6.2.4 向量的数量积（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 基础过关练 题组一　向量的数量积 1.给出下列五个命题: ①|a|2=a2; ②=; ③(a·b)2=a2·b2; ④(a-b)2=a2-2a·b+b2; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0. 其中正确命题的序号是(　　) A.①②③　　B.①④ C.②④　　D.②⑤ 2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=(　　) A.36　　B.-36　　C.32　　D.-32 3.已知在边长为1的菱形ABCD中,点E为线段CD的中点,则·=(　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 题组二　向量的投影向量 4.若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a在b上的投影向量为(　　) A.-b　　B.-b　　C.b　　D.-b 5.(教材习题改编)已知O是△ABC的外心,且满足2=+,||=3||,则在上的投影向量为(　　) A.　　B. C.　　D. 6.已知b为一个单位向量,a与b的夹角是120°,若a在b上的投影向量为-2b,则|a|=　　　　.  7.下图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的各个顶点,则·(i=1,2,…,7)的不同值的个数为　　　　.  题组三　向量的模和夹角 8.(教材习题改编)已知向量a,b满足|2a+b|=2,|a|=1,|b|=2,则向量a与b的夹角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.(多选题)已知e1,e2是夹角为的单位向量,且a=e1-2e2,b=e1+e2,则(　　) A.|a|=　　 B.a·b=- C.a与b的夹角为　　 D.a在b上的投影向量为-b 10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若·=-3,则cos∠DAB=　　　　.  11.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=-3. (1)求|a-b|; (2)若向量b与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围. 题组四　向量的垂直 12.已知向量a=,b=(log38,m),若a⊥b,则实数m=(　　) A.-2　　B.-　　C.2　　D.3 13.(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=(　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 14.已知非零向量a,b满足|b|2=3|a|2,且a⊥(3a+2b),则向量a与b的夹角为　　　　.  15.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　.  16.已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2. (1)求||; (2)求与的夹角; (3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值. 能力提升练 题组一　向量的数量积运算 1.(多选题)设向量a在向量b上的投影向量为m,则下列等式一定成立的是(　　) A.m=·b　　B.m=·b C.m·b=a·b　　D.m·a=b·a 2.C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.骑自行车是一种环保又健康的运动方式,下图是某自行车的平面结构示意图,已知圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,·的最大值为(　　) A.50　　B.48　　C.60　　D.72 4.如图,在△ABC中,AB=2,AC=1, ∠BAC=,O是△ABC的外心,若=x+y,则x=　　　　.  题组二　向量的夹角和模 5.已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos<a-b,c>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.已知等边△ABC的边长为6,D在AC上且AD=2DC,E为线段AB上的动点,则|+|的取值范围为(　　) A.[2,4]　　B.[2,2] C.[4,2]　　D.[4,6] 7.(多选题)设e1,e2均为单位向量,且对任意的实数t有≤|e1+te2|恒成立,则(　　) A.e1与e2的夹角为 B.= C.|e2-te1|的最小值为 D.|e2+t(e1-e2)|的最小值为 8.已知O为坐标原点,向量,,(点A,B,C不重合)满足||=||=||=1,(-)·(-)=0,若平面内一点P满足||=4,则|++|的取值范围是　　　　.  题组三　数量积的综合应用 9.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD边上运动. (1)若点F是CD上靠近C的三等分点,=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若AB=2,当·=1时,求cos∠EAF的值. 10.在直角梯形ABCD中,已知=2,AD⊥AB,||=||=1,动点E,F分别在线段DC和BC上,且=λ,=(1-λ). (1)当λ=时,求·的值; (2)求向量与的夹角; (3)求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 6.2.4　向量的数量积 基础过关练 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 8.B 9.ABD 12.C 13.A 1.B　 2.B　设a与b的夹角为θ,则cos θ=,故(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3|a||b|cos θ-2|b|2=2×4+3×2×5×-2×25=-36.故选B. 3.C　·=·=||2-=-1=-.故选C. 4.D　由|a|=4,|b|=3,可得(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=37-4a·b=61,所以a·b=-6,则a在b上的投影向量为·=×b=-b.故选D. 5.C　设BC的中点为M,则+=2,所以=,所以外心O与点M重合,故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 设||=3x,x>0,则||=x,所以||=x,cos B=, 设e为方向上的单位向量,则e=, 故在上的投影向量为||cos Be=3x··=.故选C. 6.答案　4 解析　由题意得|b|=1,则a·b=|a|·|b|cos 120°=-|a|,因为a在b上的投影向量为-2b,所以·b=-2b,所以=-2,即a·b=-2,所以-|a|=-2,则|a|=4. 7.答案　3 解析　·=||||cos<,>, 结合题图可知,||cos<,>表示(i=1,2,…,7)在上的投影向量的长度, (i=2,5)在上的投影向量相同, (i=1,3,6)在上的投影向量相同, (i=4,7)在上的投影向量相同, 所以·的不同值有3个. 8.B　由|2a+b|=2,得|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=12, 又|a|=1,|b|=2,所以a·b=1, 设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则a·b=|a||b|cos θ=1×2cos θ=1, 所以cos θ=,故θ=.故选B. 9.ABD　由题得e1·e2=1×1×cos =-,所以|a|===,A正确; a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=-,B正确; 设a与b的夹角为θ,易得|b|===1,所以cos θ===-,C错误; a在b上的投影向量为|a|cos θ·=×b=-b,D正确.故选ABD. 10.答案　 解析　∵=,∴=,∴=+=-+. ∵=+=+, ∴·=· =-·-=×32-×4×3×cos∠DAB-×42=-3, ∴cos∠DAB=. 11.解析　(1)由(a+2b)·(2a-b)=2a2-a·b+4a·b-2b2=3a·b-6=-3,得a·b=1,则|a-b|====. (2)因为b与λa+b的夹角为锐角,所以b·(λa+b)>0,且b与λa+b不共线,即λ+4>0,且λ≠0,解得λ>-4且λ≠0, 故λ的取值范围为(-4,0)∪(0,+∞). 解题模板　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a≠λb(λ∈R),若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a≠λb(λ∈R),注意结果要排除两向量共线的情况. 12.C　因为a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin =0,所以3-m=0,解得m=2.故选C. 13.A　a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10. 因为(ka-2b)⊥(a+b),所以(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=.故选A. 14.答案　 解析　因为a⊥(3a+2b),所以a·(3a+2b)=3|a|2+2a·b=0,所以a·b=-|a|2.因为|b|2=3|a|2,所以|b|=|a|, 设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则cos θ===-,所以θ=. 15.答案　4 解析　如图,令=a,=b,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD, 由a⊥b,可得AD⊥AB,∴四边形ABCD为矩形. ∵a+b+c=0,∴c=-(a+b)=. ∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD, ∴四边形ABCD为正方形. ∴|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 16.解析　(1)=-=-5e1+e2, 因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, 所以||===. (2)·=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+2+e1·e2=-, ||===, ||===, 所以cos<,>==-,又<,>∈[0,π],所以<,>=. (3)由题意可知⊥,由(1)知=-5e1+e2, 又=-=(t+3)e1-2e2,所以·=(-5e1+e2)·[(t+3)e1-2e2]=-5(t+3)-2+(t+13)e1·e2=0,即-5(t+3)-2+(t+13)=0,解得t=-. 能力提升练 1.BC 2.B 3.C 5.B 6.B 7.BD 1.BC　设向量a与b的夹角为θ, 则a在b上的投影向量为|a|cos θ·, 故m=|a|cos θ·=|a|··=·b,故A错误,B正确; m·b=·b·b=·|b|2=a·b,故C正确,D错误.故选BC. 2.B　连接BC,由对称性可知BA=BC,取AC的中点H,连接BH,则AC⊥BH,AH=AC, 因为正六边形的边长为1,所以AC=2,所以·=||·||cos∠BAC=||·||=2,故选B. 方法技巧　若已知向量b的模及a在b上的投影向量c的模,则可根据a·b=|b|·|c|求数量积,这种方法避免了求a与b的夹角. 3.C　连接AC,在△ACE中,AE=CE=4,∠AEC=120°, 则∠CAE=∠ACE=30°,AC=4,由题得AD=8, 则·=·(+)=·+· =||||cos 30°+||||cos<,> =4×8×+4×cos<,> =48+12cos<,>, 易知<,>∈[0,π],所以cos<,>∈[-1,1],所以·∈[36,60], 所以·的最大值为60.故选C. 4.答案　 解析　设圆O的半径为r,过O作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,则AD=AB=1,AE=AC=. 因为=x+y,所以·=x+y·, 与的夹角为∠OAD,且cos∠OAD==, 则r×2×=4x+y×1×2×,即4x-y=2①. ·=x·+y,cos∠OAC=, 则r×1×=x×2×1×+y,即-x+y=②, 联立①②,可得x=,y=. 5.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c, 则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0, 又c=-a-b, 所以(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=, 易知|a-b|===, 所以cos<a-b,c>===. 故选B. 6.B　设=a,=b,则|a|=|b|=6,a·b=6×6×cos 60°=18, 设AE=λAB(0≤λ≤1),则=λ=λa, 因为AD=2DC,所以==b, 则=-=b-a,所以+=(λ-1)a+b, 则==(λ-1)2a2+(λ-1)a·b+b2=36(λ-1)2+24(λ-1)+16=4(3λ-2)2+12, 所以当λ=时,取得最小值,为12,当λ=0时,取得最大值,为28, 所以|+|的取值范围为[2,2].故选B. 7.BD　设e1与e2的夹角为θ,≤|e1+te2|两边平方,可得+cos θ≤t2+2tcos θ+1,即t2+2tcos θ--cos θ≥0①,由题知,不等式①对任意的实数t都成立, 所以4cos2θ+4cos θ+1≤0,即(2cos θ+1)2≤0, 则cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=,故A错误; ====,故B正确; |e2-te1|== =≥,当且仅当t=-时取等号,故C错误; |e2+t(e1-e2)|= ==≥,当且仅当t=时取等号,故|e2+t(e1-e2)|的最小值为,故D正确. 故选BD. 8.答案　[11,13] 解析　因为||=||=||=1, 所以A,B,C三点在以O为圆心,1为半径的圆上, 因为(-)·(-)=0, 所以·=0,所以BA⊥CB, 所以AC是圆O的直径,所以=-, 所以|++|=|-+-+-|=|-3|, 设与的夹角为θ,θ∈[0,π], 则|-3|= = ==, 因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1], 所以145-24cos θ∈[121,169], 所以|-3|∈[11,13], 即|++|的取值范围是[11,13]. 9.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点, ∴==,=-=-, ∴=+=-, 又=λ+μ,∴=, 又,不共线,∴λ+=-μ=0, ∴λ=-,μ=,故λ+μ=-+=. (2)设=m(0≤m≤1),则=+=-m, 又=+=+,·=0, ∴·=·(-m) =-m+=-4m+2=1,故m=. ∴·=· =+=3+2=5, 易得||=,||=, ∴cos∠EAF===. 10.解析　(1)当λ=时,=,=. 由题知=,所以=+=+, 则=-=-. 所以=+=+=+=(+), 又=+=+=+, 所以=-=-+. 因此·=·=-++·. 因为=2,||=1,AD⊥AB, 所以||=2,·=0, 所以·=. (2)由(1)知=-. 因为=λ,=(1-λ), 所以=+=+(1-λ)=+, =+=+λ=+λ=λ+. 则=-=(λ-1)+. 因为||=2,||=1,·=0, 所以·=(λ-1)+=λ-1+1-λ=0,所以⊥,故向量与的夹角为90°. (3)由(2)可知=+,=λ+, 所以+=+用已知长度和夹角的,表示出+. 因为||=2,||=1,·=0, 所以=+ =+×4=λ2-5λ+5=(λ-1)2+(利用模长计算公式转化为关于λ的一元二次函数), 由题意知λ∈[0,1], 所以的取值范围是, 故的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$