精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

秘密★启用前【考试时间：5月15日8:00-10:00】 重庆一中高2026届高二下期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 88 3. 若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 某人有2个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 31 C. D. 6. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种. A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 7. 英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（ ） A. 0.323 B. 0.325 C. 0.327 D. 0.329 8. 若关于x的方程（其中、）有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有两个极值点 B. 直线是函数的切线 C. 的对称中心是 D. 有且仅有三个零点 10. 已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（ ） A. 的面积的最大值为2 B. C. D. 11. 在正方体中，若A点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动n次后还在底面ABCD的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量且，则______. 13. 直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是______. 14. 已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 （1）统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 16. 2025年1月，某视频APP发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求a的值： （2）采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在，的用户中抽取出了7人，现从这7人中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望. （3）用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取10人，记为其中“忠实粉丝”的人数，时对应的概率记为，则k为多少时最大？ 17. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲的总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线，点. （1）过点P分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，A、B为垂足，求的面积： （2）若C、D两点都在双曲线上运动，且，作于点H，求证：动点H在定圆上，并求出此定圆的方程. 19. 已知函数（其中e为自然对数的底数，）. （1）若函数在其定义域上不单调，求证：. （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：5月15日8:00-10:00】 重庆一中高2026届高二下期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 2. 一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（ ） A. 84 B. 85 C. 86 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】首先要将数据从小到大排序，然后根据公式（为数据个数，为对应的百分数）计算出指数，再根据的情况确定第百分位数. 【详解】给定的数据为78，70，72，79，80，84，86，88，81，94，排序后为70，72，78，79，80，81，84，86，88，94.  已知数据个数，，根据公式.  当是整数时，第百分位数是第项与第项数据的平均值. 这里是整数，所以第70百分位数是第项和第项数据的平均值，即.  这组数据的第70百分位数是85. 故选：B. 3. 若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：A． 4. 某人有2个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设两个孩子分别为，其中一个是男孩的条件下，则总共有：是男孩且是女孩，或是女孩且是男孩，或都是男孩三种情况， 所以已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为. 故选：C. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 31 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形得，再根据二项展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为. 故选：C. 6. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种. A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 7. 英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（ ） A. 0.323 B. 0.325 C. 0.327 D. 0.329 【答案】C 【解析】 【分析】对求导可得，继而将代入，近似计算，即得答案. 【详解】由题意知， 两边求导可得，即， 则， 故选：C 8. 若关于x的方程（其中、）有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最值，再结合几何意义，即可求解. 【详解】设的零点为， 则，即， 设为直线上的一点， 坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离， 下求的最小值，令，则 在为减函数，在为增函数，即， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为，此时， 故选：C. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有两个极值点 B. 直线是函数的切线 C. 的对称中心是 D. 有且仅有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；根据导数的几何意义可判断B；计算可判断C；根据函数的单调性结合零点存在定理以判断D. 【详解】因为函数，所以， 令， 当或时，，在上都单调递增， 当时，，在上单调递减， 故为函数的极大值点，为函数的极小值点， 即有两个极值点，A正确； 不妨设直线是曲线的切线，则满足， 则，即切点坐标为， 而， 说明假设不成立，即直线不是曲线的切线，B错误； 因为， 故点是曲线的对称中心，C正确； 由A可知有两个极值点，且， ， 结合的单调性可知函数在各有一个零点， 即函数有3个零点，D正确； 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（ ） A. 的面积的最大值为2 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，设直线，联立抛物线方程可得，根据结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得，再代入韦达定理求解即可. 【详解】设直线，由得：， 则； 选项A： 应是最小值为2，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，，则，故C正确； 选项D：由，， 得：,， ∴，故D正确. 故选：BCD 11. 在正方体中，若A点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动n次后还在底面ABCD的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为等比数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意找出点在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定A，B，通过构造等比数列及等比数列通项公式的计算判断C,D. 【详解】 依题意，每一个顶点随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点，共有7个顶点，其中3个在同一底面， 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，故A选项错误； 对于B：，故B选项正确； 对于C：因为， 所以，，，， 所以不为等比数列，故C选项错误； 对于D：由于， 且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故D选项正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量且，则______. 【答案】0.34 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，先确定正态分布曲线的对称轴，再利用正态分布曲线的对称性求出. 【详解】已知随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称.  因为正态分布曲线关于直线对称，所以. 已知，所以.  由于正态分布曲线关于直线对称，所以. 又因为，且， 所以.  故答案为：0.34. 13. 直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出过右焦点与两支相交及与右支相交的最短弦长，再结合已知建立不等式求解即得. 【详解】过右焦点的直线与双曲线两支相交所得的最短弦即为双曲线的实轴，长为； 过右焦点的直线与双曲线右支相交所得的最短弦即为双曲线的通径，长为， 依题意，，而，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 【答案】2.45 【解析】 【分析】设去掉其中5个数据前后的方差分别为，这25个数据为，首先求得. 【详解】设去掉其中5个数据前后的方差分别为，这25个数据为， 由题意， ， . 故答案为：2.45. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 （1）统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 【答案】（1）0.998；变量与的线性相关程度很强； （2）；百亿元. 【解析】 【分析】（1）直接将数据代入公式计算，即可得答案； （2）利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为 ，再将代入，即可得答案； 【小问1详解】 由题意，根据表格中的数据， 可得：，， 则， ， 所以 所以变量与的线性相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）可得，，， 又由， 所以，则， 可得关于的线性回归方程为 令，可得， 即年两国的交易额交易额百亿元. 16. 2025年1月，某视频APP发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求a的值： （2）采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在，的用户中抽取出了7人，现从这7人中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望. （3）用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取10人，记为其中“忠实粉丝”的人数，时对应的概率记为，则k为多少时最大？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 ；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求解可得； （2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望； （3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可. 【小问1详解】 由，解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以； 【小问3详解】 用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. 17. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲的总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲得分是10分的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲的得分的取值为10的概率为： ， （ⅱ）设“比赛结束后甲总分是10分”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， 由（i）可得， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 18. 已知双曲线，点. （1）过点P分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，A、B为垂足，求的面积： （2）若C、D两点都在双曲线上运动，且，作于点H，求证：动点H在定圆上，并求出此定圆的方程. 【答案】（1）； （2）定圆的方程为，证明如下： ①若直线的斜率存在时，设，联立，消得： ，设，则. 由 即， 即， 即， 即， 即， 解得或， 直线的方程为：（不符，舍）或． 直线过定点． ②若直线的斜率不存在时，设，联立， 得或， 即， 由得或（不符，舍去）． 直线的方程为，此时也过定点． 在中，取中点，则． 故动点在以点为圆心，2为半径的定圆上， 且此定圆的方程为． 【解析】 【分析】（1）求出渐近线方程得，再根据点到直线的距离的公式和面积公式即可得到答案； （2）首先考虑直线的斜率存在时，采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再化简并代入韦达定理式，求解得 或 ，再分别验证，最后再考虑直线的斜率不存在时的情况即可. 【小问1详解】 两渐近线的方程分别为，即． 则， 设的倾斜角为，则． 故． 从而． 【小问2详解】 略 19. 已知函数（其中e为自然对数的底数，）. （1）若函数在其定义域上不单调，求证：. （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 因为，所以， 当时，，在上为减函数，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意， 此时， 要证，只需证，即证， 不等式等价于， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，只需证明，利用导数分析单调性可证明结论； （2）不等式等价转化为，对分类讨论可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， ， 令，则等价于恒成立， 令，则， 当时，，则，在上单调递减， 当时，令，则，故在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 因为，故存在唯一，使得， 从而； 由（1）知：①当时，是减函数，故的值域为，此时存在恒成立，符合题意； ②当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意； ③当时，，又当时，，故的值域为， 若即时，，此时恒成立，符合题意， 若即时，取，此时存在，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $