第二章 1-2 不等关系 不等式的基本性质-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

?点P的速度为2cm/s,移动时间为1s. *.CP-2tcm.*BP-BC-CP-(9-2tem. .点Q的速度为5cm/s,移动时间为1s. ..BQ-5tcm. (2)当△PBQ为等边三角形时,BQ-BP. (2)如图:过点G作GM AB干点M,GN BC干点N. 由(1),得BG为乙ABC的平分线..'.GM-GN. .当-- 时,△PBQ为等边三角形. AB.GM # 4.B 5.2/③ BC·GN 6.解:(1)证明::BD平分/ABC.ABC=60{* .S-27. . DBC-/ABC-30°. 9.D 10.6 11.解:如图,连接OC. :C-45*ADB= DBC+ C-75. : OP BC. OO I AC. OR AB. BAC-180- ABC- C-180*-60*-45*-75”。 之BAC.乙ABC的平分线交于点O. . BAC- ADB..AB-BD. .OR-OQ-OP. (2)在Rt△ABE中.ABC-60*,AE-3 由勾股定理,得AR-OA-OR,AQ '. /BAE-30*..'AB-2BE -OA-OQ: '由勾股定理,得BE一/③ *.AR-AQ.同理,得BR-BP.CQ-CP. 在Rt△AEC中,C-45*,AE-3. 设BP-BR-x.CP-CQ-y.AQ-AR-:. '. EAC-45”..'EC-AE-3. (y十z-9. (r=3. 则x+y-8.解得y-5. BC-3十3.. s-BC·AF-+33 -7, 一4. 7.A 8.D 9.B 10.2.4 *BP-3.CQ-5.AR-4. 11.解;(1)B-D.理由如下: '.BP+CQ-AR-3+5-4-4. : BAD-CAE.BAD-CAD- CAE-CAD 12.解:(1)FE一FD.理由如下: ./BAC- DAE. 如图①,过点F作FM1AB于点M,FN1BC于点N,则 又:AB-AD.AC-AE. FME- FND-90°。 '.△ACB△AED(SAS)...B- D ·AD.CE分别是BAC.BCA的平分线,ACB一90”. (2)80{ 乙B-60{. 12.C '. BAC-90*-乙B-30”,ACE- ACB-45^。 13.证明.(1)*:DF 1AB...DFB-90 DE-DB '. BAD- BAC=15,FEM= BAC+ ACE- '.Rt△CDERt△FDB(HL).'.CD-FD 30+45-75{, 又:DCAC.DFIAB. * FDN- B+$BAD-60*+15$-75$$ .FEM-FDN. '点D在/CAB的平分线上. 'BAC.BCA的平分线AD,CE交于点F. (2)由(1)可知,CD-FD. AD-AD. FMI AB.FNI BC..'.FM-FN. 在Rt△ADC和Rt△ADF中. CD-FD. *.△FEM△FDN(AAS)...FE-FD '.Rt△ADCRt△ADF(HL)...AC-AF. ##### 又.BF-CE '.AE+AB-AC-CE+AF+FB-AC+AF-2AC,即AE +AB-2AC. 第二章 一元一次不等式 图① 围② 与一元一次不等式组 (2)成立,理由如下: 不等关系 如图②,过点F作FM1AB于点M.FNIBC于点N,则 FME- FND-90*.且由(1)可知,FM-FN 1.C 2.D FDN-乙B+BAD-60+乙BAC. FEM- 3.解:(1)r十(-3)0. (2)“+3<5. BAC十ACE=乙BAC+(180*-乙B- BAC)= (3)(a十b)三3. 4.A 5.A 6./<3 <BAC+(180”-60”-乙BAC)-60*+乙BAC. 7.解:1.8km-1800m. 根据题意,得210x+90(15-x)1800. .FEM- FDN. 2 不等式的基本性质 ..△FEMC△FDN(AAS)...FE-FD. 1.C 2.A 3.(1)(2)(3)< (4一 4.A 本章小结 1.B 2.C 5.解:(1)不等式两边都加1,得x>3. (2)不等式两边都乘一1,得x一 3.解:(1)在等边三角形ABC中,BC-AB-9cm. 下册 参考答案 (3)不等式两边都乘2,得x<6 .r可以为4,5.6. 6.错误 7.A 8.B 9.< 2.共有3种不同的购买方案 10.解;.'a.b,c为直角三角形的三边,c为斜边 7.B 8.A 9.33 10.66 '十-”,a+b>c. 11.解;设从普通人工检票口进入的旅客有x人. #+2(c-a)-(++2b)-+2c-2a---2 -(--)+2(-a-b-2(-a-b '.C+2(c-a)<a+b+2b. .x为正整数,..x的最小值为77, 3 不等式的解集 .从普通人工检票口进入的旅客至少有77人. 1.A 2.B 3.(1)1.2 (2)-3.-2.-1 12.解;(1)每顶A型帐篷和B型帐篷的租金分别是50元。 4.r<1(答案不唯一) 25元. 5.解:这句话不正确,理由:.一个含有未知数的不等式的所 (2)最省钱的租用方案是租用A型帐蓬67顶、B型帐篷33 有解,组成这个不等式的解集,不等式r十2<5的解集是 顶,此方案的总费用为4175元. 5 <3.而x<0只包含不等式x+2<5的部分解.例如,-=2 一元一次不等式与一次函数 是不等式x+2<5的解,但并不在x<0的范围内,^'这句 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 话不正确。 6.D 7.A 8.(1)3 (2)3 a<4 9.6075 10.解:(1). 5.解:(1)x<4(2)x<0 (3)由一次函数的图象可知,两条直线的交点是P(2,1.8). 两边都乘3,得~3. 当函数y的图象在函数y。的图象的下方时,即为<y; '当2时,yy: 在数轴上表示如图所示. 6.解:(1)把P(n,-2)代人y=-2x+3,得-2n+3--2.解 得-.P(-2). (2)”<-2,不等式的解集为3,而-2<3. 把P(,-2)代人-△+n,得--+”--2-解 'a是该不等式的解. 4 一元一次不等式 (2) 第1课时 一元一次不等式的解法 1.B 2.2 3.C 4.1.2.3.4 (3)令x-0.则y=3.=-3..A(03),B(0o.-3). 5.解:去分母,得x-52(x-1). 去括号,得x-5>2r-2. $.AB-3-(-)-15. 移项,合并同类项,得一3. 系数化为1,得x一3. 故原不等式的解集在数轴上表示如图所示。 7.-1<x2 8.B 9.D -4-3-2-10 1 10.解:(1)x-2 6.C 7.A 8.21 (2)①,点A(0,4).C(-2.0)在一次函数y=h+b的图 解得一4. (一4, {2-2-十4. 9.解:解二元一次方程组,得{二-2-5, 象上.: y-2+2 -2+-0. “x+2<号y..-2b-5+2<(2+2). ,不等式x+b-4r-a的解集是x>1. 得 .点B的横坐标是1. 当x-1时,y-2x1+4-6. 2.点B的坐标是(1,6). 第2课时 一元一次不等式的应用 ②,点B(1,6)在函数y:=-4x十a的图象上. 1.D 2.B 3.14 4.八 ·6--4×1+a,解得a-10. 5.解:(1)设橙树苗和黄金贡袖树苗的单价分别为1元、 11.解;(1)0 -1 y元. (2)画出函数的图象如图所示. 1x+2y-110. 解得{r=50. 根据题意,得 示例:当x1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随 12.r+3y-190. -30. 的增大而增大. 故 橙树苗和黄金贡袖树苗的单价分别为50元、30元. (2)设购买胳橙树苗a棵,则购买黄金贡抽树苗(1000- )棵。 根据题意,得50a+30(1000-a)<38000. 解得a400. 5-4-3-0 123456 故最多可以购买胳橙树苗400棵 6.解;设购买A型分类垃圾桶c个,则购买B型分类垃圾桶(6 一)个。 依题意,得500r+550(6-x)<3100,解得x4. .z,6一x均为非负整数, (3)x-1或x2 数学八年级BS版第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 1不等关系 要点提示 不等式的概念：一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（浅“≥”）连接的式子叫微末等式：用符号“≠”连接的式子也 是不等式 O1固基础 O2提能力心 知识点1不等式的概念 5.学校组织同学们春游，租用45座和30座两 1.老师在黑板上写了下列式子：①156>155： 种型号的客车.若租用45座客车x辆，租用 ②1-x:③4x-50≠0：④2a≤6b:⑤x2+3.x 30座客车y辆，则不等式“45.x+30y≥500” =10.其中不等式的个数为 ( 表示的实际意义是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.两种客车总的载客量不少于500人 知识点2根据数量关系列不等式 B.两种客车总的载客量不超过500人 2.y减2的差不大于0，用不等式表示为 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人 A.y-2>0 B.y-2<0 6.(教材变式)某隧道入口处的指示标志牌如 C.y-2≥0 D.y-2≤0 图所示，图①表示汽车的高度不能超过 3.把下列各题中的数量关系用不等式表示 3.5m.请用不等式表示图②中标志的意义 出来。 (汽车的宽度为lm): 限制高定 限制宽度 (1)x与一3的和是负数： (2)m除以4的商加上3至多为5： (3)a与b的和的平方至少为3. 图① 图②☒ 第6题图 7.小明要从甲地到乙地，两地相距1.8km.已 知他步行的平均速度为90m/min,跑步的平 知识点3实际问题中的不等关系 均速度为210m/min.若他要在不超过 4.小霞原有存款52元，小明原有存款70元. l5min的时间内从甲地到达乙地，至少需要 跑步多少分钟？设他需要跑步xmin,请列 从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小 出不等式. 明每月存12元零花钱.设经过n个月后小 霞的存款超过小明，可列不等式为() A.52+15n>70+12n B.52+15n<70+12n C.52+12n>70+15n D.52+12m<70+15n 下册第二章 23 2不等式的基本性质 要点提示 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负，不等号的方向戴变， 不等式的其他性质：(1)对称性（互逆性）.若a>b.别b<a:(2)传递性.若a>b.b>c,则a>c O1固基础 。ge。0。 ●易错点未对a的取值范围进行分类讨论 6.(教材变式)小明说：“a一定比-3a大.” 知识点1不等式的基本性质 小明的说法 (填“正确”或 1.(2024上海)如果x>y,那么下列正确的是 “错误”). ( A.x+5<y+5 B.x-5<y-5 02提能力 C.5.x>5y D.-5.x>-5y 7.若x-a<y-a,a.x>ay,则 ( 2.若x<y,且a.x<ay,则 ( A.I<y,a<0 B.r>y,a<0 A.a>0 B.a<0 C.I<y,a>0 D.>y,a>0 C.a>1 D.a<1 8.推理能力设▲、●、■表示三种不同的物 3.填空（填“>”“<”“≥”或“≤”）： 体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么 (1)若m>n,则-2m 一 21: ▲、●、■这三种物体按质量从重到轻的顺 (2)若x<y,则3一5x 3-5y: 序排列应为 (3)若-a<-b,则-2a十9 -2b ■■ +9: (4)若a>b,且c为实数，则ac b2. 第8题图 知识点2将不等式化为“x>a”或“x<a”的 A.▲>●>■ B.▲>■>● C.■>●>▲ D.●>▲>■ 形式 9.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如 4.若-3.x>1,两边都除以一3，得 图所示，则a一b a一c(填“>” AK-号 B>-吉 “<”或“=”) C.x<-3 D.x>-3 第9题图 5.(教材变式)将下列不等式化成“x>a”或“x <a”的形式： 10.已知a,b,c为直角三角形的三边，c为斜 边，比较c2+2(c-a)和a2+b2+2b的 r-1>2(2)-<83)7<3. 大小. 24 致学八年级BS版