7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关练 题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化 1.复数z=-sin +icos 的辐角主值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.若复数z=,则的辐角主值为(　　) A.　　B.　　C.　　D.- 3.(多选题)已知复数z=1+i(i为虚数单位),则下列说法中正确的是(　　) A.z的共轭复数为=-1+i B.|z|= C.z的辐角主值是 D.=1+i 4.已知复数z-1的一个辐角为,z+1的一个辐角为,则复数z等于(　　) A.+i　　B.-+i C.±i　　D.-±i 5.把下列复数表示成代数形式. (1)z1=3; (2)z2=; (3)z3=2. 题组二　复数三角形式的乘、除运算 6.已知复数z1=,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是(　　) A.　　B. C.-i　 　D.+i 7.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ) (n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则=(　　) A.1　　B.22 022　　C.-22 022　　D.i 8.(多选题)已知单位向量,对应的复数分别为z1,z2,且·=0,则可能为(　　) A.i　　B.1　　C.-1　　D.-i 9.设ω=-+i,则ω10=　　　　.  10.复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　.  11.计算: (1)8×4; (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]; (3)4÷. 12.(1)在复平面内画出复数z=1-i对应的向量,并把z=1-i表示成三角形式; (2)已知z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=, θ1,θ2∈,试求z1z2.(结果表示为代数形式) 题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用 13.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)和向量=(a,b)一一对应.现把与复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为(　　) A.-2+i　　B.-2-i　　 C.2+i　　D.2-i 14.(多选题)已知四边形OABC为正方形,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　) A.点B对应的复数为1+3i B.向量对应的复数为-1+2i C.向量对应的复数为1+2i D.||= 15.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=-3cos ,3sin ,将绕点O按顺时针方向旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.  答案与分层梯度式解析 7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关练 1.C 2.B 3.BCD 4.B 6.D 7.B 8.AD 13.A 14.ABD 1.C　因为z=-sin +icos =cos+isin=cos +isin ,且∈[0,2π),所以复数z的辅角主值为.故选C. 2.B　因为z===2i(1-i)=2+2i,所以=2-2i, 则r==2,cos θ==, 因为2-2i在复平面内对应的点位于第四象限,所以arg(2-2i)=,故选B. 3.BCD　因为z=1+i,所以=1-i,故A错误; |z|==,故B正确; z=,所以arg z=,故C正确; ===1+i,故D正确. 故选BCD. 4.B　设z=a+bi(a,b∈R), ∵z-1=a-1+bi的一个辐角为,∴=tan=-,① ∵z+1=a+1+bi的一个辐角为, ∴=tan=,② 联立①②,得∴z=-+i.故选B. 5.解析　(1)z1=3cos+i=+i. (2)z2=cos+i=--i. (3)z3=2cos-i=-+i. 6.D　z1z2=× = ==+i.故选D. 7.B　∵1-i=2=2, ∴=22 022cos+isin=22 022.故选B. 8.AD　设复数z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R, 因为·=0,所以⊥,即θ1-θ2=±+2kπ,k∈Z, 所以==cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos+isin=±i.故选AD. 9.答案　-+i 解析　因为ω=-+i=cos +isin , 所以ω10==cos +isin =cos +isin =-+i. 10.答案　 解析　∵z=+i,∴=-i, ∴===cos+isin=cos+isin, ∴复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为. 11.解析　(1)8×4 =32cos+isin =32=32 =32=16+16i. (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)] =[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)] =(cos 75°+isin 75°)= =+i. (3)4÷ =4(cos 0+isin 0)÷ =4=2-2i. 12.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1), 所以z对应的向量如图所示. 易得r==,设z的辐角的主值为θ,<θ<2π, 则tan θ=-1,所以θ=, 所以1-i=. (2)因为cos(π+θ1+θ2)=-cos(θ1+θ2)=, 所以cos(θ1+θ2)=-. 因为θ1,θ2∈,所以θ1+θ2∈, 所以sin(θ1+θ2)===, 所以z1z2=(cos θ1+isin θ1)(cos θ2+isin θ2) =cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)=-+i. 13.A　把复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为(1+2i)·(cos 90°+isin 90°)=(1+2i)i=-2+i.故选A. 14.ABD　把向量绕点O按逆时针方向旋转45°,再把模变为原来的倍即得, 故向量对应的复数为(2+i)(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,故点B对应的复数为1+3i,故A正确; 把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,故对应的复数为(2+i)(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确; 由四边形OABC是正方形可知,对应的复数为对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确; ||=||=,故D正确. 故选ABD. 15.答案　 解析　设向量对应的复数是z, 则z=-3cos +3isin =3, 所以对应的复数是= =3 =3=-+i, 所以点B的坐标是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$