第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以． 故选：C 4．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由二次函数的图象可得. 5．已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当且仅当，时等号成立，所以． 6．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 7．已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由已知可得，而，所以，所以，故的值不可能为2． 8．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】A：由，得，即，故A正确； B：由，得，所以，故B正确； C：由，取，则，故C错误； D：由，得，所以，故D正确. 故选：ABD 10．已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 11．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，方程有两个不等的实根、， 因为，所以，， 所以，，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵二次函数的值恒大于0， 所以不等式的解集为，故实数满足： ，解得. ∴当时，这个二次函数的值恒大0. 故答案为：. 13．已知函数，若，则不等式的解集为 ；若的图象与x轴交于，两点，则的最小值为 ． 【答案】 或 【解析】当时，由，解得或，即不等式的解集为．令，显然，，，所以，当时，取得最小值，最小值为． 14．若两个正数满足，构造函数．因为对一切实数x，恒有，所以，即，由此可得．将上述分析推广到一般情形，有下面的结论：若n个正数满足，则 ． 【答案】 【解析】令，显然对一切实数x，恒有，所以，则．又，都是正数，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【解析】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 16．（15分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 17．（15分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 18．（17分） 回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 19．（17分） “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 【解析】（1）∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：. （2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”， ∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入， 得，∴， ∴二次函数解析为或. （3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为， 二次函数的图象经过“智勇点”M，N， ∴将代入， ∴，∴（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴，∴. 综上所述，或． 第10页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 7．已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是 ． 13．已知函数，若，则不等式的解集为 ；若的图象与x轴交于，两点，则的最小值为 ． 14．若两个正数满足，构造函数．因为对一切实数x，恒有，所以，即，由此可得．将上述分析推广到一般情形，有下面的结论：若n个正数满足，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 16．（15分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 17．（15分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．（17分） 回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 19．（17分） “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 第2页，共5页 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$