6.2.3 向量的数乘运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 基础过关练 题组一　向量的数乘运算 1.若a=-b(b≠0),则(　　) A.a和b方向相同,|a|=2|b| B.a和b方向相同,|b|=2|a| C.a和b方向相反,|a|=2|b| D.a和b方向相反,|b|=2|a| 2.已知λ∈R,则下列命题正确的是(　　) A.|λa|=λ|a|　　B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a|　　D.|λa|>0 3.(多选题)(教材习题改编)如图,若P,Q两点把线段AB三等分,则下列关系中正确的是(　　) A.=　　B.= C.=-　　D.= 4.(2024重庆南开中学阶段测试)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是　　　　.  题组二　向量的线性运算 5.已知向量a,b,则2(a+b)-(a-b)=(　　) A.a+b　　B.a-b C.3a+b　　D.a+3b 6.已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足=2-2,则=(　　) A.　　B.　　C.2　　D.3 7.(多选题)已知点P是△ABC的重心,则=(　　) A.+　　B.+ C.-　　D.+ 8.(多选题)在△ABC中,D在边AB上,=2,E是CD的中点,则(　　) A.=-　　B.=+ C.=+　　D.=2-3 9.在梯形ABCD中,=4,+=x+y,则x-y=　　　　.  10.如图所示,在平行四边形AOBD中,C为AB与OD的交点,设向量=a,=b,且=,=,用a,b表示,,. 题组三　向量共线定理及其应用 11.给出下列命题: ①若两个向量相等,则表示它们的有向线段的起点和终点都相同; ②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线; ③若与共线,则A,B,C三点共线; ④a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向; ⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中真命题的序号为(　　) A.③④　　B.②③　　C.②④　　D.④⑤ 12.(教材习题改编)已知a,b是两个不共线的向量,在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形　　B.非特殊平行四边形 C.梯形　　D.以上都不对 13.已知a与b为不共线的向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ=(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 14.已知向量m,n不共线,且=3m-2n,=m-3n,=2m+λn. (1)用m,n表示; (2)若∥,求实数λ的值. 15.设a,b是两个不共线的向量. (1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线; (2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值. 能力提升练 题组一　向量的线性运算 1.(多选题)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A.=+　　B.=+ C.=-　　D.=+ 2.如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是(　　) A.5　　B.8　　C.10　　D.12 3.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　) A.-= B.+= C.-= D.+= 题组二　向量共线定理及其应用 4.(多选题)已知P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　) A.向量与可能平行 B.点P在线段EF的延长线上 C.点P在线段EF上 D.PE∶PF=2∶1 5.如图,在△ABC中,=,E为线段AD上不含端点的动点,且=x+y,则+的最小值为(　　) A.8　　B.12　　C.32　　D.16 6.设P为△ABC所在平面内一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为　　　　.  7.如图,点C和点B关于点A对称,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设=a,=b. (1)用向量a与b表示向量,; (2)若=,求证:C,D,E三点共线. 答案与分层梯度式解析 6.2.3　向量的数乘运算 基础过关练 1.D 2.C 3.ABC 5.D 6.D 7.CD 8.BCD 11.A 12.C 13.D 1.D　∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D. 2.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,故A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,故B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,故D错误.故选C. 3.ABC　由题图可知,与方向相同,且||=||,||=||,故=,=,故A,B正确; ,方向相反,且||=||,故=-,故C正确; ,大小相等,方向相反,故=-,故D错误. 故选ABC. 4.答案　± 解析　由a=λb得|a|=|λb|=|λ||b|,因为|a|=3,|b|=5,所以|λ|=,即λ=±. 5.D　2(a+b)-(a-b)=2a+2b-a+b=a+3b.故选D. 6.D　∵=2-2,∴+=2(+)-2,即3=,∴3||=||,∴=3.故选D. 7.CD　设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以==×(+)=+=+(+)=+=(+)+=-.故选CD. 8.BCD　对于A,=-,故A错误; 对于B,=+=+=+(-)=+,故B正确; 对于C,=+=+=++=+,故C正确; 对于D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正确. 故选BCD. 9.答案　6 解析　易得+=++4=-5, 又+=x+y,所以x=1,y=-5,所以x-y=1-(-5)=6. 10.解析　∵=-=a-b, ∴=+=+=+=b+(a-b)=a+b. ∵=a+b,∴=+=+=+==a+b, ∴=-=a+b-a-b=a-b. 11.A　对于①,在▱ABCD中,=,但是它们的起点、终点均不相同,故①错误; 对于②,若b=0,则a与c不一定共线,故②错误; 对于③,因为与共线,且有公共点B,所以A,B,C三点共线,故③正确; 易知④正确; 对于⑤,若λ=μ=0,则λa=μb=0,但a与b不一定共线,故⑤错误. 故选A. 12.C　由题意可得=++=-8a-2b,则=2,故与共线,且||=2||,∴四边形ABCD是梯形.故选C. 13.D　∵A,B,C三点共线,∴,共线,故设=k(k≠0), 由题意得=-=a-2b, =-=(λ-2)a+(μ+1)b, 则a-2b=k(λ-2)a+k(μ+1)·b, 即[1-k(λ-2)]a=[k(μ+1)+2]b, ∴则λ-2=,故2λ+μ=3, 故选D. 14.解析　(1)=-=m-3n-(3m-2n)=-2m-n. (2)因为∥,所以∃t∈R,使得=t, 即3m-2n=t(2m+λn),所以(3-2t)m=(tλ+2)n, 又m,n不共线,所以解得 故λ的值为-. 15.解析　(1)证明:由题意得=-=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b, =-=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2, 所以∥,又,有公共点B, 所以A,B,C三点共线. (2)因为4a+kb与ka+b共线, 所以存在实数λ,使得4a+kb=λ, 即a=b, 又a,b是两个不共线的向量, 所以解得或 故实数k的值是±4. 能力提升练 1.AC 2.C 3.A 4.CD 5.C 1.AC　=+=+,故A正确; =+=+=(+)+=+,故B错误; =++=-++=-,故C正确; =++=-++=-,故D错误.故选AC. 2.C　连接AB,CO,如图所示, 因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,所以+=2, 所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||= 4×2+2×1=10, 当且仅当M,O,C三点共线且,同向时,等号成立, 因此|++2|的最大值是10.故选C. 3.A　-=-==,故A正确; +=+==,故B错误; -=-==,故C错误; +=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.故选A. 4.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点, 所以+=2,+=2, 又+2+3=0即(+)+2(+)=0, 所以2+4=0,即=2,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确; 易知P,A,C三点不共线,则向量与不可能平行,故A错误.故选CD. 5.C　因为=,所以=, 因为=x+y,所以=x+3y, 由题意知∃λ∈(0,1),使=λ, 即-=λ(-),即=λ+(1-λ), 所以x+3y=λ+(1-λ), 即(3y-λ)=(1-λ-x), 又,不共线, 所以即x+3y=1,x>0,y>0, 所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32, 当且仅当=,即x=y=时取等号, 所以+的最小值是32.故选C. 6.答案　14 解析　由3+4=m,可得+=, 令=+,则=,且-=-,即3=4,则PH∥AB,H在线段AC上,且=,所以S△ABP=S△ABH,=, 所以S△ABC=S△ABH=S△ABP=14. 7.解析　(1)由题可得==a, 又=b,∴=+=-b-a, =+=2+=2+(+) =2a+(-a+b)=a+b. (2)证明:∵=-=-b+a+b=a+b=,∴与平行, 又∵与有公共点C,∴C,D,E三点共线. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$