精品解析：2025年广东省清远市连州市中考二模九年级数学试卷

机密★启用前 连州市2025年初中学业水平模拟考试（二） 九年级数学 本试卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 3. 截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）超亿元，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个角的补角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（） A. B. C. D. 7. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 8. 关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 9. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图，与相切于点，交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 66 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定运动员参加比赛，应选择_______． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 因式分解：_____． 14. 化简：的结果为______． 15. 如图，在扇形中，已知，，的平分线交与点，过点作，，垂足分别为，则图中阴影部分的面积为_______. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如题图，中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作边上的高，垂足为D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）条件下，若平分， ，求的长． 18. 舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． （1）舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； （2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？ 20. 将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． （1）十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． （2）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． （3）十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形是正方形，D为中点，以O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标，过点D的反比例函数的图象与边交于E点，F是线段上的一动点． （1）求的正切值； （2）若平分，求出F点的坐标； （3）若的面积为，的面积为．若，证明：F是线段的中点． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 连州市2025年初中学业水平模拟考试（二） 九年级数学 本试卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数大小比较；根据得出结果即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是：， 故选：D． 2. 2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解．如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图形，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：在此正方体上与“传”字相对的面上的汉字是“文”． 故选：C． 3. 截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）超亿元，登顶全球动画电影票房榜．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 下列各式中，从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了积的乘方、单项式乘法、同底数幂除法和合并同类项，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、和不能合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 若一个角的补角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的补角；根据和为的两个互为补角即可求解． 【详解】解：， 即这个角为； 故选：D． 6. 已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：∵x﹣1≥0， ∴x≥1． 故选C． 【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此不等式x≥1即x﹣1≥0在数轴上表示正确的是C． 7. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作A、B、C、D，画树状图，得出所有等可能结果共有12种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于物理变化的有A、D，不属于物理变化的有B、C， 画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即AD、DA， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的概率是． 故选：D． 8. 关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数间的关系是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，然后由即可判断． 【详解】解：令，则， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：A． 9. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案． 【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示： （2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示： 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 10. 如图，与相切于点，交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得，继而得到，进一步可得，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵与相切于点，， ∴，， ∴，即， ∵圆心角和圆周角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，解答本题的关键是由圆周角定理得到． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 13. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 14. 化简：的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式加减运算，根据运算法则，分母不变，分子相加减即可，最后注意约分． 【详解】解：； 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，已知，，的平分线交与点，过点作，，垂足分别为，则图中阴影部分的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可得到四边形是长方形，再根据角平分线的性质得到四边形是正方形，进而根据正方形的性质得到，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数、零指数幂、化简绝对值和二次根式等知识，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键；先计算负整数指数、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算加减即可. 【详解】解： . 17. 如题图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作边上的高，垂足为D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若平分， ，求的长． 【答案】（1） 边上的高，如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，尺规作图：垂线； （1）根据尺规作图的方法作出图形即可； （2）先根据角平分线性质，得出，再结合等角对等边得出，根据勾股定理据此即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作， ， ∵为的高， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ． 18. 舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． （1）舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； （2）求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【小问1详解】 解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由； （3）该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？ 【答案】（1）40，93.5，97 （2）八年级安全意识更强，理由见解析 （3）1300人 【解析】 【分析】题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）先利用扇形统计图求出八年级D组的人数，进而求出a的值；再利用中位数和众数的定义，求出b、c的值； （2）根据中位数和众数进行分析即可； （3）用七、八年级的学生人数分别乘以比赛成绩不低于90分的学生人数的占比，即相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：八年级D组的人数为：(人)， ∴， ∴， ∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94， ∴， ∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多， :∴， 故答案为：40，93.5，97； 【小问2详解】 解：八年级安全意识更强，理由如下： 从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识更强； 【小问3详解】 解： (人)， 答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1300人． 20. 将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． （1）十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． （2）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． （3）十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】（1）75； （2） 解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3） 解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 【解析】 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【小问1详解】 解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【答案】（1）、；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形是正方形，D为中点，以O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标，过点D的反比例函数的图象与边交于E点，F是线段上的一动点． （1）求的正切值； （2）若平分，求出F点的坐标； （3）若的面积为，的面积为．若，证明：F是线段的中点． 【答案】（1）1 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，矩形的判定，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求点，得是等腰直角三角形，进而可得的正切值； （2）由“”可证，，可得，由勾股定理可求解； （3）由面积和差关系可求，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是的正方形，点坐标， ， ∵为中点， ， ∴点， ∵点是反比例函数的图象一点， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点是反比例函数与的交点， ∴点， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的正切值为 1 ； 【小问2详解】 解：如图 2 ，过点作于，连接， ∵平分， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 【小问3详解】 证明：如图 3 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是线段的中点． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $