一章 3 线段的垂直平分线-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

.BD+CD=BC. ∠FEH=∠FBD, .△BDC是直角三角形，且∠D=0 在△EHF和△BDF中，∠EHF=∠BDF=45, (2)设AB=xcm,则AC=xcm,AD=(16-x)cm FH-FD. 在△ADC中，，AC=AD+CD, ∴.△EIHF≌△BDF(AAS),∴.EH=BD, ∴.x=(16一x)2十8，解得x=10,AB=AC=10cm, .BD+ED=HE+DE=DH=V2DF. ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+8/5=(20+ 3线段的垂直平分线 85)cm. 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 13.解：(1)AC=45. 1.C2.C3.12 (2)BD的长为号或2. 4.解：(1)20° (2):∠C=90°.∠A=30°.∴∠ABC=60 第2课时直角三角形全等的判定 EB=EA,.∠ABE=∠A=30°，.∠CBE=30°， 1.C2.D3.154.A5.C ∴BE=2CE,设CE=x,则BE=2x,.BC=√BE-CE区= 6.解：(1)证明：，CD⊥AB,BE⊥AC, V3x,.3x+√5x=15+55,.x=5,.CE=5,BC=5V5, ∴.∠ADC=∠AEB=90, EA=EB■10，.AC=CE十EA=15,.△ABC的面积 ∠ADC=∠AEB. 在△ADC与△AEB中，〈∠DAC=∠EAB. AC·BC=755 2 AC=AB. 5.A6.C ,∴.△AD≌△AEB(AAS),.AD=AE. 7.证明：在△ABC中，∠C=90°，.∠B=90°-∠A. (2)直线(OA垂直平分线段BC.理由如下： DE⊥PD,.∠PDE=90°， 如图，延长AO交BC于点P. .∠EDB=90°-∠PDA. 在Rt△ADO与Rt△AEO中， ,PD=PA,.∠A=∠PDA..∠B=∠EDB, AD-AE. ED-EB,点E在BD的垂直平分线上. AO-AO. .R1△ADORU△AEO(HL. 8A9.B10,号11.8 .∠DAO=∠EAO 12.解：(1)，D是边BC的中点，DE⊥BC, :AB=AC.直线OA垂直平分线段BC. .PB=PC,.∠PBC=∠PCB. 7.C8.D9.C10.B11.112.2s或6s或8s 'BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABP, ,·∠PBC=∠PCBm∠ABP 3.解：证明在RAABE和R△MCF中，gC: '∠A=60°.∠ACP=24', .Rt△ABE≌Rt△ACF(HI).∴.∠BAE=∠CAF ·∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP=180 :∠1=∠BAE-∠2，∠3=∠CAF-∠2， -60°-24”=96°， ∠1=∠3. 即3∠ABP=96°，.∠ABP=32°. (2)AM=AN,BN=CM证明如下： (2)由(1)知∠PBC=∠PCB=∠ABP=H 由(I)知R△ABE≌RE△ACF,∴AE=AF. ∠A=60',∠ACP=m', ∠1=∠3， .∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP=180 在△AEM和△AFN中，AE=AF, -60°-m°，即3n°=(120-m)°.∴.m+3n=120. ∠E=∠F, 13.解：(1)证明：：点D在AC的垂直平分线上，∴.AD=CD, ,'.△AEM≌△AFN(ASA),.AM=AN. ,.∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°， .BN-AB-AN.CM-AC-AM.AB-AC. ∠DAC=30 ..BN=CM. ,△ABC是等边三角形， 14.解：(1)，BD⊥AC,∴.∠ADB=∠CDB=90 .∠BAC=60°，∴.∠BAD=90, 在Rt△ADB中，AB=45,AD=8, .∠ABD=90°-∠ADB=30°， ,∴.AD+CD=2AD=BD. ∴BD=AB-AD=4, (2)成立.理由：如图.在DB上取点E,使DE=AD,连 在R1△CDB中，BC=17,BD4, 接AE. ∴.CD=VBC-BD=1. ,∠ADB=60, (2)证明：如图，过点F作FH⊥FD,垂足为F,FH与AC .△ADE是等边三角形， 交于点H,则∠DFH=90°， .AE=AD,∠EAD=60' :∠ADB=∠CDB=90°，DF平分∠ADB, ,”△ABC是等边三角形， ∴.∠BDF=∠ADF=45°， ∴.AB=AC,∠BAC=60°， .△DFH是等腰直角三角形， .∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=6O, ∴.∠FHD=45,FH=FD. ,.∠BAE=∠CAD. .DH=FH+FD=√ZFH= AB=AC. 2DF. 在△BAE和△CAD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD. EF⊥AB,BD⊥AC, .△BAE≌△CAD(SAS), ∴.∠AFE=∠BDE=90', .BE=CD, ∴.∠A+∠FE1H=90,∠A+∠DBF=90°， ∴.AD+CD=DE+BE=BD ∴·∠FEH=∠DBF, 下册参考答案 171 第2课时三角形三边垂直平分线的性质与作图 :BD为△ABC的角平分线，DE LAB,DF 1.C2.A ⊥BC,.DE=DF 3.证明：如图，连接CP AB=12,BC=8 1是CA的垂直平分线，.AP=CP SaamSA= (号C·DF）:(AB .∠A=∠ACP, 2 同理.得∠B=∠PCB. DE)=BC:AB=8:12=2:3, :∠A+∠ACP+∠B+∠PCB=180 .∠ACP+∠PCB=90°， 即△CBD与△ABD的面积之比为2：3. 即∠ACB=90°，∴.△ABC是直角三角形 (2),△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比为 4.C5.③ 2:3,∴△ABD的而积为30. 6.解：如图所示 又：AB=127×12DE-30DE=5. 4.A 5.证明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD. 又DF⊥AC,DE⊥AB, ·∠BED=∠CFD=90 (BD=CD. 在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, 由题意，得AD1BC,BD=CD=2BC=号×8=4，AB ∴，Rt△BDE≌Rt△CDF(HI), 10.∴.AD=AB-BD=10-4F=2√2T. .DE=DF,AD平分∠BAC 7.A8.D9.24 6.47.C8.B9.B10.2+2 10.解：(1)，DM垂直平分AB, 11.解：(1D证明：如图.作DF⊥BC于点F,DHLAB于点H. .DA=DB,·∠DAB=∠B ,BD是△ABC的角平分线， :∠ADE+∠ADB=180°.∠DAB+∠B+∠ADB=180°， ∴.DF=DH ∴.∠ADE=∠DAB+∠B=2∠B. c·DF BC 同理可得EA=EC.∠AED=2∠C. AB :∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∠DAE=40°， ZAB·DH .∠ADE+∠AED=180°-∠DAE=140°， (2)证明：如图，作BE⊥AC于点E .2∠B+2∠C=140°， ,.∠B+∠C=70°， SAND CD·BE CD ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=110. SAMD AD·BE AD' (2),△ADE的周长为18， 二需需需 BC CD ..DA+DE+EA=18. 由(1)可知，DA=DB.EA=EC, (3)2 ∴，DB+DE+EC=I8 12.解：(1)证明：，'AC平分∠DAB,∠DAB=60°，∠B=∠D ∴.BC=18. =90°， 11,解：(1)如图，连接AO ∴.∠DAC=∠BAC=30°，DC=BC ,AB,AC边的垂直平分线交于 在Rt△ABC中，设BC=x,则AC=2x,AB=/(2x-x 点0， ..AO=BO=CO. =3无， .∠OAB=∠OBA.∠OCA=∠OAC 同理可得AD=√x, :∠BAC=a, .AB+AD=5x+√3x-25x=√3X2.x=V3AC ∴.∠OBA+∠OCA=a, (2)AB+AD=√3AC依然成立，理由如下： ∴.∠OBC+∠(OCB=180°-∠OBA-∠BAC-∠OCA 如图，过点C分别作CE⊥AD于点E,CF 180°-2a. AB,交AB的延长线于点F .∠B(0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-(180°-2a) CE⊥AD,CF⊥AF, =2a. ,∠DEC=∠BFC=90 (2)∠ABO+∠ACB为定值. 又：AC平分∠DAB,.CE=CF 由(1)知，BO=C0, ∴∠OBC=∠OCB. 在Rt△DEC和RI△BFC中， (CD-CB. CE-CF. ∠0Bc=2180°-2a)=90-a .Rt△DE≌Rt△BFC(HL), :∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=18O°， .DE=BF. ∴∠ABO+∠ACB=180°-∠BAC-∠OBC=180°-G ..AB+AD-AB-+AE+DE-AF+AE. (90°-a)=90° 由(I)同理可得AE+AF=√5AC, 4角平分线 .AB+AD=3AC. 第1课时角平分线的性质与判定 第2课时三角形三条角平分线的性质与作图 1.B2.3 1.B2.B3.1354.15.C6.3:2:47.45 3.解：(1)如图，过点D作D⊥BC于点F. 8.解：如图所示.(1)角平分 172 数学八年级BS版3 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 要点提示 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个鷓点的距离相等. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个藕点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上， O1固基础 知识点1线段垂直平分线的性质定理 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别 交AB,BC于点D,E,连接AE.若AE=4, EC=2,则BC的长是 ( A.2 B.4 C.6 D.8 知识点2线段垂直平分线的判定定理 5.如图，AC=AD,BC=BD,则有 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB 第2题图 C.AB与CD互相垂直平分 2.(教材变式)如图，在四边形ABCD中，AC D.CD平分∠ACB 垂直平分BD,垂足为E.下列结论不一定成 立的是 A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 第5购周 第6题图 3.(2024抚州南城期中)如图，在 6.如图，线段AB外有两点C,D(在AB同 △ABC中，AB=AC=15,AB 侧)，连接CA,CB,DA,DB,并使CA=CB, 的垂直平分线DE交AC于D, DA=DB,直线DC交AB于点M.若 连接BD.若△DBC的周长为 B ∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB的度 27,则BC的长为 第3题图 数为 4.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE A.80° B.90° C.100°D.1109 是线段AB的垂直平分线，连接BE. 7.如下图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC (1)若∠A=35°，则∠CBE的度数为 上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA 相等，DE⊥PD于点D,交BC于点E.求 (2)若∠A=30°，△BCE的周长为15+5√3， 证：点E在BD的垂直平分线上. 求△ABC的面积. 下册第一罩 .……念02提能力 (2)若∠ACP=m°，∠ABP=n°，求m,n满 足的关系式 8.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在 第三边上，则这个三角形是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C锐角三角形 D.不能确定 9.如图，已知∠BAC=60°，AD是∠BAC的平 分线，AD=10,作AD的垂直平分线交AC 于点F,DE⊥AC于点E,连接DF.△DEF 之O3拓思维) 的周长为 ( 13.已知△ABC是等边三角形，D是三角形外 A.10 B.5+55C.5+55D.55 动点，满足∠ADB=60. (1)如图①，当点D在AC的垂直平分线上 时，求证：AD+CD=BD: (2)如图②，当点D不在AC的垂直平分线 上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明 第9题图 第10题图 理由 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 3,AC=4.若AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于点E,交AB于点D,则DE的 长为 图 图2 11.推理能力如图，在△ABC中， ∠C=30°，D是AC的中点，DE D ⊥AC交BC于点E,点O在DE 上，OA=OB.若OD=2,OE=4, 则BE的长为 第11题图 12.如下图，在△ABC中，∠A=60°，D是边 BC的中点，DE⊥BC交AC于点E, ∠ABC的平分线BF在△ABC内交DE 于点P,交AC于点F,连接PC (1)若∠ACP=24°，求∠ABP的度数： 致学八年级BS版 第2课时三角形三边垂直平分线的性质与作图 要点提示 三角形三边垂直平分线的性质定理：(1)定理内容，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个 项点的距离相等.(2)三种三角形三边垂直平分线变点的位置不同.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角 形内：直角三角形三边垂直平分线的交，点在斜边的中点上：纯角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外」 线段垂直平分线的尺规作图法：已知线段AB,如右困. 才C 求作：线段AB的垂直平分线. A B 作法：)分别以点A和点B为国心，大于AB的长为率径画孤，两孤相交于C,D两点： ￥D (2)作直线CD,直线CD即为线段AB的垂直平分线， O1固基础 ,。。 70 知识点1三角形三边垂直平分线的性质 人年50 B 1.如图，O是△ABC三条边的垂直平分线的交 点，OA=8,则OA十OB十OC= ( A.11 B.16 C.24 D.64 A50 D 5.如图，已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使 AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h. 第1题图 第2题图 小红的作法如下：①作线段BC=a:②作线 2.如图，D是线段AC,AB的垂直平分线的交 段BC的垂直平分线MN,交BC于点D: 点.若∠ACD=30°，∠BAD=50°，则∠BCD ③在直线MN上截取线段h:①连接AB, 的大小是 AC.△ABC即为所求作的等腰三角形.上述 A.10°B.20° C.30° D.40 作法的四个步骤中，有误的一步是 3.如右图，在△ABC中，CA,CB的 (填序号). 垂直平分线l,m的交点P在第 三边上.求证：△ABC是直角三 角形. h 第5题图 6.(教材变式)如右图，在△ABC中， AB=AC=10,BC=8.用尺规作 BC边上的垂直平分线AD,点D在 BC上（保留作图痕迹，不要求写作 法)，并求线段AD的长 知识点2与垂直平分线有关的作图 4.(2024保定安新期中)根据图中圆规作图的 痕迹，可用直尺成功确定到三角形三个顶点 的距离相等的点的是 () 下册第一罩 … 02提能力乡 7.真实情境某镇三个村庄A, B,C的位置如图所示，镇政府 联合企业对三个村庄展开安 D 置房修建工作，由于施工需要第7题图 大量用水，为了缓解当地的用水压力，同时 避免污染当地河流等自然水源，镇政府准备 打井供给施工用水.若想使水井到三个村庄 的距离相等，则适合挖井的点是 ( A.点D B.点E C.点F D.点G 8.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，边AB的 垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,边 ……之O3拓思维● AC的垂直平分线交AC于点F,交BC于点 11.如下图，在锐角三角形ABC中，AB,AC边 G,连接AE,AG.∠EAG的度数为() 的垂直平分线交于点O. A.35° B.30 C.25 D.20 (1)若∠A=a(0°<&< 90°)，求∠BOC的度数： (2)在(1)的条件下，试判 断∠ABO十∠ACB是否为定值.若是，求 第8题图 翦9题图 出定值：若不是，请说明理由。 9.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC,AC的 垂直平分线交BC于点E,垂足为D.若∠B =70°，∠FAE=19°，则∠C的度数为 10.(2024兰州城关区期末)如下图，在△ABC 中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,交 BC于点D,E. (1)若∠DAE=40°，求∠BAC的度数： (2)若△ADE的周长为18，求BC的长度. 致学八年级BS版