专题05 圆（2个知识点+6大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题05 圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线． 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B．若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦．且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有． 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，． 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而． 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的．例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上．这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹． 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上． 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹． 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆． 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上．所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线． 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线． 题型一：垂径定理 【例1】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式1-1】（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 【变式1-2】（2025·陕西榆林·三模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 【变式1-3】（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【解析】如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰， ∵， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为， ∵， ∴在弦的垂直平分线上， ∵， ∴E必为圆心，即、为半径， ∵， ∴， ∵， ， 故选A． 题型二：点和圆的位置关系 【例2】（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【解析】如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接． 由题意易得四边形是正方形，． 的半径为1，， ∴点到上的点的距离的最小值为． 如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，， 由题意易得四边形是正方形，．， ∴点B，O，D三点共线． 的半径为1， ∴， ， ∴点到上的点的距离的最大值为． ，， ∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种， 故选：C． 【变式2-1】（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又， ， , ， ， ∴点在上， 此时，时值最小， 由勾股定理得, ， 故选：A． 【变式2-2】（2025·安徽阜阳·三模）如图，是的直径，点E在弦上，且平分，过点B作，交的延长线于点D，延长交于点F． (1)求证：． (2)若的半径为2，，求的长． 【解析】（1）证明∶如图：作于点M，于点N，则 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，． 【变式2-3】（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【解析】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 题型三：直线与圆的位置关系 【例3】（2025·河北唐山·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【解析】（1）∵是直径， ∴， ∴是直角三角形； （2）如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）①点O在半圆上，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 【变式3-1】（2025·福建厦门·二模）如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， (1)证明； (2)设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． ∴． ∴； （2）①连接交直线于， ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴． 由（1）知：，， ∴． ∴，即． ∵在中，， 设， ∴在中，． 当时，，，此时点与点重合，由可得与相切． 当时，，，此时点与点不重合，故直线与不相切，则直线与相交． ②存在，当，时，点落在上且． 理由如下： 连接，，，，，． ∵绕着点顺时针旋转得到， ∴，，． ∴． ∵点在射线上， ∴． ∴． ∴点在上． 当，时， ∵，， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴，即存在点落在上且的情形． 此时，，， ∴在和中，，，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴，，即点和点都在上． ∴． 【变式3-2】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【解析】（1）∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 【变式3-3】（2025·河南漯河·二模）如图，是的弦，是的中点，连接，，延长到，已知．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】连接，记与的交点为，如图所示： ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 则， ∴， 解得， ∴则阴影部分的面积为， 故答案为：． 题型四：切线问题 【例4】（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②④/④② 【解析】如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为：②④． 【变式4-1】（2025·广东中山·二模）如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 【解析】（1）证明：如下图所示，连接，连接并延长交于点，连接， ，， 是线段的垂直平分线， ， 为的直径， ， ， ， 四边形是矩形， ， 是的切线； （2）由可知四边形是矩形， ，， 设， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ， 又， ，即， ∵为的半径， 与相切； （2）连接如图所示， 为直径， ， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 题型五：圆的综合问题 【例5】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 【解析】（1）由点关于的对称点， ∵， ∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示， ∵，，， ， ∴根据图形可知，在上， 故答案为：，； （2）∵经过点， ∴当时，， 故答案为：； ∵， ∴， 如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴， ∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴ ∴，， 结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ； 如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为． 【变式5-1】（2025·上海浦东新·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 【解析】（1）连接， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）①过P作于H， 是直径， ， ， ∵点M是的重心， ， ∴， ∵，半径为2， ∴， ，， ， ∴； ②当时，如图， ， ， ， 由（1）知，不符合题意； 当时，连接，， 和是的两条直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 当时，连接，设与交于G， ， ， ，， 是直径， ， ， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ∴， 综上所述，线段的长或． 【变式5-2】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 【解析】（1）连接 ，， ， ， 又， ， ， 点在上， 为的切线； （2）设与交于点， ，， ， ， ， 在中，，， ，． 【变式5-3】（2025·广东肇庆·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：如图，连接、，则， ， 是的直径， ， ， ∵点是线段的中点， ， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线．； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 题型六：点的轨迹问题 【例6】（2025·河北·模拟预测）如图，正六边形的边与轴重合，点在轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿轴向右无滑动滚动，当边落到轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为，请回答： （1）点的坐标为 ； （2）当正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长 ．    【答案】 【解析】（1）如图示，连接， ∵正六边形的边长为1， 则有：，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， （2）如图示，连接，， ∵正六边形的边长为1， 则有：，，， 当正六边形沿轴向右无滑动滚动时， 第一次由点滚动到点，点滚动的距离是：， 第二次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：， 第三次由点滚动到点，点是旋转中心，没有移动，滚动的距离等于0， 第四次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：， 第五次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：， 第六次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：， 第七次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：， …… ∵， 据此可得，正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长是：， 故答案是：，． 【变式6-1】（2025·河南郑州·三模）如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，将沿折叠得到，为点D关于对称时对称点E的轨迹， 当线段的长度最短时，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【解析】由折叠的性质知，点P从点D对称到点E的过程中，， ∴点E的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆弧， ∴当点A，E，C三点共线时，的长最短， 如图，在矩形中，，，可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由矩形的性质和折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·河南·模拟预测）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的轨迹是，点的轨迹是，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【解析】如图，连接，过点F作于点H， 在中，， ∴，， 由旋转的性质得：，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式6-3】（2025·山东临沂·二模）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为 米． 【答案】 【解析】如图，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心的轨迹为圆心角90°的扇形，4个过程正好围成一个圆， ∵正方形边长为1，即AB=1， ∴, ∴正方形中心的轨迹为：, 故答案为：． 1．（2025·安徽宣城·三模）锐角内接于，连接，已知，，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接，作于点D，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 【答案】D 【解析】∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 3．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【解析】的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 4．（2025·江苏镇江·一模）已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：B ． 5．（2025·福建三明·二模）三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，、、的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点在上，则点P到直线l的距离不大于6，不符合题意； 若点在或上，点P到直线l的距离可以为8，符合题意； 故选：C． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目．以下是小明和小颖两位同学的答案： ①小明：若给出，则可证明直线是半圆的切线； ②小颖：若给出直线是半圆的切线，则可证明． 则下列判断正确的是（    ） A．只有小明的正确 B．只有小颖的正确 C．小明和小颖的都不正确 D．小明和小颖的都正确 【答案】D 【解析】∵是半圆所在圆的直径， ， 如图所示，连接， ∵是半径， ， ， ， 小明给出的条件是：， ∴，即，且点在圆上， ∴直线是半圆的切线，故小明给出的条件正确； 小颖给出的条件：直线是的切线， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小颖给出的条件正确；     故选：D． 7．（2025·浙江·一模）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．位似图形一定是相似图形 D．若是线段的黄金分割点，，则 【答案】C 【解析】A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题； B、垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，原命题是假命题； C、位似图形一定是相似图形，原命题是真命题； D、已知点为线段的黄金分割点，且，若，则，原命题是假命题； 故选：C． 8．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】连接，，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的直径，弦， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 9．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【解析】如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 10．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 11．（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，，，点为中点，是线段上一动点，连接，把沿直线折叠得，连接并延长交直线于点，当最小时， ． 【答案】 【解析】∵把沿直线折叠得， ∴， ∴点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的一段弧， ∴当点P在线段上时最小，如图， 此时， ∵矩形中，，，点为中点，把沿直线折叠得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴; 故答案为：． 12．（2025·广东汕头·一模）如图，已知直线，点A是上的定点，于点B，C，D分别是，上的动点，且，连接交于点E，于点F，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【解析】∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 的长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． 14．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【解析】（1）四边形为菱形，证明如下： 由对折可知，垂直平分， 所以，， 所以被平分（依据垂径定理，关键步骤）， 所以， 所以四边形为菱形； （2）与所在圆的位置关系是相交．理由如下： 由轴对称性可知，所在圆的圆心为点， 连接，可知，所以与相切， 说明与所在圆的位置关系是相交． 15．（2025·河南平顶山·一模）如图，点O是线段的中点，以为直径作，点C是上一点，过点C作，分别交，于点E，D，作，交的延长线于点F． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵是直径，是弦，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，为直角，点在斜边上，连接，以为直径作，分别交于点E，F．连接交于点，交于点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)已知，试求实数的值． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴是的切线． （2）连接、，如图 ∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∴， ∴．即的半径为． ∴的面积为； （3）过点作于点，如图 ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得，， ∴ 即， 即实数的值． 17．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 【解析】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 同理，是等边三角形，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）①∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ②过点O作于点H，得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 18．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 【解析】（1）因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形， 所以莱洛三角形是轴对称图形，正确； 三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确； 等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确； 莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确； 故答案为：； （2）如图，当在上方时，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 当在下方时， 同理：∵， ∴设，则，， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：的正切值为或； （3）连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 19．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【解析】【问题探究】过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． 【问题解决】以O为圆心，为半径作，作图如下： 连接，则； 当点D在线段上时，最小，最小值为； 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线． 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B．若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦．且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有． 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，． 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而． 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的．例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上．这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹． 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上． 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹． 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆． 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上．所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线． 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线． 题型一：垂径定理 【例1】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西榆林·三模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 题型二：点和圆的位置关系 【例2】（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式2-1】（2025·河南周口·二模）如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【变式2-2】（2025·安徽阜阳·三模）如图，是的直径，点E在弦上，且平分，过点B作，交的延长线于点D，延长交于点F． (1)求证：． (2)若的半径为2，，求的长． 【变式2-3】（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 题型三：直线与圆的位置关系 【例3】（2025·河北唐山·二模）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【变式3-1】（2025·福建厦门·二模）如图所示，已知半径为，是直径，过点作于，交弦于点，连接，若， (1)证明； (2)设是射线上的动点，将绕着点顺时针旋转得到． ①当时，探究直线与的位置关系； ②在旋转过程中，是否存在点落在线段上且的情形？若存在，求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【变式3-3】（2025·河南漯河·二模）如图，是的弦，是的中点，连接，，延长到，已知．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为 ． 题型四：切线问题 【例4】（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【变式4-1】（2025·广东中山·二模）如图，内接于，，为的直径，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，，求的长． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型五：圆的综合问题 【例5】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 【变式5-1】（2025·上海浦东新·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 【变式5-2】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 【变式5-3】（2025·广东肇庆·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 题型六：点的轨迹问题 【例6】（2025·河北·模拟预测）如图，正六边形的边与轴重合，点在轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿轴向右无滑动滚动，当边落到轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为，请回答： （1）点的坐标为 ； （2）当正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长 ．    【变式6-1】（2025·河南郑州·三模）如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，将沿折叠得到，为点D关于对称时对称点E的轨迹， 当线段的长度最短时，则图中阴影部分的面积是 ．    【变式6-2】（2025·河南·模拟预测）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的轨迹是，点的轨迹是，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式6-3】（2025·山东临沂·二模）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为 米． 1．（2025·安徽宣城·三模）锐角内接于，连接，已知，，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 3．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 4．（2025·江苏镇江·一模）已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建三明·二模）三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·广东深圳·模拟预测）在黑板上有如下内容：“如图，是半圆所在圆的直径，点在半圆上，过点的直线交的延长线于点．”王老师要求添加条件后，编制一道题目．以下是小明和小颖两位同学的答案： ①小明：若给出，则可证明直线是半圆的切线； ②小颖：若给出直线是半圆的切线，则可证明． 则下列判断正确的是（    ） A．只有小明的正确 B．只有小颖的正确 C．小明和小颖的都不正确 D．小明和小颖的都正确 7．（2025·浙江·一模）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．位似图形一定是相似图形 D．若是线段的黄金分割点，，则 8．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ． 9．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 10．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 11．（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，，，点为中点，是线段上一动点，连接，把沿直线折叠得，连接并延长交直线于点，当最小时， ． 12．（2025·广东汕头·一模）如图，已知直线，点A是上的定点，于点B，C，D分别是，上的动点，且，连接交于点E，于点F，则当最大时，的值为 ． 13．（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是 （填“相交”“相切”或“相离”）． 14．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰与点重合，折痕为，顺次连接，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 15．（2025·河南平顶山·一模）如图，点O是线段的中点，以为直径作，点C是上一点，过点C作，分别交，于点E，D，作，交的延长线于点F． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 16．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，为直角，点在斜边上，连接，以为直径作，分别交于点E，F．连接交于点，交于点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)已知，试求实数的值． 17．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 18．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 19．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$