专题10 全称量词与存在量词 （7个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题10 全称量词与存在量词 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 题型一：判断语句是否为命题 【例1】（2025·高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（2025·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2025·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-3】（多选题）（2025·全国·高一假期作业）（多选）下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 题型二：命题真假的判断 【例2】下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【变式2-2】下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【变式2-3】（2025·高一·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例3】下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【变式3-2】（2025·高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【变式3-3】下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例4】（2025·高一·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式4-1】（2025·高二·黑龙江·学业考试）已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命嶡是假命题，命题是真命题 【变式4-2】（2025·高一·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式4-3】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【例5】“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 ； 【变式5-1】（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【变式5-2】已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【变式5-3】已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【例6】已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【变式6-1】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【变式6-2】存在实数x，使不等式成立，求实数m的取值范围． 【变式6-3】（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例7】（天津市和平区2024-2025学年高三第三次质量调查数学试卷）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025届云南省高三5月大联考（新课标卷）数学试题）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·四川德阳·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·高二·湖南郴州·学业考试）命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 4．（2025·高二·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 7．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 8．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 9．（多选题）（2025·高一·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高一·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 11．（多选题）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 12．（2025·高一·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 13．已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 14．已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 15．在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16．（2025·高一·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 17．（1）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值. （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 18．（2025·高一·河北·期中）已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 19．已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 20．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全称量词与存在量词 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 题型一：判断语句是否为命题 【例1】（2025·高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题． 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 【变式1-1】（2025·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 【变式1-2】（2025·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【解析】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 【变式1-3】（多选题）（2025·全国·高一假期作业）（多选）下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【答案】ABC 【解析】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题． 故选：ABC． 题型二：命题真假的判断 【例2】下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，当时，恒成立，故B正确；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，若，则不成立，故D错误. 【变式2-1】下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【解析】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 【变式2-2】下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 【变式2-3】（2025·高一·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【解析】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例3】下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是全称量词命题． 【变式3-1】下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【解析】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 【变式3-2】（2025·高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 【变式3-3】下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【解析】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例4】（2025·高一·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【解析】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式4-1】（2025·高二·黑龙江·学业考试）已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命嶡是假命题，命题是真命题 【答案】C 【解析】因为，所以命题是真命题， 因为，所以不存在，所以命题是假命题， 故选：C. 【变式4-2】（2025·高一·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 【变式4-3】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【解析】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【例5】“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【解析】因为，要使“恒成立”， 只需，因为的最小值为，即， 故答案为：. 【变式5-1】（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【解析】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 【变式5-2】已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 【变式5-3】已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【解析】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【例6】已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 【变式6-1】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 【变式6-2】存在实数x，使不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】令，则，易知y的最大值为3． 因为，成立，所以即可，即． 所以m的取值范围是． 【变式6-3】（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围； （2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 即，由题意，， 故t的取值范围 （2），， 因为， 所以当时，即，时，满足题意； 当时，由可得或， 解得， 综上，实数的取值范围或. 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例7】（天津市和平区2024-2025学年高三第三次质量调查数学试卷）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 【变式7-1】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D 【变式7-2】（2025届云南省高三5月大联考（新课标卷）数学试题）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题“”的否定是“，”. 故选：B. 【变式7-3】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【解析】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 2．（2025·高一·四川德阳·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是，. 故选：D 3．（2025·高二·湖南郴州·学业考试）命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】B 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“，都有”的否定是 “，使得”. 故选：B. 4．（2025·高二·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【解析】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题； 对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题. 故选：D. 5．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知方程有实数解，即，解得． 6．命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为命题，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得，根据选项的值，可判断选项B符合． 7．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【解析】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 8．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 9．（多选题）（2025·高一·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 10．（多选题）（2025·高一·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 【答案】BCD 【解析】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误； 对于B，x取1，，，B正确； 对于C，设，，若，则，因此，故C正确； 对于D，设，当时，，， 所以，当时，，，所以，即D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以方程有解， 即，，所以A是真命题； 对于B，因为有理数的四则运算除数不为结果仍为有理数， 因此一定是有理数，B是真命题； 对于C，时，成立，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题. 故选： 12．（2025·高一·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 13．已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】若命题为真命题， 则，∴. 若命题，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 14．已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为，且， 所以 ，解得； （2）因为，所以，得. 因为命题“，”是真命题，所以， 所以，或，得. 综上，. 15．在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】由命题p为真，可得不等式对于恒成立. 因为，所以，所以. 选条件①. 若命题q为真，则关于的方程有解， 所以，解得. 又都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 选条件②. 对于命题q， 当，即时，，命题q为真命题； 当时，由得或，所以或. 综上，或. 又p，q都是真命题，所以， 所以实数a的取值范围是. 16．（2025·高一·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【解析】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 17．（1）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值. （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【解析】（1）“，”为假命题， “，”为真命题， 则对恒成立， 即， 故实数的最小值为2. （2）先证明充分性： 若，设方程的两个实根为，， 则，所以 ，方程有两个不等实根， 而，，所以两根同号， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性： 若方程有两个不相等的实根， 则，解得①； 又方程有两个同号的实根， 由韦达定理得两根之积必为正数，即， ② 由①②得的取值范围是. 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 18．（2025·高一·河北·期中）已知，. (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 因为，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 19．已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）依题意，命题p：“”为假命题， 所以，解得， 所以. （2）由于是的充分不必要条件，所以， 当，即时，，满足. 当，即时，要使， 则需且两个等号不能同时成立， 解得，所以的取值范围是. 20．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$