专题11 等式性质与不等式性质（3个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题11 等式性质与不等式性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【变式1-2】火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【变式1-3】（2025·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【例2】（2025·高一·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【变式2-1】（2025·高一·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【变式2-2】已知，若，，则的大小关系是 ． 【变式2-3】（2025·高一·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【例3】（2025·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【变式3-1】已知，试比较和的大小. 【变式3-2】已知，试比较与的大小. 【变式3-3】（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【例4】（2025·高一·河北秦皇岛·期末）若，，且.则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】（2025·高一·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【例5】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【变式5-1】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【变式5-2】已知，，求证． 【变式5-3】已知，且，求证： 题型六：利用不等式的性质比较大小 【例6】（多选题）（2025·高一·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【变式6-1】（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式6-2】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例7】若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，，则的范围是 . 【变式7-3】（2025·高一·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高一·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高一·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 14．设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 15．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 16．（2025·高一·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 等式性质与不等式性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为． 【变式1-1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解析】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【变式1-2】火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【解析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 【变式1-3】（2025·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【解析】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【例2】（2025·高一·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【解析】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（2025·高一·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【解析】，故. 故答案为：> 【变式2-2】已知，若，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【解析】 ， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 【变式2-3】（2025·高一·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【解析】因为， 故. 故答案为：. 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【例3】（2025·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解析】① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【变式3-1】已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式3-2】已知，试比较与的大小. 【解析】， ，. 两数作商 ， . 【变式3-3】（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 【解析】（1）作差得：； 所以当时，； 当时，； 当时，； （2）作商得：， ∵，∴，且， ∴，因此. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【例4】（2025·高一·河北秦皇岛·期末）若，，且.则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由，不一定能得到，如，故A错误； 对于B，由，不一定能得到，如，故B错误； 对于C，由不等式的性质可知，成立，故C正确； 对于D，由B选项知不一定成立，所以不一定成立，故D错误. 故选：C. 【变式4-1】（2025·高一·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 【变式4-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 【变式4-3】（2025·高一·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【例5】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【解析】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 【变式5-1】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【解析】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【变式5-2】已知，，求证． 【解析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式5-3】已知，且，求证： 【解析】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 题型六：利用不等式的性质比较大小 【例6】（多选题）（2025·高一·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【解析】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 【变式6-1】（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误． 【变式6-2】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】AD 【解析】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确． 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例7】若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 【变式7-1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 【变式7-2】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·高一·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，故， 故，故. 故答案为：. 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 2．（2025·高一·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 3．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 4．设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 6．（2025·高一·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 7．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 8．有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 9．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 10．（多选题）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 11．（多选题）（2025·高一·安徽亳州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，不妨设满足条件，则，故A错误； 对于B，因为，，故，故B正确； 对于C，由条件可知：，，所以，故，故C正确 对于D，因为，，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 12．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 13．（2025·高一·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【解析】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 14．设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 【答案】① 【解析】对于①，由题意，为正实数，，则，，，故．若，则，则，这与矛盾，故成立．对于②，取特殊值，，，则，②错误．对于③，取，，则，③错误． 15．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 【答案】 【解析】先证明、、均不为，若否，不妨设，由可得， 再由可得，从而有，与题设条件矛盾， 所以，、、均不为， 将三个等式，，全加可得， 因为、、是不全相等的三个实数，且满足，，， 所以，，， 将上述三个等式全部相乘得， 因为，所以， 即， 因为，所以， 因为，则，，， 所以，即， 因为， 所以， 因为，故. 故答案为：. 16．（2025·高一·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，，则. 故答案为：. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$