第一章 2 直角三角形-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

.∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD ,∠EFB=60 ,EF∥BC,.∠CBD=∠EDB,∠BCD=∠FDC, :AB=AC,AD平分∠BAC, ∠EBD=∠EDB,∠FCD=∠FIDC. .AH⊥BC,即∠AHC=90°， .BE-DE.CF-DF. ∴.∠HDF=30°， CoN=AE+AF+EF=AE+AF+DE+DF=AE+AF .∠ADE=∠HDF=30 十BE+CF=24,即AB+AC=24, (2)由(1)知∠EBC=∠E=∠EFB=60'. .C6Am=AB+AC+BC=24+14=38. ∴，△BEF是等边三角形，∴EF=BF 5.D6.∠B≥90°7.解：≠=≠平角为180°≠ BE=8. 8.C9.C10.1511.8 BC=10.∴.FC=BC-BF=10-8=2. 12.解：(1)证明：：AB=AC,∠ABC=∠4. :AB=AC,AD平分∠BAC, BD平分∠ABC,·∠1=∠2. BH=CH=号BC-5,∴.HF=5-2=3. CE=CD..∠3=∠E. :∠4=∠3+∠E=2∠E,∠ABC=∠1+∠2=2∠2， 在Rt△DHF中，∠HDF=30°， ∴∠2=∠E. .DF=2HF=6,,ED=EF-DF=8-6=2. .BD=ED,即△BDE为等版三角形 故ED的长为2em. ,DH⊥BE,H为BE的中点。 14.解：(1)证明：如图，过点M作Q∥BC,交AC于点Q (2)当∠A=90"时，AD=HC.证明如下： ,△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=6O°， 根据题意可知，在△ABD和△HBD中， MQ∥BC.∴∠AMQ=∠B=60°. 1∠1=∠2. ∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP ∠A=∠DHB =∠N, BD=BD. .△AMQ是等边三角形 .△ABD≌△HBD(AAS),AD=DH. .AM=QM. :AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形 .AM=CN...QM=CN. ∴.∠4=45. I∠QPM=∠CPN. :∠DHC=90,.△DHC为等腰直角三角形， 在△QMP和△CNP中， ∠QMP=∠N, ∴，DH=HC,∴.AD=HC QM=CN. 13.解：(1)当DC=2时，△ABD2△DCE. .△QMPC≌△CNP(AAS),.MP=NP 理由：∠C=40°，∴.∠DEC+∠EDC=140 (2),△AMQ是等边三角形，HLAC,AH=HQ. ∠ADE=40°，∠ADB+∠EDC=140°. ,△QMP≌△CNP..QP=CP, .∠ADB=∠DEC. PH=HQ+QP-号AC 又，AB=DC=2,∠B=∠C=40°， ∴，△ABD≌△DCE(AAS), AB-AC-d.PH (2)可以.分三种情况考虑： ①当∠AED=∠DAE时，AD=DE. 2直角三角形 :∠ADE=40',·∠AED=∠DAE=70, 第1课时直角三角形的性质与判定 .∠ADC=180°-∠C-∠DAE=70°， 1.C2.√10 则∠BDA=180°一70°=110（经检验符合题意）： 3.解：(1)，AD⊥BC,.∠ADB=90°， ②当∠DAE=∠ADE=40"时，AE=DE. .∠ABD+∠BAD=90°. ∴.∠ADC=180°-∠C-∠DAE=100°， ,∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAD=90°， 则∠BDA=80'(经检验符合题意)： ·∠ABD=∠CAD=36. ③当∠AED=∠ADE=40°时，AD=AE, :BE平分∠ABC,∠ABE=∠ABC=18, 此时∠AED<∠C十∠EDC,不符合题意 .∠AEF=90°-∠ABE=72 综上所述，△ADE的形状可以是等腰三角形，且当△ADE是 (2)证明：：BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE. 等腰三角形时，∠BDA的度数为110°或80， :∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°， 第↓课时等边三角形的判定 ∴∠AEF=∠BFD. 与含30°角的直角三角形 ∠AFE=∠BFD,.∠AEF=∠AFE 1.C2.C3.24.D5.46.7.2 ∴△AEF是等腰三角形. 7.解：AB=AC,.∠B=∠C=30, 4.D ∴.∠BAC=180°-2×30°=120 5.解：△ACD是直角三角形.理由如下： DA⊥BA,.∠BAD=90°， ∠B=90°，BC=1,AB=√3， .∠CAD=120°-90°=30°， ∠CAD=∠C,AD=CD. ∴.AC=VAB+BC=√(W3)2+1=2. 在R1△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90 ,CD=2,AD=22, .BD=2AD. ∴.AC+CD=2+2=8,AD=(22)2=8. .BC=BD+CD=2AD+AD=3AD. .AC+CD=AD,∴.△ACD是直角三角形. :BC=6cm,∴.AD=2cm 6.C7.假8.A9.C10.2或空1.5 8.22.59.A10.D11.4w3-412.1AC4 13.解：(1)如图，延长ED交C于点F,延长AD交BC于点H 12.解：(1)△BDC是直角三角形. ,'∠EBC=∠E=60°， 理由：，BC=8√5cm,BD=16cm,CD=8cm, 170 数学八年级Bs版 .BD+CD=BC. ∠FEH=∠FBD, .△BDC是直角三角形，且∠D=0 在△EHF和△BDF中，∠EHF=∠BDF=45, (2)设AB=xcm,则AC=xcm,AD=(16-x)cm FH-FD. 在△ADC中，，AC=AD+CD, ∴.△EIHF≌△BDF(AAS),∴.EH=BD, ∴.x=(16一x)2十8，解得x=10,AB=AC=10cm, .BD+ED=HE+DE=DH=V2DF. ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+8/5=(20+ 3线段的垂直平分线 85)cm. 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 13.解：(1)AC=45. 1.C2.C3.12 (2)BD的长为号或2. 4.解：(1)20° (2):∠C=90°.∠A=30°.∴∠ABC=60 第2课时直角三角形全等的判定 EB=EA,.∠ABE=∠A=30°，.∠CBE=30°， 1.C2.D3.154.A5.C ∴BE=2CE,设CE=x,则BE=2x,.BC=√BE-CE区= 6.解：(1)证明：，CD⊥AB,BE⊥AC, V3x,.3x+√5x=15+55,.x=5,.CE=5,BC=5V5, ∴.∠ADC=∠AEB=90, EA=EB■10，.AC=CE十EA=15,.△ABC的面积 ∠ADC=∠AEB. 在△ADC与△AEB中，〈∠DAC=∠EAB. AC·BC=755 2 AC=AB. 5.A6.C ,∴.△AD≌△AEB(AAS),.AD=AE. 7.证明：在△ABC中，∠C=90°，.∠B=90°-∠A. (2)直线(OA垂直平分线段BC.理由如下： DE⊥PD,.∠PDE=90°， 如图，延长AO交BC于点P. .∠EDB=90°-∠PDA. 在Rt△ADO与Rt△AEO中， ,PD=PA,.∠A=∠PDA..∠B=∠EDB, AD-AE. ED-EB,点E在BD的垂直平分线上. AO-AO. .R1△ADORU△AEO(HL. 8A9.B10,号11.8 .∠DAO=∠EAO 12.解：(1)，D是边BC的中点，DE⊥BC, :AB=AC.直线OA垂直平分线段BC. .PB=PC,.∠PBC=∠PCB. 7.C8.D9.C10.B11.112.2s或6s或8s 'BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABP, ,·∠PBC=∠PCBm∠ABP 3.解：证明在RAABE和R△MCF中，gC: '∠A=60°.∠ACP=24', .Rt△ABE≌Rt△ACF(HI).∴.∠BAE=∠CAF ·∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP=180 :∠1=∠BAE-∠2，∠3=∠CAF-∠2， -60°-24”=96°， ∠1=∠3. 即3∠ABP=96°，.∠ABP=32°. (2)AM=AN,BN=CM证明如下： (2)由(1)知∠PBC=∠PCB=∠ABP=H 由(I)知R△ABE≌RE△ACF,∴AE=AF. ∠A=60',∠ACP=m', ∠1=∠3， .∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP=180 在△AEM和△AFN中，AE=AF, -60°-m°，即3n°=(120-m)°.∴.m+3n=120. ∠E=∠F, 13.解：(1)证明：：点D在AC的垂直平分线上，∴.AD=CD, ,'.△AEM≌△AFN(ASA),.AM=AN. ,.∠DAC=∠DCA,∠ADB=∠CDB=60°， .BN-AB-AN.CM-AC-AM.AB-AC. ∠DAC=30 ..BN=CM. ,△ABC是等边三角形， 14.解：(1)，BD⊥AC,∴.∠ADB=∠CDB=90 .∠BAC=60°，∴.∠BAD=90, 在Rt△ADB中，AB=45,AD=8, .∠ABD=90°-∠ADB=30°， ,∴.AD+CD=2AD=BD. ∴BD=AB-AD=4, (2)成立.理由：如图.在DB上取点E,使DE=AD,连 在R1△CDB中，BC=17,BD4, 接AE. ∴.CD=VBC-BD=1. ,∠ADB=60, (2)证明：如图，过点F作FH⊥FD,垂足为F,FH与AC .△ADE是等边三角形， 交于点H,则∠DFH=90°， .AE=AD,∠EAD=60' :∠ADB=∠CDB=90°，DF平分∠ADB, ,”△ABC是等边三角形， ∴.∠BDF=∠ADF=45°， ∴.AB=AC,∠BAC=60°， .△DFH是等腰直角三角形， .∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC=6O, ∴.∠FHD=45,FH=FD. ,.∠BAE=∠CAD. .DH=FH+FD=√ZFH= AB=AC. 2DF. 在△BAE和△CAD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD. EF⊥AB,BD⊥AC, .△BAE≌△CAD(SAS), ∴.∠AFE=∠BDE=90', .BE=CD, ∴.∠A+∠FE1H=90,∠A+∠DBF=90°， ∴.AD+CD=DE+BE=BD ∴·∠FEH=∠DBF, 下册参考答案 1712直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 要点提示 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于蒂三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 互逆命题与互逆定理：(1)互递命题，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为互递命题，其中一个命题称为另一个命题的递命题.(2)互逆定理.如果一个定理的逆命 题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的递定理，这两个定理称为至遥定理。 O1固基础 (2)求证：△AEF是等腰三角形. 知识点1直角三角形的性质 1.跨物理学科如图，平面镜MN放置在水平 地面CD上，墙面PD⊥CD于点D.一束光 线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB, 点B在PD上.若∠AOC=35°，则∠OBD 的度数为 ( 知识点2直角三角形的判定 A.35 B.45 C.55 D.65 4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记 为a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC为 直角三角形的是 () 0 B N A.∠A+∠B=∠C -10123 第1题图 第2题图 B.∠A：∠B:∠C=1:2:3 2.(2024宜春上高期末)如图，在数轴上方作边 C.a2=c2-62 长为1的小正方形网格.以原点O为圆心， D.a:b:c=3:4:6 OB的长为半径画弧，与数轴交于点A,则点 5.如下图，连接四边形ABCD的对角线AC, A表示的数为 已知∠B=90°，BC=1,AB=√3，CD=2, 3.如下图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥ AD=2√2.请问△ACD是直角三角形吗？ BC于点D,BE平分∠ABC,与AC,AD分 请说明你判断的理由. 别相交于点E,F. (1)若∠CAD=36°，求∠AEF的度数： 下册第一罩 知识点3互逆命题与互逆定理 (2)求△ABC的周长. 6.下列定理中，没有逆定理的是 A,两直线平行，内错角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.对顶角相等 D.直角三角形的两个锐角互余 7.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题（填“其”或“假”）. O2提能力 ， 。。。。 8.已知下列命题：①若a十b=0,则|a|=b川： O3拓思维) ②等边三角形的三个内角都相等：③底角相 13.如图①，在△ABC中，AB=BC 等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆 OC=8,AO=4,BO=6. 命题均为真命题的个数是 (1)求AC的长： A.1 B.2 C.3 D.0 (2)若D是射线OB上的一个动点，作DE 9.在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C= ⊥AC于点E,DE交直线BC于点F,连接 2:n:4,则m的值是 OE,OF,如图②.若S△F:S△F=1:4, A.3 B.4 C.2或6D.2或4 求BD的长 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射 线BC以2cm/s的速度移动.设运动的时间 为ts,当t= 时，△ABP为 各用图 直角三角形 B A 第10题图 第11题图 11.(教材变式)如图所示的是一个棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正 方形，其边长都为1cm.假设一只蚂蚁从下 底面点A沿表面爬行至侧面的点B,最少 要爬 cm. 12.(2024湛江期中)如下图，已知等腰三角形 ABC的底边BC-85cm,D是腰BA延 长线上的一点，连接CD,且BD=16cm, CD=8 cm. (1)判断△BDC的形状，并说明理由： 致学八年级BS版 第2课时直角三角形全等的判定 要点提示 斜边、直角边定理(HL):斜这和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 判定两个直角三角形全等的方法：(1)直角三角形是特殊的三角形，针边、直角边定理(H山，)是判定直角三角形 全等的特殊方法：(2)一般三角形全等的判定方法对于直角三角形同科适用，因此判定两个直角三角形全等共 有五种方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL. O1固基础 。。。。 A.∠DAE=∠CBE B.CE=DE 知识点1用“L”判定直角三角形全等 C.△DAE与△CBE不一定全等 1.(2024抚州黎川期中)如图，∠A=∠D= D.∠1=∠2 90°，AC=DB,以下能作为△ABC与△DCB 6.如下图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于 全等的依据是 点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点 A.AAS B.SSS C.HL D.SAS O,连接AO. (1)求证：AD=AE: (2)试判断OA所在直线与线 第1题图 第2题图 段BC之间的位置关系，并说 2.如图，BE-CF,AE⊥BC,DF⊥BC.要根据 明理由. “HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,还需要添 加的一个条件是 A.AE-DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 3.如图所示，点O在一块直角 三角板ABC上（其中∠ABC =30),OM⊥AB于点M, A M ON⊥BC于点N.若OM= 第3题国 ON,则∠ABO的度数为 知识点2直角三角形全等的判定综合 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 02提能力 的是 ( A.两个锐角分别对应相等 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于 B.两条直角边分别对应相等 点D,BD=BC.若AC=6cm,则AE+DE C.一条直角边和斜边分别对应相等 等于 () D.一个锐角和斜边分别对应相等 A.4 cm B.5 cm C.6 em D.7 em 5.如图，AD=BC,∠C=∠D= 90°.下列结论中，不成立的是 第5题图 第7题图 第8题图 下册第一罩 8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高 (2)试判断线段AM与AN,BN与CM的 AD和BE的交点，CD=4,则线段DF的长 数量关系，并加以证明. 为 ( A.2√2B.32C.42D.4 9.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E, BE,CD相交于点O,连接OA.如果AB= AC,那么图中全等的直角三角形的对数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 B 。。。。。。。 之O3拓思维) 。。。。。 第9题园 第10题图 I0.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD 14.如下图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,在 =CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E. 线段DA上取一点E,使得ED=CD,DF 若AB=5,DE=2,则BE的长为() 平分∠ADB,交AB于点F,连接EF A.2 B.3 C.4 D.5 (1)若AB=45,BC=√/I7,AD=8,求CD 11.(教材变式)如图，某游乐园有两个长度相 的长： 等的滑梯BC,EF,左边滑梯的高度AC与 (2)若EF⊥AB,求证：BD+ED=√2DF. 右边滑梯水平方向的长度DF相等，CG平 行地面BF.若DF=3m,AB=4m,则EG 的长度为 m 第11题图 第12题围 12.如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=8,AC=4, 射线BM⊥AB,垂足为B.一动点E从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 AN运动，D为射线BM上一动点，始终保 持ED=CB.当点E的运动时间为 时，△BDE与△ABC全等 (点E与点A重合的情况除外). 13.如右图，在△ABE和 △ACF中，∠E=∠F= 90°，AB=AC,BE=CF. (1)求证：∠1=∠3： 12 致学八年级BS版