6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 基础过关练 题组一　向量数量积的坐标运算 1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 2.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,1),则·=(　　) A.4　　B.-4　　C.1　　D.-1 3.(2024安徽县中联盟联考)在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,点F在边CD上,若·=1,则·=(　　) A.　　B.1　　C.2　　D. 题组二　向量模的坐标表示 4.已知点A(2,6),B(-2,-3), C(0,1),D,则与向量+2同向的单位向量为(　　) A.　　B. C.　　D. 5.已知向量a=(2,1),b=(λ,3),若向量b在向量a上的投影向量c=(10,5),则|b-2a|=(　　) A.7　　B.3　　C.4　　D.5 6.(教材习题改编)已知a=(x-1,2),b=(x,1),且a∥b,则|a+b|=　　　　.  7.已知向量a=(m,3),b=(1,m),若a与b方向相反,则|a-b|=　　　　.  题组三　向量夹角的坐标表示 8.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a与b的夹角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=　　　　.  10.在平面直角坐标系中,向量a=(1,-2),b=(-2,6),若a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为　　　　.  题组四　向量垂直的坐标表示 11.已知A,B,C是平面直角坐标系内的三点,若=(2,1),=(3,-6),则△ABC的面积为(　　) A.15　　B.12　　C.　　D.6 12.在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点P在线段CD上,且满足AP⊥BP,则满足条件的点P有(　　) A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.4个 13.(多选题)已知a=(t,1),b=(2,t),t∈R,则下列说法正确的是　(　　) A.|a|的最小值为1 B.若a⊥b,则t=0 C.若t=1,则与a垂直的单位向量为 D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0) 14.已知向量a=(3,5),b=(-1,1),若(a+λb)⊥b,则λ=　　　　.  能力提升练 题组一　向量的模、夹角与向量垂直的坐标表示 1.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是(　　) A.(0,1)　　B. C.∪(1,)　　D.(1,) 2.(多选题)已知向量a=(1,2),b=(-3,4), c=a+λb,λ∈R,则下列说法正确的是(　　) A.当λ=-时,|c|最小 B.当|c|最小时,b⊥c C.当λ=1时,a与c的夹角最小 D.当a与c的夹角最小时,a=c 3.定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a||b|·sin<a,b>,<a,b>表示向量a与b的夹角.若点A(1,0),B(1,-),O为坐标原点,则|×|=　　　　.  4.在△OAB中,·=0,||=2,||=4,E点满足=t(t∈R),D为OB的中点. (1)当t=时,求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值; (2)求|-|的最小值及相应的t的值. 题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用 5.已知⊥,||=t(t>0),||=.若点P是△ABC所在平面内一点,且=+,则·的最大值为(　　) A.13　　B.5-2　　C.5-2　　D.10+2 6.(多选题)图1为折扇,其平面图为图2中的扇形COD,其中∠COD=,OC=3OA=3,动点P在上(含端点)运动,连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且=x+y,则下列说法中正确的是(　　) 　 A.若y=x,则x+y= B.若y=2x,则·=0 C.·≥-2 D.·∈ 7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点,则·=　　　　;若点P在线段BD上运动,则·的最小值为　　　　.  8.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6. (1)求·的值; (2)若=λ,·=-,求实数λ的值; (3)在(2)的条件下,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,求·的最小值. 9.(教材深研拓展)如图,在平面斜坐标系Oxy中,∠xOy=60°,平面上任一点P的斜坐标定义如下:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴正方向同向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).在该斜坐标系中,已知=(1,2),=(m,4),试探究以下问题: (1)若m=3,求·的值; (2)若⊥,求的坐标; (3)求与垂直的单位向量的坐标. 10.在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2). (1)若四边形ABCD为平行四边形,求与夹角的余弦值; (2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求·的最大值. 答案与分层梯度式解析 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 基础过关练 1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 8.B 11.C 12.C 13.AB 1.C　∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(1,0), ∴(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1. 2.C　=-=(2,1)-(1,0)=(1,1),因为四边形ABCD为平行四边形,所以==(1,0),所以·=1×1+1×0=1,故选C. 3.C　建立平面直角坐标系,如图所示: 则A(0,),B(0,0),C(2,0),D(2,),E(1,0), 设F(2,y),0≤y≤,则=(1,-),=(2,y), 由·=1,可得1×2-y=1,解得y=,所以F, 则=, 又=(0,-),所以·=0×2-×=2,故选C. 4.A　由题意得=(-4,-9),=,所以+2=(3,1), 故与向量+2同向的单位向量为=(3,1)=. 故选A. 5.D　由题意可得b在a上的投影向量为·=(2,1)=(10,5),所以=5,解得λ=11,则b=(11,3),所以b-2a=(7,1),故|b-2a|==5.故选D. 6.答案　3 解析　因为a=(x-1,2),b=(x,1),且a∥b,所以x-1-2x=0,解得x=-1,则a+b=(2x-1,3)=(-3,3),所以|a+b|==3. 7.答案　4 解析　因为a与b方向相反,所以存在k<0,使a=kb, 即解得或(舍去), 故m=k=-, 则a=(-,3),b=(1,-),所以a-b=(-2,6), 故|a-b|==4. 8.B　由题意得b=2a+b-2a=(2,0),所以a·b=1×2+1×0=2, 易得|b|=2,|a|=,设a与b的夹角为θ,则cos θ===, 又因为θ∈[0,π],所以θ=,故选B. 9.答案　 解析　以A为原点,,的方向分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系(图略), 则A(0,0),D(0,6),E(3,0),F(6,2), ∴=(3,-6),=(6,2). 易知向量与的夹角等于∠EMF, ∴cos∠EMF===. 10.答案　(-∞,0)∪ 解析　由题意得a+λb=(1,-2)+λ(-2,6)=(1-2λ,-2+6λ), 因为a与a+λb的夹角为锐角,所以a·(a+λb)>0,且a与a+λb不共线 易错点, 由a·(a+λb)>0,得1-2λ+(-2)×(-2+6λ)>0,解得λ<, 由a与a+λb共线,得-2×(1-2λ)-(-2+6λ)=0,解得λ=0,故λ≠0. 综上,λ的取值范围为(-∞,0)∪. 11.C　因为=(2,1),=(3,-6),所以·=2×3-6=0,即⊥, 所以S△ABC=||·||=××=,故选C. 12.C　以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,0),设P(t,1)(0≤t≤4), 则=(t,1),=(t-4,1), 因为AP⊥BP,所以·=0,即t(t-4)+1=0, 解得t=2±,即满足条件的点P有2个.故选C. 13.AB　|a|=,则当t=0时,|a|取最小值,为1,故A正确; 若a⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B正确; 若t=1,则a=(1,1), 设与a垂直的单位向量为m=(x,y), 则解得或 故与a垂直的单位向量为或,故C错误; 若a与b的夹角为钝角,则cos<a,b>==<0,且向量a与b不共线,即t2-2≠0,解得t<0且t≠-,故D错误. 14.答案　-1 解析　因为(a+λb)⊥b,所以(a+λb)·b=0,即a·b+λb2=0,由题意得a·b=3×(-1)+5×1=2,b2=(-1)2+12=2,所以2+2λ=0,解得λ=-1. 能力提升练 1.C 2.ABD 5.B 6.ABD 1.C　设表示向量a,b的有向线段的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),因为a与b的夹角不为0,所以m≠1.所以m的取值范围是∪(1,). 2.ABD　由题意得c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),则|c|2=(1-3λ)2+(2+4λ)2 =5+10λ+25λ2=25+4, 当λ=-时,|c|取得最小值,故A正确; 当|c|最小时,c=,所以b·c=-3×+4×=0,所以b⊥c,故B正确; 设向量a与c的夹角为θ,则cos θ===, 要使向量a与c的夹角最小,则cos θ最大,由于θ∈[0,π],所以cos θ的最大值为1,令=1,解得λ=0,所以当λ=0时,a与c的夹角最小,此时a=c,故C错误,D正确. 故选ABD. 3.答案　 解析　由题意得=(1,0),=(1,-), ∴||==1,||==2, ∴cos<,>===, ∵<,>∈[0,π],∴<,>=, ∴|×|=||||sin<,>=1×2×sin=. 4.解析　(1)由·=0,得⊥,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示, 则O(0,0),A(2,0),B(0,4),D(0,2),故=(-2,2), 因为=,所以E为AB的中点,故E(1,2), 所以=(1,2), 设与的夹角为θ, 则cos θ===, 所以直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值是. (2)解法一:由(1)知=(-2,4),=(-2,0),则=t=(-2t,4t), 则|-|===, 故当t=时,|-|取得最小值,为. 解法二:=t(t∈R)表示E是直线AB上任意一点,|-|=||,其最小值就是原点O到直线AB的距离,设为d, 则||·d=||·||,可得d==, 此时||==,则t==, 故当t=时,|-|取得最小值,为. 5.B　 思路点拨　 解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(t,0),C(t>0), 所以=(t,0),=, 故=(1,0),=(0,2), 则=+=(1,2),即P(1,2), 故=(t-1,-2),=, 所以·=1-t+4-=5-≤5-2, 当且仅当t=,即t=时,等号成立. 故选B. 6.ABD　以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(1,0),C(3,0),B,D, 设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(3cos θ,3sin θ), 由=x+y,可得(cos θ,sin θ)=, 即cos θ=3x-y,sin θ=y,易知x≥0,y≥0, 若y=x,则cos 2θ+sin 2θ=+=1, 解得x= (负值舍去),故x+y=2x=,A正确; 若y=2x,则cos θ=3x-y=0,故sin θ=1,则P(0,3),所以·=(1,0)·(0,3)=0,故B正确; ·=·(2cos θ,2sin θ)=sin θ-3cos θ=2sin, 因为θ∈,所以θ-∈, 故2sin∈[-3,3],故C错误; =(3cos θ-1,3sin θ),=, 故·=(3cos θ-1)+3sin θ·=-3sin, 易得θ+∈,所以sin∈, 故·=-3sin∈,故D正确. 故选ABD. 7.答案　5; 解析　解法一:由题意得DE=2,BM=1.以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(3,0),D(0,2),E(2,2),M(3,1),则=(-1,1),=(-3,2),=(3,0),=(0,2),所以·=(-1)×(-3)+1×2=5. 由题意可设=λ+(1-λ)=(3λ,2-2λ),0≤λ≤1,(点P在线段BD上运动,可设=λ,0≤λ≤1,则=+λ(-)=λ+(1-λ)) 故P(3λ,2-2λ),则=(2-3λ,2λ),=(3-3λ,2λ-1), 所以·=(2-3λ)(3-3λ)+2λ(2λ-1)=13λ2-17λ+6=13+, 所以当λ=时,·取得最小值,为. 解法二:由题意知CE=CM=1,则·=(+)·(+)=·+·+·+·=2+0+0+3=5. 设=t(0≤t≤1),则=-t,=(1-t), 故·=(+)·(+)=[(1-t)+]·(-t+)=-t(1-t)+(1-t)·-t·+·, 又||=,=-, 所以·=-13t(1-t)+(1-t)·+t·=13t2-9t+2 =+, 所以t=时,·取得最小值,为. 8.解析　(1)·=||·||cos 120°=3×6×=-9. (2)因为=λ, 所以AD∥BC,所以∠BAD=120°, 所以·=||||cos∠BAD=-||=-, 解得||=1,又||=6,所以=,即λ=. (3)以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 因为∠ABC=60°,AB=3, 所以A,则D, 不妨设M(x,0),N(x+1,0), 因为M,N是线段BC上的两个动点, 所以解得0≤x≤5, 易得=,=, 所以·=+=(x-2)2+, 所以当x=2时,·取得最小值,为. 9.解析　(1)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos 60°=, 因为=(1,2),=(3,4), 所以=e1+2e2,=3e1+4e2, 所以·=(e1+2e2)·(3e1+4e2)=3+10e1·e2+8=3×12+10×+8×12=16. (2)若⊥,则·=0, 即(e1+2e2)·(me1+4e2)=0, 即m+(2m+4)e1·e2+8=m×12+(2m+4)×+8×12=2m+10=0, 所以m=-5,故=(-5,4). (3)设所求向量为n=(x0,y0),则n=x0e1+y0e2, 所以n2==+2x0y0e1·e2+=+x0y0+=1①, 因为n·=0,所以(x0e1+y0e2)·(e1+2e2)=0, 即x0+(2x0+y0)e1·e2+2y0=x0+x0+y0+2y0=2x0+y0=0②, 由①②解得或 所以n=或n=, 即与垂直的单位向量的坐标为,. 10.解析　(1)由题可得=(6,-4),=(0,-3). 设D(x,y),则=(1-x,2-y). 因为四边形ABCD为平行四边形,所以=, 所以解得即D(-5,6), 所以=(12,-5). 设与的夹角为θ,则cos θ= ==, 所以与夹角的余弦值为. (2)因为M,N分别是线段AC,BC的中点, 所以M,N, 所以=(3,-2),=,=, 因为点P在线段MN上运动,所以可设=λ,λ∈[0,1],则=(3λ,-2λ), 所以=-=,=-=, 所以·=-3λ(6-3λ)+=13λ2-20λ-,0≤λ≤1. 令f(λ)=13λ2-20λ-,λ∈[0,1], 因为函数y=13λ2-20λ-的图象的对称轴方程为λ=,∈[0,1], f(0)=-, f(1)=-, 所以当λ=0时, f(λ)取得最大值,为-, 即·的最大值为-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$