6.3.1 平面向量基本定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 题组一　对平面向量基本定理的理解 1.{e1,e2}是平面内的一个基底,下面说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数) C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 2.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则下列向量中可构成平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.,　　B.,　　 C.,　　D., 3.(多选题)若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.e1-e2,e2-e1　　B.2e1-e2,e1-e2 C.2e1-3e2,6e2-4e1　　D.e1+e2,e1+3e2 题组二　用基底表示向量 4.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=,=,则=(　　) A.a-b　　B.-a-b C.-a+b　　D.a+b 5.在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC的中点,记=m,=n,则=(　　) A.n-3m　　B.n-3m　　 C.m-3n　　D.m-3n 6.在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用基底{a,b}表示,,; (2)若G为长方形ABCD所在平面内一点,且=a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形的三个顶点. 题组三　分点恒等式 7.(教材习题改编)在△ABC中,点D在边BC上,且=5,则=(　　) A.+　　B.+　　 C.+　　D.+ 8.在△ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足=-3,若=λ+μ,则+μ=(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 9.在梯形ABCD中,AD∥BC,=3,=3,且=λ+μ,则λμ的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 题组四　平面向量基本定理的应用 10.在平行四边形ABCD中,=,F为CD的中点,G为EF的中点,若=λ+μ,λ∈R,μ∈R,则(　　) A.λ=,μ=　　B.λ=,μ= C.λ=,μ=　　D.λ=,μ= 11.如图,在△ABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,过点G作直线分别交AB,AC于点M,N,且=x,=y(x,y∈R),则+的最小值为　(　　) A.1　　B.2　　C.4　　D. 12.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,设=a,=b,则=　　　　;=　　　　.(用a和b表示)  13.如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AC交BD于点O. (1)若·=8,求AP的长; (2)若||=6,||=8,∠BAC=,=x+y(x,y∈R),求y-x的值. 能力提升练 题组　平面向量基本定理的应用 1.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则=(　　) A.a+b　　B.a+b C.a+b　　D.a+b 2.若点G是△ABC所在平面上一点,且++=0,H是直线BG上一点,=x+y(x,y∈R),则x2+4y2的最小值是(　　) A.2　　B.1　　C.　　D. 3.如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则+++…+=(　　) A.2 025(a+b)　　B.2 026(a+b)　　 C.1 012(a+b)　　D.1 013(a+b) 4.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°, E,F分别为AB,BC上的点,=3,=3.若线段EF上存在一点M,使得=+x(x∈R),则·=(　　) A.2　　B.4　　C.6　　D.8 5.在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足=,=2.若点P在线段BD上运动,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 6.如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F. (1)若=,求的值; (2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值. 答案与分层梯度式解析 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 1.A 2.B 3.ABC 4.D 5.D 7.A 8.B 9.D 10.D 11.A 1.A　由基底的定义可知,e1和e2是平面内不共线的两个向量,所以若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,A正确;易知平面内的任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中实数λ1,λ2有且只有一对,B、D错误;λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)一定在该平面内,C错误.故选A. 2.B　由基底的概念可知,构成基底的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,与不共线,故选B. 3.ABC　对于A,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1共线,不能作为基底,故A符合题意; 对于B,2e1-e2=2,则2e1-e2与e1-e2共线,不能作为基底,故B符合题意; 对于C,2e1-3e2=-(6e2-4e1),则2e1-3e2与6e2-4e1共线,不能作为基底,故C符合题意; 对于D,若e1+e2与e1+3e2共线,则存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1+3e2),则无解,故两向量不共线,可以作为基底,故D不符合题意.故选ABC. 4.D　由题可得M为BC中点,又==,所以=++=+-=+=a+b,故选D. 5.D　=-=-(+)=--3=--3(-)=-3=m-3n,故选D. 6.解析　(1)=+=+=+=a+b,=+=+=+=a+b, =-=-=a-b. (2)证明:=-=-=a-b,∴=2,∴∥, 又与有公共点E,∴E,G,F三点共线, ∴E,G,F三点不能构成三角形的三个顶点. 7.A　由=5可得BD∶DC=5∶1,利用分点恒等式,可得=+.故选A. 记忆结论　分点恒等式:在△ABC中,D是BC上的点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则=+. 8.B　如图所示, 由=-3得BE∶ED=2∶1,∴=+, ∵D是AC的中点,∴=,∴=+. 又=λ+μ,,不共线, ∴λ=,μ=,∴+μ=. 9.D　由题意得AH∶HF=3∶1,∴=+, 由=3,可得=, ∴=+, 又=λ+μ,,不共线,∴λ=,μ=, ∴λμ=×=.故选D. 一题多解　由题意得=+=+=+(-)=+=+,由=λ+μ,结合平面向量基本定理可知λ=,μ=,∴λμ=×=.故选D. 10.D　解法一:因为F为CD的中点,G为EF的中点, 所以==,=, 又=,所以=++=++=++(-)=++=+. 故λ=,μ=. 解法二:=(+)=(+++)=+++ =+,故λ=,μ=. 11.A　因为G是AD的中点,且=x,=y, 所以=×(+)=(x+y). 又因为M,G,N三点共线,所以(x+y)=1(三点共线的结论),易知x>0,y>0,所以+=(x+y)·=≥=1,当且仅当x=y=2时等号成立.故选A. 记忆结论　若,为平面内两个不共线的向量,设=x+y(x,y∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是x+y=1. 12.答案　a+b;a+b 解析　=(+)=a+b. 设=λ,λ∈(0,1), 则=+=+λ=+λ(-)=+λ=(1-λ)a+b, 设=μ,μ∈(0,1),则=a+b, 所以解得所以=a+b. 13.解析　(1)由题意得·=·2=2·(+)=2+0=8, ∴==4,解得||=2,故AP的长为2. (2)∵=x+y=x+2y,且B,P,O三点共线,∴x+2y=1①. ∵||=6,||=8,∠BAC=, ∴·=||·||cos∠BAC=12, 由AP⊥BD可知·=(x+2y)·(-)=0,即2y-x+(x-2y)·=0,∴y=3x②, 联立①②解得x=,y=,故y-x=. 能力提升练 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 1.D　如图,过点F作FN平行于BC,交BE于点M,交AB于点N, 因为DF=FC,所以F为DC的中点,则N为AB的中点,所以MN∥AE且MN=AE=×AD=AD, 易知NF=AD,所以MF=NF-MN=AD-AD=AD, 易知△AEG∽△FMG,所以===, 所以==(+)==+=a+b.故选D. 2.C　因为++=0,所以点G是△ABC的重心, 如图,取AC的中点D,连接GD,易知B,G,D三点共线, 因为=2,所以=x+y=x+2y. 又B,H,D三点共线,所以x+2y=1, 所以x2+4y2=x2+(2y)2≥=,当且仅当x=,y=时取等号,故x2+4y2的最小值是.故选C. 3.D　取A0A2 025的中点A,则+=2=a+b, 因为A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等, 所以点A也是A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点, 则+=+=…=+=2=a+b, 则+++…+=(a+b)=1 013(a+b).故选D. 方法技巧　处理多个向量的和的问题,大多是将相关具有对称性的两个向量分别相加,再按规律求所有向量的和,本题中A0,A1,A2,A3,…, A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以A0A2 025,A1A2 024,A2A2 023, …,A1 012A1 013的中点相同,再利用向量加法的平行四边形法则求解. 4.A　∵=3,=3,∴=,=, ∴=+x=+x=--x=--, ∴=+=++=+(1-x), 又E,M,F三点共线,∴+(1-x)=1,解得x=, ∴=--, ∴·=·(-)=--·+ =-8-4cos 60°+12=2.故选A. 5.B　设=a,=b,则=+=a-b,=+=a-b, 联立解得 因为点P在线段BD上运动, 所以可设=t+(1-t),0≤t≤1, 则=t+(1-t)=ta-(1-t)b =t-(1-t) =+, 又=λ+μ(λ,μ∈R),所以 故λ+μ=-++-=-t, 因为0≤t≤1,所以λ+μ=-t∈. 故选B. 6.解析　(1)因为=2,所以=, 所以=+=+=+(+)=+, 因为O是AP的中点,所以==+, 设=x(x>1),因为=,所以=+,又E,O,F三点共线,所以+=1,解得x=, 故=,所以=. (2)=+=+λ=(1+λ),=+=+μ=(1+μ), 由(1)可知=+, 所以=+, 又因为E,O,F三点共线,所以+=1,整理得2λ+μ=3,故2λ+μ+1=4,的分母分别为λ和μ+1,要构造对应的形式, 所以+=·(2λ+μ+1) =≥=, 当且仅当λ=4-2,μ=4-5时取等号, 所以+的最小值为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$