精品解析：河南省信阳市息县第一高级中学、第二高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题

2025届信阳市息县一高、二高二模联考 高三数学试题 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ） A. B. C. 2.4 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程，解得结果即可. 【详解】因为相应于点的残差为，所以， 所以，解得. 故选：D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，则， 故向量在上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：C 3. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，，∴在上单调递增，故充分性成立， 当在单调递增，∴，即，∴，故必要性不成立， 所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可． 【详解】因为圆的圆心为，半径为 抛物线的准线为 所以，即， 故选：A. 5. 如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算． 【详解】在平行四边形中 因为E是AC中点， 所以 所以, 因为 所以 所以 因为 所以 ，解得 所以 故选C 【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行运算． 6. 已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求、坐标，结合已知易得，根据得到齐次方程求参数关系，即可得离心率. 【详解】设以为直径的圆的方程为，且、关于原点对称， 由，解得或， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D 7. 若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项公式，结合三角恒等变换求解即得. 【详解】由题意可得， 即， 即， ，解得. 故选：B. 8. 把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（ ） A. 30 B. 27 C. 54 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】从写有数字3的卡片，开始考虑，分3所在的行要么由2个1，要么没有1，有5种排法，由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法. 【详解】每张卡片都有所在的行和列，为了保证每行每列的数字和为奇数， 所以每行和每列有3个奇数或者1个奇数， 首先考虑写有数字3的卡片，然后再考虑写有数字1的卡片， 3所在的行要么有2个1，要么没有1， 当3所在的行有两个1时，另外两个1必须在同一列，于是有3种排法， 当3所在的行没有1时，剩下的两行应该是一行3个1，一行1个1， 于是有2种排法，所以对于3的每一个位置有5种排法， 由于3可以放在这9个位置中的任何一个位置，因此共有45种排法. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于C，利用导数的几何意义求出，直线垂直即可判断；对于D，利用韦达定理以及焦半径公式求出，即，由直线与直线垂直得即可. 【详解】对于A，由已知设过点的直线方程为， 联立方程 ， 消去 得 ，可得， 又因为 ， 所以，则 ， 解得（定值）， A 正确; 所以抛物线方程为， 准线方程为 ，B错误; 对于 C，抛物线 ， 即 ， 则 ， 所以， 故直线垂直， 所以点在以为直径的圆上， C正确; 对于 D，因为， 解得， 因为直线垂直于直线，直线的方程为 所以， 则 ，D 正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D． 【详解】选项A，连接，正方体中易知， 分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确； 选项B，如图，取中点为，连接， 因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，正方体中，分别是中点，则， 在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点， 连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点， 为所过三点的截面， 由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质， 设，，则，， 是中点，，则，所以，同理， ，，， 梯形是等腰梯形，高为， 截面面积， 设，，， 在上递增，，， 所以，C错； 选项D，取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体）， 它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D正确． 故选：ABD． 11. 已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 的展开式中常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 14. 设向量，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数求出、，又，利用两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得； （2）解法1：首先求出，再由，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到，再由计算可得. 【小问1详解】 由已知，， ， 因为， 所以 ， 所以在中由余弦定理可得 . 【小问2详解】 解法1：因为， 又因为， 所以， 即， 解得. 解法2：因为，所以， 又，， 所以， 又因为，所以，则， 所以. 16. 在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：） （1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率； （2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关； 参考公式和数据如下：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 7.879 （3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望. 【答案】（1） （2）有 （3）， 【解析】 【分析】（1）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得； （2）利用公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （3）由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式及期望公式即可得解. 【小问1详解】 由题意摸到两球同色的概率为， 所以回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人， 由题意可知公历生日是奇数的概率是， 所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人， 所以员工对新考勤管理方案满意的概率； 【小问2详解】 由题意，列联表如下： 对新考勤管理方案满意 对新考勤管理方案不满意 合计 男员工 女员工 合计 285 ， 所以有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关； 【小问3详解】 由题意可知， 则， 所以. 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积． 【详解】（1）由已知得，，解得，又， 所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为， 由得，① 设、的坐标分别为，（），中点为， 则，， 因为是等腰△的底边，所以． 所以的斜率为，解得，此时方程①为． 解得，，所以，，所以， 此时，点到直线：的距离， 所以△的面积． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键． 18. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接. （1）证明：为定值（为坐标原点）； （2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解. 【小问1详解】 设直线的方程为，则， 由，消去，得， ， 所以， 直线的方程为，化简得， 令，得，所以 因此. 【小问2详解】 因为点的横坐标为，由（1）可知，， 设交抛物线于，，如图所示 又由（1）知，，同理可得，得， 又， ， 又， 则， 故结合，得. 所以直线的方程为 又， 则， 所以直线的方程为， 设圆心, 因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等， 所以，因为，解得， 故圆的半径， 因此圆的方程为. 19. 已知，等差数列的前项和为，记． （1）求证：函数的图像关于点中心对称； （2）若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围； （3）若，求证：．反之是否成立？并请说明理由． 【答案】（1） ， ， ， 故函数的图象关于点中心对称； （2）； （3） 反之不成立，理由如下： 若，根据等差数列性质可得， 由此可得，，， 即， ， 解得，证毕. 反之，若，即 因为为等差数列，所以， 即， 当且仅当时，， 若，则， 故反之不成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）函数中心对称性质：，则的图象关于点中心对称，根据此定义证明即可； （2）利用三角形内角和为和等差中项性质求解出和 ，再根据定义展开，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出的取值范围； （3）根据等差数列性质可得，将该关系式代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为等差数列，所以， 又因 、、是某三角形的三个内角，所以，得，， 化简得：， 因为、、是某三角形的三个内角，且，所以， 即，，可得； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 常见函数的累加求值： ①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算； ②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届信阳市息县一高、二高二模联考 高三数学试题 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ） A. B. C. 2.4 D. 2.5 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　） A. 1 B. C. D. 6. 已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（ ） A. 30 B. 27 C. 54 D. 45 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面MBN C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为 11. 已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则k 的值可能为6 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 的展开式中常数项为_______． 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 14. 设向量，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点. （1）求； （2）求. 16. 在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：） （1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率； （2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关； 参考公式和数据如下：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 7.879 （3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望. 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 18. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接. （1）证明：为定值（为坐标原点）； （2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程. 19. 已知，等差数列的前项和为，记． （1）求证：函数的图像关于点中心对称； （2）若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围； （3）若，求证：．反之是否成立？并请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $