6.4.3 余弦定理、正弦定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

1.三角形的元素 　　一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素. 2.解三角形 　　已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 6.4.3 余弦定理、正弦定理 必备知识 清单破 知识点 1 三角形的元素与解三角形 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 　　推论:cos A= ,cos B= ,cos C= . 知识点 2 余弦定理 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = . 知识点 3 正弦定理 拓展     = = =2R(R是△ABC外接圆的半径). 　　常见变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A= ,sin B= ,sin C= . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.仰角、俯角:在视线所在的垂直平面内,视线与水平线的夹角.视线在水平线上方、下方时, 与水平线的夹角分别为仰角、俯角,如图①. 知识点 4 实际应用问题中的有关术语 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 3.方位角:从某点的正北方向起,按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角.如图③,方位角 为120°.   2.方向角:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向 线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度.如图②,方向角为南偏西60°. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.余弦定理a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式会变成什么?勾股定理和余弦定理有什么关系? 2.在△ABC中,若sin A=sin B,则一定有A=B吗? 3.在△ABC中,A>B与sin A>sin B有怎样的关系? 4.在三角形的6个元素中,任意给出其中的3个元素,都能求出其余元素吗? 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.若A=90°,则公式变为a2=b2+c2,即勾股定理;勾股定理是余弦定理的一个特例,余弦定理是勾 股定理的推广. 2.一定.由正弦定理及sin A=sin B得a=b,故△ABC为等腰三角形,则A=B. 3.设△ABC的外接圆的半径为R,若A>B,则a>b,则2Rsin A>2Rsin B,故sin A>sin B. 若sin A>sin B,则2Rsin A>2Rsin B,则a>b,故A>B. 综上所述,在△ABC中,A>B与sin A>sin B等价. 4.不一定.当给出的3个元素是3个角时,不能求其边长,因此给出的3个元素中至少要有一条边 的长. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 利用余弦定理、正弦定理解三角形 关键能力 定点破 1.利用余弦定理解三角形 (1)“边边边”型:当已知三角形的三边时,一般先利用余弦定理的推论求出两角,再根据三角 形内角和定理求出第三个角. (2)“边角边”型:当已知两边及其夹角时,可以利用余弦定理求出第三边,再用余弦定理的推 论和三角形内角和定理求出另两角. (3)“边边角”型:当已知两边和其中一边的对角时,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解 方程求出第三边,可能会出现增根,此时需根据题意进行检验,再用余弦定理的推论和三角形 内角和定理求出另两角. 2.利用正弦定理解三角形 (1)“角角边”型:当已知三角形的两角和其中一个角的对边时,可由正弦定理求另一角所对 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 的边,由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求出第三边. (2)“角边角”型:当已知三角形的两角和第三个角的对边时,先由三角形内角和定理求出第 三个角,再由正弦定理求另外两边. (3)“边边角”型:当已知两边及其中一边的对角时,可由正弦定理求另外一边的对角,此时需 从角的角度进行检验,即大边对大角,小边对小角,再由三角形内角和定理求第三个角,最后由 正弦定理求第三边.不妨设已知边a,b和A,则△ABC的解的几种情况如下: ①A为直角或钝角时,解的情况如下:   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ②A为锐角时,解的情况如下:   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据已知条件解三角形. (1)a∶b∶c=2∶ ∶( +1); (2)a=2 ,c= + ,B=45°; (3)c=10,A=45°,C=30°; (4)b=3,c=3 ,B=30°. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题可设a=2k,b= k,c=( +1)k(k>0), 由余弦定理的推论,得cos A= = = , 所以A=45°. 同理可得cos B= ,所以B=60°. 所以C=180°-A-B=75°. (2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=(2 )2+( + )2-2×2 ×( + )×cos 45°=8, 所以b=2 . 由余弦定理的推论,得cos A= = = , 所以A=60°,故C=180°-(A+B)=75°. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 (3)因为A=45°,C=30°, 所以B=180°-(A+C)=105°. 由正弦定理,得 = , 故a= =10× =10 . 同理可得,b= =10×  =10×  =10×  =20× =5 +5 . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 (4)解法一(余弦定理):由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 即32=a2+(3 )2-2a×3 ×cos 30°, 整理得a2-9a+18=0,解得a=3或a=6. 当a=3时,A=B=30°,故C=120°; 当a=6时,由余弦定理的推论得cos A= = =0, 所以A=90°,故C=60°. 解法二(正弦定理):因为b=3,c=3 ,B=30°, 所以由正弦定理得 = ,解得sin C= ,所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,A=90°, 由勾股定理得a= =6; 当C=120°时,A=30°,故A=B,所以a=b=3. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　　正、余弦定理在边角相关问题中的综合应用主要体现在边角互化.一般地,若式子中含 有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若式子中含角的正弦或边的一次式,则考虑用 正弦定理.也可以与三角恒等变换等知识结合起来,达到解题的目的. 定点 2 利用余弦定理、正弦定理解决三角形边角相关问题 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状是  (        ) A.等边三角形　    B.锐角三角形 C.钝角三角形　    D.直角三角形 D 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:∵acos B+acos C=b+c, ∴sin Acos B+sin Acos C=sin B+sin C(利用正弦定理化边为角). ∵A+B+C=π, ∴sin B+sin C=sin(A+C)+sin(A+B), ∴sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),化简,得cos A(sin B+sin C)=0(利用三角恒等变换 求角). 又∵A∈(0,π),B∈(0,π),C∈(0,π), ∴cos A=0,即A= , ∴△ABC是直角三角形. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∴a· +a· =b+c(利用余弦定理的推论化角为边),化简,得(a2-b2-c2)(b+c)=0(因 式分解得边的关系). ∵b+c>0, ∴a2-b2-c2=0,即a2=b2+c2, ∴△ABC是直角三角形. 解法二:∵acos B+acos C=b+c, 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+c=2b. (1)求证:0<B≤ ; (2)若C=2A,试求a∶b∶c. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由余弦定理的推论,得cos B= = ≥ = ,当 且仅当a=c时等号成立, ∵B是△ABC的内角,∴0<B≤ . (2)在△ABC中,由a+c=2b,结合正弦定理可得sin A+sin C=2sin B, ∵C=2A,∴B=π-A-C=π-3A, ∴sin A+sin 2A=2sin 3A, 即sin A+2sin Acos A=2(sin Acos 2A+cos A·sin 2A)=2[sin A(2cos2A-1)+2sin Acos2A], ∵sin A>0, ∴1+2cos A=2(2cos2A+2cos2A-1), 整理得8cos2A-2cos A-3=0, 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解得cos A= 或cos A=- . ∵C=2A,∴0<A< , ∴cos A= . 由余弦定理的推论,得cos A= = , 将a+c=2b代入上式, 得2b2+2c2-2(2b-c)2=3bc,整理得b= c, ∴a= c,故a∶b∶c= c∶ c∶c=4∶5∶6. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S= absin C= bcsin A= casin B. 2.在解决三角形面积、周长等范围问题时,一般有两种方法: (1)正弦定理与三角函数相结合:利用正弦定理将边转化为角,进行三角恒等变换,然后利用三 角函数的性质,求三角形面积、周长的范围. (2)余弦定理与不等式相结合:利用余弦定理得到三角形三边关系的等式,然后利用不等式(如 a2+c2≥2ac,(a+c)2≥4ac)转化,通过解不等式得到周长或面积的范围. 定点 3 利用余弦定理、正弦定理解决三角形周长和面积问题 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 + = . (1)求b的值; (2)若cos B+ sin B=2,求△ABC周长的取值范围. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵ + = , ∴ + = , ∴ = ,解得b= . (2)解法一(正弦定理+三角函数): ∵cos B+ sin B=2sin =2, ∴sin =1,∵0<B<π,∴ <B+ < , ∴B+ = ,∴B= , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 由正弦定理得 = = = =1, ∴a=sin A,c=sin C, 由A+B+C=π,B= ,得A+C= , ∴C= -A,且0<A< , ∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin  =sin A+sin cos A-cos sin A = sin A+ cos A= sin . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∵0<A< ,∴ <A+ < , ∴ <sin ≤1, ∴ < sin ≤ ,即 <a+c≤ , ∴ <a+b+c≤ , ∴△ABC周长的取值范围是 . 解法二(余弦定理+不等式): 同解法一得B= ,由(1)知b= , 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac,则3ac=(a+c)2-b2, 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∵ac≤ ,∴3ac=(a+c)2-b2≤ ,即(a+c)2≤4b2,∴a+c≤2b= ,当且仅当a=c时等号 成立. 又∵三角形中两边之和大于第三边, ∴a+c>b= ,∴ <a+c≤ , ∴ <a+b+c≤ , 故△ABC周长的取值范围是 . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin  =bsin A. (1)求B的值; (2)若b=1,求△ABC面积的最大值; (3)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由正弦定理及已知得sin Asin  =sin Bsin A, ∴sin Asin  =sin Acos  =2sin  cos  ·sin A,∵A∈(0,π), ∈ , ∴sin A≠0,cos  ≠0, ∴sin  = ,∴ = ,解得B= . (2)解法一(正弦定理+三角函数):由正弦定理得 = = = = , ∴a= sin A,c= sin C, 由A+B+C=π,B= ,得A+C= , ∴C= -A,且0<A< , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ac= sin Asin C= sin Asin  = sin A  =   =   = sin + , ∵0<A< ,∴- <2A- < , ∴0< sin + ≤1, ∴ac的取值范围是(0,1], 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∴S△ABC= acsin B≤ ×1× = . 故△ABC面积的最大值为 . 解法二(余弦定理+不等式):由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=1,即a2+c2=ac+1,∵a2+c2 ≥2ac,∴ac+1≥2ac,即ac≤1,当且仅当a=c=1时取等号,∴S△ABC= acsin B≤ ×1× = . 故△ABC面积的最大值为 . (3)由A+B+C=π,B= ,得C= -A, 由△ABC为锐角三角形,得  第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解得 <A< , 由正弦定理得 = = , 所以a= = = , 因为 <A< , 所以tan A> ,故a∈ , 故S△ABC= acsin B= a∈ . 所以△ABC面积的取值范围为 . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧    在求周长或面积范围问题时,如果已知的边和角是对应的,两种方法都适用,但余 弦定理结合不等式这种方法较简便;如果已知的边和角不是对应的或对角的范围有要求时, 通常选择正弦定理结合三角函数这种方法. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.测量距离问题 定点 4 利用余弦定理、正弦定理解决实际应用问题 问题 图形 可测元素 解法 测量不相通的两点A, B间的距离(A,B均可 到达)   a,b,α AB=   测量可视的两点A,B 间的距离(B点不可到 达)   b,α,β AB=  第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 测量两个不可到达的 点A,B间的距离   a,α,β,γ,θ (1)在△ACD中,用正 弦定理求AC; (2)在△BCD中,用正 弦定理求BC; (3)在△ABC中,用余 弦定理求AB 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 2.测量高度问题 问题 图形 可测元素 解法 测量AB的高度(底部 B点可到达)   a,α AB=atan α 测量AB的高度(底部 B点不可到达)   a,α,β (1)在△ACD中,用正弦定理求AD; (2)AB=ADsin β   a,α,β,γ (1)在△BCD中,用正弦定理求BC; (2)AB=BCtan γ 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 3.测量角度问题应注意: (1)明确角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,并根据题意画出正确的示意图; (3)从实际问题中抽象出一个或几个三角形,结合图形去选择定理求解三角形. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+ )n mile的两个观测点,现位于A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20  n mile 的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 n mile/h,该救援船到达D点需要多长时间?   第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意知AB=5(3+ )n mile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=105°. 在△DAB中,由正弦定理得 = , ∴DB= =  = = =10 (n mile). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20  n mile, ∴在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10 ×20 ×  =900, ∴CD=30 n mile, ∴该救援船到达D点需要的时间为 =1(h). 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.奔驰定理 　　如图,已知P为△ABC内一点,则有S△PBC· +S△PAC· +S△PAB· =0. 专题疑难 突破 三角形的奔驰定理和四心问题 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 证明:如图,延长AP,交BC于点D,   则 = = = = , 易得 =  +  , ∴ =  +  , ∵ = = = = ,∴ =-  , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 即  +  =-  ,∴S△PBC· +S△PAC· +S△PAB· =0. 　　这个定理对应的图形和奔驰车的标志很相似,我们把它称为奔驰定理.奔驰定理可以快 速解决三角形的面积和与“四心”相关的平面几何问题. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知点O在△ABC内,若2 + +3 =0,则S△AOC∶S△ABC=　　　    .  1∶6 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(通法):因为2 + +3 =0,所以2( + )+( + )=0, 如图,分别取AC,BC的中点E,F,连接OE,OF,AF, 则2 + =0,即 =-  , 所以S△AOC= S△AFC, 又因为S△AFC= S△ABC,所以S△AOC= S△ABC, 故答案为1∶6. 解法二(速解):由2 + +3 =0,运用奔驰定理得S△BOC∶S△AOC:S△AOB=2∶1∶3, 所以S△AOC∶S△ABC=1∶6. 方法技巧    已知P为△ABC内一点,且满足x +y +z =0,则S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=x∶y∶z,  = , = , = . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 2.三角形四心与奔驰定理 　　设O为△ABC内一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 ①O为△ABC的重心(中线的交点)⇔ + + =0⇔S△BOC∶S△COA∶S△AOB=1∶1∶1. ②O为△ABC的内心(角平分线的交点)⇔a +b +c =0⇔ sin A· +sin B· +sin C· = 0⇔S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c. ③O为△ABC的外心(中垂线的交点)⇔| |=| |=| |= ⇔sin 2A· +sin 2B· +sin 2C · =0⇔S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C. ④O为△ABC的垂心(高线的交点)⇔ · = · = · ⇔ tan A· +tan B· +tan C·  =0⇔S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (多选)已知P为△ABC所在平面内一点,则下列命题正确的是 (　     ) A.若P为△ABC的垂心, · =2,则 · =2 B.若P为锐角△ABC的外心, =x +y 且x+2y=1,则AB=BC C.若 =λ (λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的重心 D.若 =  +  +   ,则点P的轨迹经过△ABC的内心 ABC 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A选项,因为 = + ,所以 · = ·( + )= · + · =2,因为P为 △ABC的垂心,所以 · =0,所以 · =2,故A正确; 对于B选项,因为 =x +y 且x+2y=1, 所以 =(1-2y) +y ,所以 - =y( -2 ),即 =y( + ), 设D为AC的中点,则 =2y ,所以B,P,D三点共线, 又因为PD垂直平分AC,所以BD垂直平分AC,故AB=BC,故B正确; 对于C选项,由正弦定理得 = , 故| |sin C=| |sin B, 所以 =λ  第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 = ( + ), 设BC的中点为E,则 + =2 ,所以 =  , 所以A,P,E三点共线,即点P在边BC上的中线所在的直线上,故点P的轨迹经过△ABC的重心, 故C正确; 对于D选项,因为 =  +  =  +  +  ( + ), 设BC的中点为M,则 + =2 ,所以 =  +  + , 所以 · =  · + · · + · =-| |+| |+ · = · , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 所以 · - · =0,即( - )· =0, 所以 · =0,故点P在BC的中垂线上, 故点P的轨迹经过△ABC的外心,故D错误. 故选ABC. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结    三角形四心与动点P的轨迹 　　已知点O是△ABC所在平面内一定点. 1.动点P满足 = +λ  +  ,则点P的轨迹一定经过△ABC的重心; 2.动点P满足 = +λ (λ>0),则点P的轨迹一定经过△ABC的内心; 3.动点P满足 = +λ  +  ,则点P的轨迹一定经过△ABC的外心; 4.动点P满足 = +λ  +  ,则点P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养解读 　　解三角形在实际中的应用一般为高度测量问题、角度测量问题和距离测量问题,通常将 实际问题抽象概括为解三角形的数学模型. 　　在解三角形过程中,需要灵活掌握正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换等知识,有时 需要连续进行计算. 素养 通过解三角形的实际应用发展数学建模和数学运算的核心素养 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 例题 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角 高程测量法是珠峰高程测量方法之一.下图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点, 且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角 为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差 AA'-CC'约为( ≈1.732)(　    )   A.346　    B.373　    C.446　    D.473 典例呈现 B 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    通过作辅助线构造三角形,分析三角形中的边角关系求解. 如图,过点C分别作A'C',B'C'的平行线,分别交A'A,B'B于点D,点E,连接DE,则DE∥A'B',过点B作 DE的平行线,交AA'于点F.   则△A'B'C'≌△DEC,∴∠DCE=∠A'C'B'=45°,∠CDE=∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°. 在Rt△BCE中,可得tan 15°= ,即2- = ,∴CE= =100(2+ ), 在△CDE中,由正弦定理可得 = , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ∴DE= ·CE=100( +1). 在Rt△ABF中,∠ABF=45°, ∴AF=BF,∴AA'-CC'=AD=AF+DF=BF+BE=DE+BE=100(2+ )≈373.故选B. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　在解三角形问题时,先梳理已知条件和所求问题,然后建立数学模型.需要注意两点:一是 把空间问题转化为平面问题;二是把求解的问题归结到合适的一个或几个三角形中,并按照 一定的顺序运用正弦定理和余弦定理逐步求解. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 $$