9.2.1 总体取值规律的估计（第1课时 频率分布直方图）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章 统计 9.2.1 总体取值规律的估计 第1课时 人教2019版必修第二册 1 教学目标 数学抽象素养：从实际数据中抽象出频率分布的概念，理解频率分布表和频率分布直方图的意义，提升从具体到抽象的思维能力。 逻辑推理素养：通过绘制频率分布表和频率分布直方图的过程，理解各步骤的逻辑关系，能够根据数据特点合理选择组距和组数，培养逻辑推理能力。 数学运算素养：准确计算极差、频率等数据，在绘制图表和分析数据的过程中，提高运算能力和对数据的处理能力。 人教2019版必修第二册 教学重难点 重点：绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤和方法，能够根据频率分布表和频率分布直方图分析数据的分布规律。 难点：合理确定组距和组数，理解用样本频率分布估计总体分布的合理性，以及从频率分布直方图中准确获取信息。 人教2019版必修第二册 收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息. 因为实际问题中数据多而且杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述. 在此基础上，通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，就可以用这些信息来解决实际问题了. 下面我们讨论对随机抽样获取的数据的处理方法. 面对一个统计问题，在随机抽样获得观测数据的基础上，需要根据数据分析的需要，选择适当的统计图表描述和表示数据，获得样本的规律，并利用样本的规律估计总体的规律，解决相应的实际问题. 请看下面的问题. 引入课题 人教2019版必修第二册 问题1  我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作? 每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水. 为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况. 合作探究 人教2019版必修第二册 问题1  我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作? 如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例. 由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况. 在这个问题中，总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民用户，调查的变量是居民用户的月均用水量. 合作探究 人教2019版必修第二册 假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）：  9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 合作探究 人教2019版必修第二册 假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）：  9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解释提供新方式. 用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以利用图形传递信息. 用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解释提供新方式. 用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以利用图形传递信息. 合作探究 人教2019版必修第二册 从这组数据我们能发现什么信息呢？ 如果将这组数据从小到大排序，容易发现，这组数据的最小值是1.3 t，最大值是28.0 t，其他在1.3 t至28.0 t之间. 为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析. 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来. 在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表（frequency distribution table）和频率分布直方图（frequency distribution histogram）来整理和表示数据. 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 合作探究 人教2019版必修第二册 1. 求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 样本观测数据的最小值是1.3 t，最大值是28.0 t，极差为 28.0-1.3=26.7，这说明样本观测数据的变化范围是26.7 t. 2. 决定组距与组数 合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义. 组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况. 组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程. 数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多. 当样本量不超过100时，常分成5 - 12组. 为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解释提供新方式. 用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以利用图形传递信息. 数据分组可以是等距的，也可以是不等距的，要根据数据的特点而定. 有时为了方便，往往按等距分组，或者除了第一和最后的两段，其他各段按等距分组. 合作探究 人教2019版必修第二册 3. 将数据分组 合作探究 人教2019版必修第二册 4. 列频率分布表 合作探究 人教2019版必修第二册 5. 画频率分布直方图 根据上表可以得到如下图所示的频率分布直方图. 合作探究 人教2019版必修第二册 合作探究 人教2019版必修第二册 用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解释提供新方式. 用图表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以利用图形传递信息. 利用统计软件，可以快速、准确地画出频率分布直方图，频率分布直方图把样本数据落在各小组的比例大小直观化，更有利于我们从整体上把握数据分布的特点. 合作探究 人教2019版必修第二册 观察上面的频率分布表和频率分布直方图，你觉得这组数据中蕴含了哪些有用的信息？你能从图表中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律？你能给出适当的语言描述吗？ 合作探究 人教2019版必修第二册 合作探究 人教2019版必修第二册 有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律. 根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域. 这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，又能节水的目的. 需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解. 合作探究 人教2019版必修第二册 探究 分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图（下图所示）. 观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？ 合作探究 人教2019版必修第二册   第一个图中直方图的组数少、组距大，从图中容易看出，数据分布的整体规律是随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低，而且月均用水量在区间[1.2, 10.2)内的居民用户数的频率，远大于在另两个区间[10.2, 19.2)和[19.2, 28.2]内的频率，这说明大部分居民用户的月均用水量都少于10.2 t. 从图中可以看出，同一组数据，组数不同，得到的直方图形状也不尽相同. 第二个图中直方图的组数多、组距小，从图中可以看出，数据主要集中在低值区，尤其在区间[5.2, 6.2)内最为集中. 从总体上看，随着月均用水量的增加，居民用户数的频率呈现下降趋势，但存在个别区间频率变大或者缺失的现象. 合作探究 人教2019版必修第二册 这里我们再次指出，对于同一组数据，因为组距、组数不同而得到不同形状的直方图，会给人以不同的频率分布印象，这种印象有时会影响人们对总体的判断. 因此，我们要注意积累数据分组、合理使用图表的经验. 从上述分析可见，当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点. 合作探究 人教2019版必修第二册 √ √ × 学以致用 人教2019版必修第二册 学以致用 人教2019版必修第二册 学以致用 人教2019版必修第二册 学以致用 人教2019版必修第二册 5.如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8. (1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本量; (3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数. 学以致用 人教2019版必修第二册 课堂小结 回顾本节课所学内容：包括频率分布的概念，绘制频率分布直方图的步骤（求极差、决定组距和组数、将数据分组、列频率分布表、画频率分布直方图），以及如何从频率分布表和频率分布直方图中获取信息，用样本频率分布估计总体分布。 补充和完善：强调重点知识，帮助学生构建知识体系，梳理各知识点之间的联系，明确本节课的核心内容和学习要点。 人教2019版必修第二册 布置作业 必做题：完成课本P197页练习，通过作业巩固绘制频率分布表和频率分布直方图的方法，提高学生运用知识解决问题的能力。 选做题：选择一个自己感兴趣的实际问题，收集相关数据，绘制频率分布表和频率分布直方图，并分析数据的分布规律；查阅资料，了解除了频率分布表和频率分布直方图，还有哪些方法可以用来展示数据的分布情况。 人教2019版必修第二册 人教2019版必修第二册 分组时可以先确定组距，也可以先确定组数. 如果我们取所有组距为3，则极差组距 ， 即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的. 由于组距为3，9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值. 例如，可以取区间为[1.2, 28.2]，按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组： [1.2, 4.2)，[4.2, 7.2)，…，[25.2, 28.2]. 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是 . 作出频率分布表（如下表）. 在上图中，横轴表示月均用水量，纵轴表示频率组距 . 这里， 实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度. 因为 小长方形的面积 = 组距× = 频率， 所以各小长方形的面积表示相应各组的频率. 这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小. 容易知道，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. 从频率分布表可以清楚地看出，样本观测数据落在各个小组的比例大小. 例如，月均用水量在区间[4.2, 7.2)内的居民用户最多，在区间[1.2, 4.2)内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小，等等. 从频率分布直方图容易看出，居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”. 这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2, 7.2)最为集中，少数居民用户的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势. 1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一般样本容量越大，所分组数越多；样本容量越小，所分组数越小．(　　) (2)频率分布直方图的横轴表示样本数据，纵轴表示频率．(　　) (3)频率分布直方图中各个小长方形面积之和等于1.(　　) 2．关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是(　　) A．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 C．直方图的高表示取某数的频率 D．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值 答案 A 3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为(　　) A．640 B．320 C．240 D．160 答案 B 4．如图所示是一个容量为1 000的样本频率分布直方图，请根据图形中的数据填空． (1)样本数据落在范围[5,9)的频率为________； (2)样本数据落在范围[9,13)的频数为________． 答案 (1)0.32　(2)360 $$