专题04 三角形（2个知识点+6大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题04 三角形 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 题型一：重心问题 【例1】（2025·江苏盐城·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-2】（2025·山西吕梁·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型二：垂心问题 【例2】（21-22八年级上·江西上饶·期末）用无可度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，找一个点，使它到△ABC的三个顶点的距离相等； (2)在图2中，作△DEF的垂心（三高的交点）． 【变式2-1】在中，是的垂心，若与的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东威海·模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心． 【问题解决】如图，在中，，，H为的垂心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知锐角三角形的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 题型三：内心问题 【例3】（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【变式3-3】（2025·江苏泰州·二模）已知：是的弦，为的中点，为上一点，且与点位于异侧，过点的切线交的延长线于点． (1)如图，连接，交于点．试比较与的大小，并说明理由； (2)如图，连接，，，若，． 求的度数； 用无刻度的直尺与圆规，求作的内心（直尺与圆规分别只限用一次，保留作图痕迹，不要求证明）． 题型四：外心问题 【例4】（2025·广东韶关·一模）综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． (2)请直接写出的值：______． (3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 【变式4-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五：等腰三角形 【例5】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【变式5-1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式5-2】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 【变式5-3】（2025·河南周口·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，点的对应点为点，以矩形的顶点为圆心，为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)当，时，求． 题型六：等边三角形 【例6】（2025·贵州贵阳·一模）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为的中点，连接并延长交边于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为22，，求的长． 【变式6-1】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 【变式6-2】（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【变式6-3】（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 1．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在等腰中，，点为的内心，连接交于点，连接交于点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．13 4．（2025·广东·一模）在中，，记为外心，为内心，连接，以为直径作圆，则该圆的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，点为边上一动点（不与、重合），进行下列操作： ①在上取一点，以为圆心，为半径作弧交于，连接； ②分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，过作于（点在线段上）； ③分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于，两点，连接，设交于点． 下列说法正确的是（   ） A．随着点的运动，点不能一直存在于上 B．点为的外心 C．四点不一定同时在一个圆上 D．当点为中点时，点为上靠近的三等分点 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏盐城·二模）如图1，已知平行四边形，为锐角，，E为边上一点，沿折叠，点D恰好落在边F处． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，再沿折叠，点A落在G处，点B落在H处． ① 若点G恰好为的重心（即三条中线的交点）． 求的值； ② 若添加_____度，且的值为_____两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形（直接写出结论）． 8．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： (1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） (2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； (3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 11．（2025·北京·模拟预测）和为圆上两定点，为圆上不与重合的动点．的垂心为点为中点，连交于．连． （1）直接写出与的位置关系； （2）探究和的数量关系，并证明； （3）直接写出点和点在运动过程中所经过距离的比； 【思考题】以为例证明：三角形的内心、外心、重心共线． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线 (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②直接写出的长度：______． 14．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 15．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 17．（2025·江苏南京·二模）尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图①，在等边三角形中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形； (2)如图②，在中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形． 18．（2025·河北唐山·二模）时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)若时，，求的度数； (2)当，时，计算B、D两点之间的距离． 19．（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 题型一：重心问题 【例1】（2025·江苏盐城·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】∵点是的重心， ∴E点为的中点，D为的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， 故选：C 【变式1-1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【解析】由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心， 故选：． 【变式1-2】（2025·山西吕梁·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】∵点是的重心， ∴E点为的中点，D为的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， 故选：B 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【解析】（1）                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）是的重心， ， ， ， ． 题型二：垂心问题 【例2】（21-22八年级上·江西上饶·期末）用无可度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，找一个点，使它到△ABC的三个顶点的距离相等； (2)在图2中，作△DEF的垂心（三高的交点）． 【解析】（1）图1中的点O即为所作． （2）图2中的点H即为所作． 【变式2-1】在中，是的垂心，若与的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作交于点 即 设 即 故选：B． 【变式2-2】（2025·山东威海·模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心． 【问题解决】如图，在中，，，H为的垂心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长 分别交于 为的垂心， ， ∴∠BHC=102°． 故选： 【变式2-3】如图，已知锐角三角形的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解析】如图，设的外接圆的半径为R， 连接，并延长交圆O于点D，连接，，，， ∵点O是的外心， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵H是的垂心， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点O是的外接圆的圆心， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 题型三：内心问题 【例3】（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，是的内心，连接并延长分别交于点，设，；则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作的内切圆，连接圆心与切点，如图所示： 是的内心， ，且，且平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 在中，，则， 平分，平分， ，则在中，， ， 在四边形中，，，则， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ∵，， 则与之间的关系式为， 故选：B． 【变式3-1】（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，在中，，，，I为的内心，于点D，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】过点I作于E，于E，连接、、，如图所示： 在中，∵，，， ∴， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 【变式3-3】（2025·江苏泰州·二模）已知：是的弦，为的中点，为上一点，且与点位于异侧，过点的切线交的延长线于点． (1)如图，连接，交于点．试比较与的大小，并说明理由； (2)如图，连接，，，若，． 求的度数； 用无刻度的直尺与圆规，求作的内心（直尺与圆规分别只限用一次，保留作图痕迹，不要求证明）． 【解析】（1），理由， 如图，连接，，交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接，交于点， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，点即为所求； 理由：连接，， ∵为的中点， ∴垂直平分，平分， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， 由上得：， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴是的内心． 题型四：外心问题 【例4】（2025·广东韶关·一模）综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． (2)请直接写出的值：______． (3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 【解析】（1）如图，连接， ， 为的直径，即， ， ， 扇形的面积为； （2）如图，连接， 六边形为正六边形， ，, ， 等边三角形， ，， ， ， 同理可得， ， 故答案为：2； （3）如图，过点作于点， 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是等边三角形， ， ， 点是的内心， ，， 在中，，， ， 的长为， 花窗的周长为． 【变式4-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； （2）①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 【变式4-3】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 题型五：等腰三角形 【例5】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【解析】点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【变式5-1】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式5-2】（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 【解析】（1）， ． 即， 又， ， ； （2）用等式表示线段，，的数量关系为：， 证明：过点作交于点， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 在中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 【变式5-3】（2025·河南周口·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，点的对应点为点，以矩形的顶点为圆心，为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)当，时，求． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六：等边三角形 【例6】（2025·贵州贵阳·一模）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为的中点，连接并延长交边于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为22，，求的长． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【变式6-2】（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【解析】（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【变式6-3】（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【解析】（1）∵点，，， ∴， ∴，， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，，点A落在边上， ∴， ∴， 如图：过作轴，过作轴， ∴，即； ，即． 故答案为：，． （2）①如图：由（1）可得，， ∵点落在y轴的正半轴上时， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图：当旋转角为时，即， 由（1）可得，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即恒为． ∴如图：点P的轨迹为以为弦，圆心角为的圆． ∴是等边三角形，即圆的半径为2， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴当点P在时，有最大值；当点P在时，有最小值． ∴线段的长的取值范围为． 1．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接， ∵点Q是的重心， ∴为的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即， ∵D是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在等腰中，，点为的内心，连接交于点，连接交于点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】∵点为的内心， ∴， 由于也是等腰三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．13 【答案】A 【解析】在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 4．（2025·广东·一模）在中，，记为外心，为内心，连接，以为直径作圆，则该圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设分别与相切于点D，E，F，连接， 则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴是直角三角形，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴以为直径的圆的面积为． 故选：A． 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，点为边上一动点（不与、重合），进行下列操作： ①在上取一点，以为圆心，为半径作弧交于，连接； ②分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，过作于（点在线段上）； ③分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于，两点，连接，设交于点． 下列说法正确的是（   ） A．随着点的运动，点不能一直存在于上 B．点为的外心 C．四点不一定同时在一个圆上 D．当点为中点时，点为上靠近的三等分点 【答案】B 【解析】根据题意得：，，直线是的垂直平分线， 、在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， 考虑两个极端情况，当点与点重合时，示意图如下： 此时、、三点重合，点存在于上， 当点与点重合时，示意图如下： 此时点存在于上， 连接，设和相交于点， 等腰三角形中， ，四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， 随着点的运动，点一直存在于上，故选项错误，不符合题意； 由，， 点、在的垂直平分线上， 即垂直平分， 又直线是的垂直平分线，点是直线和直线的交点， 点为的外心，故选项正确，符合题意； 由上可知，， ， ， 、、、四点共圆，故C选项错误，不符合题意； 当点为中点时，如图所示，延长并交的延长线于点， 设，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， 即， 解得，即，，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 7．（2025·江苏盐城·二模）如图1，已知平行四边形，为锐角，，E为边上一点，沿折叠，点D恰好落在边F处． (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，再沿折叠，点A落在G处，点B落在H处． ① 若点G恰好为的重心（即三条中线的交点）． 求的值； ② 若添加_____度，且的值为_____两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形（直接写出结论）． 【解析】（1）证明：由折叠的性质可得：，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）①延长交于， ∵为的重心， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴； ② 若添加度，且的值为两个条件，则以F、H、C、G为顶点的四边形就变成矩形， 理由如下：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴设，则， 由（1）可得，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可性质可得：，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 8．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【解析】（1）①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【解析】（1）根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题： (1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”） (2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________； (3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长． 【解析】（1）∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴三角形的重心在三角形的内部， ∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心， ∴三角形的内心在三角形的内部， 故答案为：内，内． （2）∵的面积为6，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． （3）连接，做于 ， ∴． 是等边三角形 于，， 故答案为： 11．（2025·北京·模拟预测）和为圆上两定点，为圆上不与重合的动点．的垂心为点为中点，连交于．连． （1）直接写出与的位置关系； （2）探究和的数量关系，并证明； （3）直接写出点和点在运动过程中所经过距离的比； 【思考题】以为例证明：三角形的内心、外心、重心共线． 【解析】（1）， ∵点为的垂心， ∴， ∵点为的外心，点为中点， ∴， ∴； （2）作的直径，连接，， ∵点为的垂心， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作点关于直线的对称点，则点的运动轨迹为，与是等圆； 当点在直线的垂直平分线上时，点的运动轨迹为以为直径的圆； 设的半径为，则的半径为， ∴点的运动距离为； 由（2）知，， ∴， ∴点的运动距离为， ∴点和点在运动过程中所经过距离的比为； 思考题：如图，点为的垂心，点为的外心， 作的直径，连接，， ∵点为的垂心， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的重心， ∴三角形的内心、外心、重心共线． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．    (1)求证； (2)若，，，求的长． 【解析】（1）证明：连接． ∵点E是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线 (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②直接写出的长度：______． 【解析】（1）证明：连接，交于点H， 则， ， 是的直径，点D是的内心， ，． ． ． ． ， ． 是的半径，且， 是的切线． （2）①连接， 则， ， ． ． ， ． ，， ． ， ， 于点H， ， ， ， 的长为 ②作于点I，则， ， ． ． ， ． ． ． ． ， ． ， ． ． 故答案为： 14．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，以为直径的交于点，连接． (1)如图1，若，，求证：为的切线； (2)如图2，若为的切线，，，求阴影部分的面积． 【解析】（1）， ， ， ， ． 是的直径， 为的切线； （2）如图，过点作于点． 为的切线， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ． 15．（2025·江西抚州·二模）如图，在边长为1个单位长度的正六边形中，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，将线段沿方向平移2个单位长度； (2)在图2中，是上一点，连接，作点关于的对称点． 【解析】（1）如图，即为所作； （2）如图，点为点关于的对称点． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【解析】（1）（或）；（或） （2）①②③， ①∵，且 ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； ②如图，延长至点M，使得，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③∵且， ∴， 又， ∴，即③正确； 假设， 则； ∵平分，且， ∴， ∴， 则； ∵， ∴, ∴， 这与相交矛盾，故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③； （3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 17．（2025·江苏南京·二模）尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图①，在等边三角形中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形； (2)如图②，在中，点是边上一点．分别在，上作点，，使为等边三角形． 【解析】（1）如图所示，以C为圆心，的长为半径画弧交于F，以A为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求； 由等边三角形的性质可得， 则可证明，进而可证明，则； （2）如图所示，分别以B、D为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点G，连接，再分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，二者交于点H，连接，连接交于F，以点D为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则即为所求． 由等边三角形的性质与判定定理可得，则可证明， 则有，故点F在直线上运动， 而点E运动到点A时，可证明此时点F运动到点H，那么点F即在直线上． 18．（2025·河北唐山·二模）时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)若时，，求的度数； (2)当，时，计算B、D两点之间的距离． 【解析】（1），， ， 旋转得到， ， ， ； （2）如图，连接BD， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． 19．（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【解析】（1）∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图2，记交于点N ∵轴，轴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 即点D的横坐标为， 由（1）得， ∴点M的坐标为， 则， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上； （3）∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴设点的坐标为， 由（1）得点P的坐标为， ∴， 即， ∴解得（另一个小于，故舍去） ∴点的坐标为， ∵由（1）得，且， ∴的坐标为 ∵点P的坐标为， ∵， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$