6.4.3 第1课时 余弦定理、正弦定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理、正弦定理 基础过关练 题组一　利用余弦定理解三角形 1.在△ABC中,若(a+c)·(a-c)=b(b-c),则A=(　　) A.90°　　B.30°　　C.60°　　D.150° 2.在△ABC中,==,则△ABC的最大内角与最小内角的和是(　　) A.60°　　B.90°　　C.120°　　D.135° 3.若某锐角三角形的三边长分别为1,2,a,则a的取值范围为(　　) A.(2,3)　　B.(,3)　　C.(2,)　　D.(,) 4.(2024湖北部分学校期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2b2=a2+1,c=1,则角B的最大值为　　　　.  5.在△ABC中,a=7,b=8,b>c,sin C=,则c=　　　　.  题组二　利用正弦定理解三角形 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,B=105°,C=45°,则c=(　　) A.1　　B.2　　C.　　D. 7.在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,c-2b+2cos C=0,则该三角形外接圆的半径为(　　) A.1　　B.　　C.2　　D.2 9.(多选题)(教材习题改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对△ABC解的情况判断正确的是(　　) A.当a=2,c=4,A=30°时,有两解 B.当a=5,b=7,A=60°时,有一解 C.当a=,b=4,A=30°时,无解 D.当a=6,b=4,A=60°时,有两解 10.(多选题)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是(　　) A.若A>B,则sin A>sin B B.在锐角△ABC中,不等式sin A>cos B恒成立 C.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.若B=,a=2,且△ABC有两解,则b的取值范围是[3,2) 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)·(sin A-sin B)+(b-c)sin C=0. (1)求角A的大小; (2)设a=5,且sin=,求c. 题组三　利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状 12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A+B=2C,且sin2C=sin Asin B,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形　　B.等腰非等边三角形　　 C.等边三角形　　D.钝角三角形 13.在△ABC中,若cos A-cos B+=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形　　 B.直角三角形　　 C.等腰直角三角形　　 D.等腰三角形或直角三角形 14.如果将直角三角形的三边增加相同的长度,则新三角形的形状一定是(　　) A.锐角三角形　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　D.由增加的长度确定 15.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是(　　) A.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 C.若==,则△ABC一定是等边三角形 D.若B=60°,b2=ac,则△ABC一定是直角三角形 题组四　三角形的面积公式 16.在△ABC中,A=120°,b=5,且△ABC的面积为,则△ABC的周长为(　　) A.15　　B.12　　C.16　　D.20 17.(教材习题改编)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家,他在著作《数书九章》中提出,已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”,其公式为S△ABC===.若ac=2,cos B=,a>b>c,则△ABC的面积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 18.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求△ABC的面积. 19.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-ccos B=bcos C. (1)求角C; (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,CD=4,△ABC的面积为18,求c的值. 能力提升练 题组一　利用余弦定理、正弦定理解三角形 1.(我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=60 cm,B为AD'的中点.伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是(　　) 　　 A.-　　B.-　　C.-　　D.- 2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为 3.以密位作为角的度量单位,这种度量角的单位制叫做角的密位制.在角的密位制中,采用四个数码表示角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线,如5密位写成“0-05”,235密位写成“2-35”,1 246密位写成“12-46”.1周角等于6 000密位,写成“60-00”.在△ABC中,点D在边BC上,AD是△ABC的内角A的平分线,CD=AD=2BD=4,则∠ADC的大小用密位制表示为　　　　.  4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,从下列四个条件:①a=c;②C=;③cos B=-;④b=中选出三个条件,使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为　　　　.  5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=asin B. (1)求sin A; (2)若a=,再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求△ABC的面积. 条件①:b=c;条件②:b=;条件③:sin C=. 题组二　利用余弦定理、正弦定理求最值或范围问题 6.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则的取值范围为　(　　) A.(1,)　　B.(,)　　C.(,2)　　D.(1,2) 7.如图,在扇形OPQ中,半径OP=2,圆心角∠POQ=,A是弧PQ上的动点,B是线段OQ上的动点,AB∥OP,则△OAB面积的最大值为(　　) A.2-2　　B.-1　　C.　　D. 8.已知△ABC的外接圆半径R=,c=2,C为锐角,则下列结论正确的是(　　) A.= B.△ABC周长的最大值为4 C.的取值范围为 D.·的最大值为2+ 9.在△ABC中,a2-ac+c2=b2. (1)求B的大小; (2)求cos A+cos C的取值范围. 10.已知三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-b)·cos C-ccos B=0. (1)求角C; (2)若c=,求△ABC周长的取值范围; (3)若c=,求△ABC面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理、正弦定理 基础过关练 1.B 2.C 3.D 6.B 7.C 8.A 9.AC 10.ABC 12.C 13.D 14.A 15.BC 16.A 17.D 1.B　因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理的推论可得cos A===,又0°<A<180°,所以A=30°.故选B. 2.C　由题意不妨设a=5,b=7,c=8,根据大边对大角可知A<B<C, 由余弦定理的推论可得cos B===, 又因为0°<B<180°,所以B=60°, 所以A+C=180°-B=180°-60°=120°, 所以△ABC的最大内角与最小内角之和为120°.故选C. 3.D　因为1,2,a是三角形的三边长,所以1+2>a且a+1>2,得1<a<3, 因为该三角形为锐角三角形, 所以由余弦定理的推论得 解得<a<. 所以实数a的取值范围是(,).故选D. 4.答案　 解析　由题意得cos B====≥,当且仅当a=1时,等号成立, 又B∈(0,π),所以0<B≤,所以角B的最大值为. 5.答案　3 解析　因为b>c,所以B>C,又C是三角形的内角,所以C为锐角,因为sin C=,所以cos C===.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2×7×8×=9,所以c=3(负值舍去). 6.B　易知A=180°-105°-45°=30°,由=,得c==2.故选B. 7.C　在△ABD中,由正弦定理得=,即=,故sin∠BAD=, 因为BD<AD,所以∠BAD<∠ABD,故∠BAD为锐角, 故cos∠BAD=, 所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin(∠BAD+45°)=×+×=,故选C. 8.A　∵a=,∴c-2b+2acos C=0, 由正弦定理得sin C-2sin B+2sin Acos C=0, 即sin C-2sin(A+C)+2sin Acos C=0, ∴sin C-2sin Acos C-2sin Ccos A+2sin Acos C=0, ∴sin C-2sin Ccos A=0, 又sin C>0,∴cos A=,又A∈(0,π),∴A=, 设该三角形外接圆的半径为r,则2r===2,∴r=1.故选A. 9.AC　解法一:对于A,由=,得=,所以sin C=,又因为0°<C<180°,c>a,所以C=45°或C=135°,所以三角形有两解,故A正确; 对于B,由正弦定理得sin B===>1,无解,故B错误; 对于C,由正弦定理得sin B===>1,无解,故C正确; 对于D,由正弦定理得sin B===<,因为b<a,所以B为锐角,所以此三角形只有一解,故D错误.故选AC. 解法二:csin A=4×=2,∵csin A<a<c,∴三角形有两解,A正确; bsin A=7×=,∵a<bsin A,∴三角形无解,B错误; bsin A=4×=2,∵a<bsin A,∴三角形无解,C正确; ∵a>b,且A为锐角,∴三角形有一解,D错误.故选AC. 解题模板　在△ABC中,已知a,b和A,以角A一边上的点C为圆心,a为半径画弧,此弧与角A另一边的公共点(不包含点A)的个数即为三角形解的个数.解的个数总结如下表: 条件 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b a>bsin A 无解 无解 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 10.ABC　对于A,若A>B,则a>b,由正弦定理可得sin A>sin B成立,故A正确; 对于B,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,0<A<,0<B<,所以>A>-B>0, 由正弦函数y=sin x在上单调递增,得sin A>sin=cos B,故B正确. 对于C,由正弦定理得a2+b2<c2,所以C为钝角,即△ABC是钝角三角形,故C正确; 对于D,如图,若△ABC有两解,则asin B<b<a, 所以3<b<2,则b的取值范围是(3,2),故D错误. 故选ABC. 11.解析　(1)∵(a+b)(sin A-sin B)+(b-c)sin C=0, ∴由正弦定理得(a+b)(a-b)+(b-c)c=0, 即b2+c2-a2=bc,∴cos A==, 又∵0<A<π,∴A=. (2)∵0<C<π,∴0<<,故cos==,∴sin C=2sincos=, 由=,得c===. 12.C　由题意可知A+B+C=3C=180°,则C=60°, 因为sin2C=sin Asin B, 所以由正弦定理得c2=ab, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,则(a-b)2=0,所以a=b,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形. 13.D　由cos A-cos B+=0,得a-ccos B=b-ccos A, 由余弦定理的推论得a-c·=b-c·,化简得=. 当a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形; 当a2+b2-c2≠0时,a=b,则△ABC为等腰三角形. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 14.A　设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x +x2>0,所以由余弦定理的推论可知新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形.故选A. 15.BC　对于A,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B,又A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故A错误; 对于B,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B, 即sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B, 又A,B∈(0,π),所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故B正确; 对于C,由正弦定理得==,即tan A=tan B=tan C, 又A,B,C为三角形的内角,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形,故C正确; 对于D,由余弦定理可得ac=b2=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,又B=60°,所以b=a=c,故△ABC是等边三角形,故D错误. 故选BC. 方法总结　利用正、余弦定理判断三角形的形状一般有两种方法:一是角化边,利用正、余弦定理把条件转化为边的关系,再结合因式分解、配方等方法得到边的相应关系,从而判断三角形的形状;二是边化角,利用正、余弦定理把条件转化为角的关系,再结合三角恒等变换得相应内角的关系,从而判断三角形的形状. 16.A　由题意得S△ABC=bcsin A=×5c×=,解得c=3, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=52+32-2×5×3×=49,所以a=7, 则△ABC的周长为a+b+c=15.故选A. 17.D　因为cos B==,ac=2,所以a2+c2-b2=4×=, 则S△ABC==×=,故选D. 18.解析　(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0, 由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0, 又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A-cos A=0,则tan A=, 又A∈(0,π),所以A=. (2)解法一(余弦定理):由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,因为a=,b=2,A=, 所以7=4+c2-2c,解得c=3或c=-1(舍), 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×3×=. 解法二(正弦定理):由=,得=,所以sin B=. 由a>b,知A>B,所以cos B==, 故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 所以△ABC的面积S=absin C=××2×=. 19.解析　(1)由题意及正弦定理得2sin Acos C-sin Ccos B=sin Bcos C, 所以2sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A, 易知sin A≠0,所以cos C=,又C∈(0,π),所以C=. (2)由S△ABC=absin =ab=18,得ab=72, 因为CD平分∠ACB,∠ACB=,所以∠ACD=∠BCD=, 则S△ABC=S△ACD+S△BCD=b·CDsin +a·CDsin =×4×(a+b)×=(a+b)=18,所以a+b=18, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=182-3×72=108, 所以c=6. 能力提升练 1.A 2.ACD 6.B 7.B 8.D 1.A　 信息提取　当伞完全收拢时,AB=BD=AD'; 当伞完全张开时,AD=AD'-24,∠BAC=2∠BAD. 解析　依题意知AD'=60 cm,当伞完全张开时,AD=60-24=36(cm), 当伞完全收拢时,B为AD'的中点,故AB=AC=BD=AD'=30(cm). 当伞完全张开时,在△ABD中,cos∠BAD===, 故cos∠BAC=cos 2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×-1=-,故选A. 2.ACD　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确. 易知c最大,所以△ABC中角C最大,又cos C===>0,所以C为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故B错误. 易知a最小,所以△ABC中角A最小, 又cos A===, 所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C, 由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,故C正确. 设△ABC外接圆的半径为R,则2R=,又c=6,sin C==,所以2R=,解得R=,故D正确.故选ACD. 3.答案　20-00 思路点拨　(1)根据角平分线的性质得到==2; (2)在△ABD,△ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB,cos∠ADC; (3)由cos∠ADB+cos∠ADC=0解方程,求出AB2; (4)求出cos∠ADC,从而得到∠ADC的大小,再化成密位制. 解析　因为AD是△ABC的内角A的平分线,所以∠BAD=∠CAD, 所以====2, 设AB=m(m>0),则AC=2m, 在△ABD中,由余弦定理可得m2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即m2=42+22-2×4×2cos∠ADB, 所以cos∠ADB=, 在△ACD中,由余弦定理可得4m2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即4m2=42+42-2×4×4cos∠ADC, 所以cos∠ADC=, 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, 所以+=0,解得m2=12,所以cos∠ADC=-, 又0<∠ADC<π,所以∠ADC=, 易得×=2 000,所以∠ADC的大小用密位制表示为20-00. 4.答案　, 解析　由①②结合正弦定理可得sin A=sin C=,此时A=或. 若选①②③,则由cos B=-<0知B为钝角,故A=,此时B=π-A-C=,cos B=≠-,矛盾,∴△ABC不存在,不符合题意. 若选①②④,则A有两解,不符合题意. 若选①③④,则由余弦定理的推论得-=,解得c=(负值舍去). 若选②③④,∵cos B=-,B∈(0,π), ∴sin B===, 由=,得c===. 故满足条件的所有c的值为,. 5.解析　(1)由bcos A=asin B得sin Bcos A=sin Asin B,又sin B≠0,所以cos A=sin A>0,所以A为锐角,又sin2A+cos2A=1,所以sin A=. (2)若选条件①,由(1)可得cos A=sin A=, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,又a=,b=c,所以3=6c2+c2-4c2,所以c=1,所以b=, 所以△ABC唯一确定,S△ABC=bcsin A=. 若选条件②,由=,得sin B==,由b=>a=,得B>A, 因此角B有两解,分别对应两个三角形,不符合题意. 若选条件③,由(1)可得cos A=sin A=, 因为sin A=>sin C=,所以a>c, 所以A>C,则cos C=, 因此sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,△ABC唯一确定, 由=,得c==1,所以S△ABC=acsin B=. 6.B　由c-b=2bcos A,结合正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A, 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A, 则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B), 因为△ABC是锐角三角形,所以0<A<,0<B<, 则-<A-B<, 所以B=A-B,即A=2B,则C=π-A-B=π-3B, 所以解得<B<,则<cos B<, 所以===2cos B∈(,). 故选B. 7.B　设∠AOP=θ,则0<θ<, ∵AB∥OP,∠POQ=, ∴∠ABO=,∠OAB=θ,∠AOB=-θ, 在△OAB中,由正弦定理得OB===2sin θ, ∴S△OAB=OA·OBsin∠AOB=2sin θsin =2sin θ=2sin θcos θ-2sin2θ =sin 2θ-1+cos 2θ=sin-1, ∵θ∈,∴2θ+∈, ∴当2θ+=, 即θ=时,S△OAB取得最大值-1.故选B. 解后反思　本题考查几何图形中面积最值的求解,解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量θ的函数,结合三角恒等变换和三角函数的性质得到最值. 8.D　对于A,由余弦定理的推论得bcos A+acos B= +==c, 则==2R=,故A错误; 对于B,由=2R得=,解得sin C=,又C为锐角,所以C=, 则△ABC的周长为a+b+c=2R+2 =sin A+cos A+sin A+2=sin A+cos A+2 =4sin+2, 因为0<A<,所以<A+<,所以4sin+2∈(4,6],故△ABC周长的最大值为6,故B错误; 对于C,===-+tan A,A∈∪, 故tan A∈(-∞,-)∪(0,+∞), 所以的取值范围为(-∞,-2)∪,故C错误; 对于D,由正弦定理得===,所以b=sin, 则·=2bcos A=2×sincos A =sin Acos A+cos2A=sin 2A+=sin+2, 因为0<A<,所以<2A+<, 则当2A+=时,=+2,故D正确. 故选D. 9.解析　(1)由a2-ac+c2=b2及余弦定理得2accos B=ac, 所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=. (2)因为B=,所以cos A+cos C=cos A+cos =sin A+cos A=sin, 因为0<A<,所以A+∈, 所以sin∈(0,1], 所以cos A+cos C∈(0,1], 故cos A+cos C的取值范围为(0,1]. 10.解析　(1)由(2a-b)·cos C-ccos B=0及正弦定理得 (2sin A-sin B)cos C-sin Ccos B=0, 则2sin Acos C-sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,则有2sin Acos C-sin A=0, ∵A∈(0,π), ∴sin A>0,∴cos C=, 又C∈(0,π),∴C=. (2)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即(a+b)2-3ab=7,即ab=, ∵ab≤,当且仅当a=b时等号成立,[建立关于(a+b)2和ab的不等式] ∴≤,[变形为关于(a+b)2的不等式,通过解不等式求(a+b)2的最大值] 解得0<a+b≤2, 又∵a+b>c=,∴<a+b≤2, ∴△ABC的周长的取值范围为(2,3]. 解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====, ∴a=sin A,b=sin B, 由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0<A<, ∴a+b=(sin A+sin B)=× =sin A+cos A+sin A=sin A+cos A =2×sin A+cos A=2sin.(利用三角恒等变换,将a+b的范围问题转化为三角函数的值域问题) ∵0<A<,∴<A+<, ∴<sin≤1,∴<2sin≤2, ∴△ABC的周长的取值范围为(2,3]. (3)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2=ab+7, ∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,(建立关于a2+b2和ab的不等式) ∴ab+7≥2ab,∴0<ab≤7,(变形为关于ab的不等式,通过解不等式求ab的最大值) 又∵S△ABC=absin C=ab×=ab, ∴S△ABC∈. 解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====, ∴a=sin A,b=sin B, 由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0<A<, ∴ab=sin Asin B=sin Asin =sin A=sin Acos A+sin2A==sin2A-+.(利用三角恒等变换,将ab的范围问题转化为三角函数的值域问题) ∵0<A<,∴-<2A-<,∴-<sin≤1, ∴0<sin+≤7,∴ab的取值范围是(0,7], 又∵S△ABC=absin C=ab×=ab, ∴S△ABC∈. 导师点睛　解三角形中的最值或范围问题,一般采用以下两种方法:①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求解;②先利用正弦定理将边化为角,再利用三角函数的性质求出最值或范围,如果三角形为锐角三角形或角有其他的限制条件,通常采用这种方法. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$