专题训练七 巧用旋转进行计算-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

专题训练七 巧用旋转进行计算 (限时：45分钟) 类型1利用旋转求角度 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将 13,BC=5.将△ABC绕点A逆时针旋转得 Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角 到△ADE,点D在AC的延长线上，连接 度得到Rt△DEC,点D恰好落在边AB上， BD,则BD的长为 若∠B=20°，则∠BCE的度数为() 6.如图，在△ABC中，AB= A.20° B.40° C.60° D.809 BC,∠B=60°，E是BC上的 一点，连接AE,将EA绕点 E顺时针旋转90°得到ED, 第6题图 点D恰好在AC的延长线上.若CE=2,则 AC的长为 第1题图 第2题图 类型3利用旋转求线段关系 2.如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50 7.如下图，△ABC和△ADE均为等边三角形， 后的图形为△ABC1,则∠ABB,的度数为 将△ADE绕点A旋转a(0°<a<360),连 接BD,CE 3.如右图，将△ABC绕点A逆 (1)请写出线段BD与CE的数量关系，并说 时针旋转60°得到△AEF,点 明理由： E落在BC边上，EF与AC交 (2)求直线BD与CE相交所夹锐角的度数. 于点G (1)求证：△ABE是等边三角形； (2)若∠C=28°，求∠FGC的度数. 类型2利用旋转求线段长度 4.如图，在△ABC中，AB=√6，AC=√3， ∠BAC=30°.将△ABC绕点A逆时针旋转 60°得到△ABC1,连接BC,则BC的长为 D 第4题围 第5题图 100 数学八年级BS版 类型4利用旋转确定点的坐标 段AQ,连接BQ,PQ.若AP=3,PB=4, 8.(2024瑞昌期中)将等腰直 PC=5,则△PBQ的面积为 角三角形AOB按如图所 11.有这样一道题：如图①，点D在 示放置，然后绕点O逆时 等边三角形ABC的边BC上 针旋转90°至△A'OB'的位 将△ABD绕点A逆时针旋转 置.若点B的横坐标为2， 60°，使得旋转后点B的对应点为C.小明 第8题图 则点A'的坐标为 是这样做的：过等边三角形ABC的顶点C A.(1,1) B.(-√2,2) 作BA的平行线l,在I上截取CE=BD,连 接AE,则△ACE即为△ABD绕点A逆时 C.(-1,1) D.(2,2) 针旋转60°后的图形 9.如右图，在平面直角坐标 2 B 系xOy中，直线y=kx十 b与x轴交于点A(1,0), 与y轴交于点B(0,2). -2-10N2 图2 (1)求直线AB的表达式； (1)根据小明的思路，∠DAE的度数为 (2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点 A落到点C处，点B落到点D处，线段AB (2)如图②，D为等边三角形ABC的边BC 上横坐标为的点E在线段CD上的对应 下方一点，连接AD,BD,CD.若∠CDB= 120°，AD=4,求△ABC面积的最小值. 点为F,求点F的坐标 类型5利用旋转求面积 10.如图，P是等边三角形 ABC内一点，连接AP, BP,CP,将线段AP绕点 A顺时针旋转60°得到线 第10题图 下册专题训练 101DE⊥AB于点E,刚∠ABD=∠CBD 故A型公交车的单价为80万元，B型公交车的单价为110 :∠ABC=2∠A, 万元. .∠ABD=∠CBD=∠A, (2)设购买a辆A型公交车，则购买(10一a)辆B型公交车 .AD=BD.DE⊥AB, AE=BE=号AB. 聚题相圆 解得<a 又：a为整数，∴a=A或5，.有两种购买方案. 又：AB=2BC,∴BC=BE. 方案一：购买4辆A型公交车，6辆B型公交车，总费用为 BC=BE. 80×4十110×6=980（万元）： 在△BCD和△BED中， ∠CBD=∠EBD, 方案二：购买5辆A型公交车，5辆B型公交车，总费用为 BD=BD. 80×5十110×5=950（万元）. .△BCD≌△BED(SAS), 故购买5辆A型公交车和5辆B型公交车方案的总费用最 ∴.∠C=∠BED=90°. 少，最少总费用是950万元. .△ABC为直角三角形 5.解：设总费用为y元.根据题总，得 专题训练五解含字母参数的不等式（组）】 方案一：=400×20+80(x-20)=80r+6400(x>20), 1.B2.B3.34.D5.-27<a≤-18 方案二：y2=(400×20+80x)×90%=72x+7200(x>20). (2x-a<5x+1,① 当y1-<0,即80x+6400-(72x+7200)=8x-800<0 6.解： 10-+2≥x.@ 时，解得x<100: 当y1-=0,即80.x+6400-(72x+7200)=8x-800=0 解不等式①，得>-1十0. 时，解得x=100: 3 解不等式②，得x≤6， 当y1->0,p80x+6400-(72x+7200)=8x-800>0 时，解得x>100. “不等式组的解集为-1吉<≤6。 故当购买领带的数量少于100条时，方案一合算：当购买领带 ,原不等式组有且仅有2个奇数解， 的数量等于100条时，方案一，方案二总费用一样：当购买领 1≤-1+4<3， 带的数量多于100条时，方案二合算 3 专题训练七巧用旋转进行计算 解得一10<a≤一4. 1.B2.65 7D8m>-1g.-3<m<号 3.解：(1)证明：：将△ABC绕点A逆时针旋转60得 到△AEF, 10,解：解方程组十y1m /r=m-3, AB=AE,∠BAE=60°，△ABE是等边三角形 x一y=1十3m, y=-2m-4. (2)将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF,∠C 由题意，得俨29解得-2<a<3 28",.∠CAF=60',∠F=∠C=28°， .∠FGC=∠CAF+∠F=88 故加的取值范围是一2<≤3。 4.35.266.5+1 专题训练六巧用一元一次不等式 7.解：(1)BD=CE,理由如下： (组)解决实际问题 :△ABC和△ADE均为等边三角形， 1.B ∴.AB=AC.AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， 2.解：(1)设书架上数学书的本数为x,则语文书的本数为(90 .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE .∠BAD=∠CAE 由题意，得0.8r十1.2(90-x)=84,解得x=60, AB=AC. .90-x=30 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, 故书架上数学书和语文书的本数分别为60和30. AD-AE. (2)设数学书还可以摆m本. .△ABD2△ACE(SAS),.BD=CE 根据题意，得1.2×10十0.8m≤84，解得m90, (2)如图，延长BD,CE交于点F,BF与 ·数学书最多还可以摆90本 AC交于点G 3.解：(1)设社区购买了甲种树苗x棵，则购买了乙种树苗(2z .△ABD2△ACE, 一40)棵. .∠ABD=∠ACE, 根据题意，得30x十20(2.x-40)=9000,解得x=140, ,∴，在△ABG和△FCG中，∠F=∠BAGB .2x-40=240. =60°， 故社区购买了甲种树苗140棵，乙种树苗240棵。 .直线BD与直线CE相交所夹锐角的度数为60 (2)设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗(10一y)棵 8.C 根据题意，得30y十20(10一y)≤230，解得y≤3. 9.解：(1)把A(1,0),B(0,2)分别代人y=kx十b,得 故有如下四种购买方案： ①购买甲种树苗3棵，乙种树苗7棵：②购买甲种树苗2探， 中=0·解得二。2 6=2, 1b=2, 乙种树苗8棵：③购买甲种树苗1棵，乙种树苗9棵：①购买 ,.直线AB的表达式为y=一2x十2 甲种树苗0棵，乙种树苗10棵 4.解：(1)设A醒公交车的单价为x万元，B型公交车的单价 (2)当x=时y=一2×冬+2=子∴点E的坐标为 为y万元 根据题意，得十2=300·解得工=80， (年) x=y-30, 1y=110. 过点E作EH⊥x轴于点H,连接OE,如图， 188 数学/八年级BS版 :△OAB绕点O逆时针旋转90 (41+1)[(4")2-1门=(4+1)(4+1)(4-1)=(4+ 后得到△OD, 1)(4+1)[(4)2-1]=(4+1)(4+1)(4+1)(4-1D .把△OEH绕点O逆时针旋转 =(4m+1)(4+1)(4+1)[(4)2-1]=(4+1)(4+ 90°后得到△OFQ, 1)(4十1)(4十1)(41-1)，42+1■17,4-1=15. ∴.∠OHE-∠OQF-90°，∠QOH 故这两个数为17和15 =90,0Q=0H=是，FQ=EH 6.解：(1)4 (2),a2+c￥+2b(b-a-c)=a2+c2+2b-2ab-2br=(a 6)2+(h-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,.a=b,b=c,a=b =c,.△ABC是等边三角形. “点下的坐标为（一之·） (3)存在.原式=(4x2十4xy十y2)十(x2-6.x+9)十25=(2a 10.6 +y)+(x-3)+25.(2x+y)≥0，(x-3)2≥0，.(2x 11.解：(1)60 十y)2十(x-3)十25≥25，.当2x十y=0,x-3=0,即x= (2)△ABC面积的最小值=35. 3,y=-6时，代数式5x2十4xy十y-6x十34有最小值，最 小值是25. 专题训练八因式分解的技巧 7.解：由4x2+10y2一12.xy-4y十4=0.可得4x2一12xy十9y 1.解：(1)原式=一4m2n(m一4m十7). 十y2-4y十4=0，即(2x-3y)+(y-2)'=0, (2)原式=5(2a一b)2(3b+5). .2x-3y=0,y-2=0,解得x=3,y=2. (3)原式=(a-b)(a十b)(a-b+a+b)=2a(a-b)(a十b). 当x为底边长时，△ABC的三边的长分别为3,2,2，符合三 2.解：(1)原式=(xy+4)(y-4)=(x2y2+4)(xy+ 边关系，所以周长为3+2+2=7：当x为腰长时，△ABC的 2)(xy-2). 三边的长分别为3,3,2，符合三边关系，所以周长为3十3+2 (2)原式=(x十3)(x十4)十(x十3)(x-3)=(x十3)(x十4+ =8. x-3)=(x十3)(2x十1). 综上，△ABC的周长为7或8. (3)原式=4xy-4x2-y=-(4x2-4xy+y)=-(2x-y)产. 8.解：P-Q=(2x2+4y+13)-(x2-y2+6x-1)=x-6x十 (4)原式=(x2+5x+6)(x2-5r-6)=(x+2)(x+3)(x y+4y+14=(x-3)+(y+2)+1. 6)(x+1). (x-3)2≥0，(y+2)≥0， 3.解：原式=x2-4x十4-y+6y-9=(x-2)2-(y-3)2= .P-Q■(x-3)2+(y+2)2+1≥1，.PQ (x-2+y-3)(x-2-y+3)=(x十y-5(x-y+1). 9.证明：原式=(a+6-c2)1-(2ab)=(a2十日-2+ 4.解：原式=abc2+abd+cda2+cdb=(abx2十rda)+(abd 2ab)(a+b-c2-2ab)=[(a十b)'-e][(a-b)'-c2]=(a +cdb)=ac(iad)+bd(adb)=(ad)(ac+bd). +8+c)(a+b-c)(a-b-c)(a-b-c). 5.解：(1)不制底(x-2) ,a,b,c为三角形三边的长， (2)设m一2m=n, .a+b+c>0.a+b-c>0,a-b+e>0,a-b-c<0. 则原式=m(n十2)十1=n2十2m十1=(n十1) :.(a+6+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0. =(2一2m十1)2=(m一1)， 即(a2+6-c2)2-4ab<0. 专题训练九因式分解的常见应用 故(d+-2)-4a的值一定为负. 1,解：(1)原式=12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12. 10.解：(1)192-172=8×9=72. (2)原式=(50.2+49.8)×(50.2-49.8)=100×0.4=40. (2)(2n+1)2-(2n-1)°=8n. 3原式-5+4X5-包_1020=0 (3)(2n+1)2-(2m-1):=(2m+1+2m-1)(2n+1-2m+ (99+1) 1002 1)=4n×2=8u. ④原式=(1-)×(1+)×(1-号)×(1+号)× 专题训练十分式的化简求值 (1-)×(1+)×(1-)×(1+吉)×…×(1 1解原式=品(+) )×1+a》 品·昂 a十1 =×号×号×号× 5×1 ×…×2 1 a-11 2025 ×8器 1=-3 =×28器-28器 2解：原式=。：（任-2。） 2.443.13 4.解：(1)原式=[(xy-2)(xy十2-2)]÷xy =a-b÷a3-2ab+ a =xy-2. -4-b.a 当x=10,y=- 六时，原式=10×（一若）-2=-号-2 4(a-b) -2号 (2)原式=xy(x-2xy+y)=xy(x-y). 当a=5+1.6=5-1时，原式=后+1-5+云 当x一y=1xy=2时，原式=2. 5.解：根据题意，得4一1=(4“)2一1=(4“+1)(4“一1)= 3解原式号品+品 下册参考答案 189