精品解析：山东省淄博第十七中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024级2024—2025学年度第二学期期中测试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.） 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，与的夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 6. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下面命题不正确的是（ ） A. 两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等 B. 圆心和圆上两点确定一个平面 C. 若，则直线l与平面内的所有直线都没有公共点 D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 10. 关于函数的最小正周期是，下列命题中为真命题的是（ ） A. 直线是的一条对称轴 B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 复数的虚部为______． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的坐标及； （2）若与垂直，求实数m的值. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均为1，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积. 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论． 18. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级2024—2025学年度第二学期期中测试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.） 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可. 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 3. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，由此可求出. 【详解】根据正弦定理可得， 所以， 故选：B. 4. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算直观图的面积为，再根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案. 【详解】直观图的面积，原图面积， 由直观图的面积与原图面积的关系为，得. 故选：B. 5. 已知，，与的夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式计算即可. 【详解】因为|， 所以. 故选：C. 6. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 7. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已有图形分别求、，再求即可. 【详解】由图可知，， 得， 因为，所以. 故选: D. 8. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下面命题不正确的是（ ） A. 两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等 B. 圆心和圆上两点确定一个平面 C. 若，则直线l与平面内的所有直线都没有公共点 D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等角定理判断A；利用确定平面公理判断B；利用线面平行的定义判断C；利用线面位置关系判断D. 【详解】对于A，两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，A错误； 对于B，圆心与直径的两个端点不能确定一个平面，B错误； 对于C，，则直线l与平面没有公共点，C正确； 对于D，两条平行线中的一条与一个平面平行，另一条可能在平面内，D错误. 故选：ABD 10. 关于函数的最小正周期是，下列命题中为真命题的是（ ） A. 直线是的一条对称轴 B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质判断ABC；利用图象变换判断D即可. 【详解】由函数的最小正周期是，得，， 对于A，，直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，，点是的图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，当时，，在区间上单调递减，故C错误； 对于D，函数的图象向左平移个单位长度，得，故D错误. 故选：AB 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进行分析即可. 【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心； 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心； 选项D，由得， ∴，即， ∴．同理可证， ∴，，，即点O是的垂心； 故选：AC． 【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 复数的虚部为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】因为复数， 所以该复数的虚部为5． 故答案为：5. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知， （1）求的坐标及； （2）若与垂直，求实数m的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的坐标表示求出坐标,再利用坐标求出向量的模. （2）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 由，得，故. 【小问2详解】 由，得，， 由与垂直，得，解得. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均为1，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】表面积为；体积为. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解. 【详解】由三角形中位线定理，得圆柱的底面半径，圆柱母线长， 圆锥的母线长为， 所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）PC的中点G即为所求的点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连结BD，交AC于点O，连结EO，证明EO∥PB，再由线面平行的判定定理即可证得PB∥平面AEC； （2）PC的中点G即为所求的点．连结GE，FG，证明四边形AFGE为平行四边形，即可得FG∥AE，即可证得FG∥平面AEC. 【详解】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结EO. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB， 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC， 所以PB∥平面AEC. （2）解：PC的中点G即为所求的点． 证明如下： 连结GE，FG. 因为E为PD的中点， 所以GE∥CD，GE＝CD. 又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形， 所以FA∥CD，FA＝CD， 所以FA＝GE，FA∥GE， 所以四边形AFGE为平行四边形， 所以FG∥AE. 又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC， 所以FG∥平面AEC. 18. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理求； （2）由题设得，结合三角形内角的性质、和角余弦公式得，再应用余弦定理求边长； （3）由（2）应用平方关系求. 【小问1详解】 由题设； 【小问2详解】 由题设，易知为锐角，则，且， 所以， 由； 【小问3详解】 由题设及（2），有为锐角，则. 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； （2）根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； （3）将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】（1）表格见解析， （2）作图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由题可知，，所以， ，， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 【小问2详解】 由（1），在一个周期内的图象如图所示， ； 【小问3详解】 ， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $