重难专攻（一） 指对幂比较大小的常用方法（八类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

重难专攻（一） 指对幂比较大小 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 利用估计值/中间值比较大小 重难点题型2 作差法/作商法比较大小 重难点题型3 利用函数的单调性比较大小 重难点题型4 利用函数构造法比较大小 重难点题型5 利用含变量的式子比较大小 重难点题型6 数形结合比较大小 重难点题型7 利用放缩法比较大小 重难点题型8 利用泰勒展开式比较大小 重难点题型1 利用估计值 /中间值比较大小 1、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 2、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 1．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·三模）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西安康·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 作差法/作商法比较大小 1、作差法与作商法适用情况 （1）作差法适用于两个数的表达式可以直接相减，且差值容易判断正负的情况； （2）作商法适用于指数幂形式的数，尤其是底数不同时，可以通过指数运算的性质简化比较． 2、使用作差法与作商法注意事项 （1）作差或作商后，可能需要对结果进行变形处理，以便更容易判断其与0或1的关系． （2）在复杂情况下，可能需要结合其他方法（如中间值法、构造函数法等）来辅助判断． 1．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 3．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 重难点题型3 利用函数的单调性比较大小 当两个数都是指数式或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·一模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 利用函数构造法比较大小 构造函数，运用函数的单调性比较 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小． （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·一模）已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁沈阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽滁州·二模）设，，，则（    ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 8．（2023·全国·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 利用含变量的式子比较大小 当作比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小．也可通过函数的单调性，结合图象进行比较． 1．（2025·江西赣州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·模拟预测）若正实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 9．（2023·吉林长春·一模）（多选题）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型6 数形结合比较大小 当作比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过观察函数图象的走势、交点、最高点、最低点等特征，直观地判断数的大小关系．对于图像难以精确判断的情况，结合数值计算或代数分析，进一步确定大小关系． 1．（23-24高三上·北京·月考）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c,则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型7 利用放缩法比较大小 1、放缩法的解题思路 （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩． （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 2、常见放缩不等式 （1）； （2）；； （3）． 1．（24-25高三上·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 重难点题型8 利用泰勒展开式比较大小 常见的泰勒展开式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西运城·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻（一） 指对幂比较大小 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 利用估计值/中间值比较大小 重难点题型2 作差法/作商法比较大小 重难点题型3 利用函数的单调性比较大小 重难点题型4 利用函数构造法比较大小 重难点题型5 利用含变量的式子比较大小 重难点题型6 数形结合比较大小 重难点题型7 利用放缩法比较大小 重难点题型8 利用泰勒展开式比较大小 重难点题型1 利用估计值 /中间值比较大小 1、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 2、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 1．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 2．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较对数式的大小 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 3．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 4．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 5．（2025·广西·三模）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】运用对数的运算性质和对数函数的单调性化简比较即可 【详解】； 所以 故选：B. 6．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得、，即可求解. 【详解】， 由，得，则，即； ， 所以. 故选：D 7．（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案. 【详解】因为， ，，且， 故. 故选：A. 8．（2025·陕西安康·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性计算范围比较即可. 【详解】已知， 则. 故选：A. 重难点题型2 作差法/作商法比较大小 1、作差法与作商法适用情况 （1）作差法适用于两个数的表达式可以直接相减，且差值容易判断正负的情况； （2）作商法适用于指数幂形式的数，尤其是底数不同时，可以通过指数运算的性质简化比较． 2、使用作差法与作商法注意事项 （1）作差或作商后，可能需要对结果进行变形处理，以便更容易判断其与0或1的关系． （2）在复杂情况下，可能需要结合其他方法（如中间值法、构造函数法等）来辅助判断． 1．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合基本不等式判断大小，再构造函数判断与的大小关系即可. 【详解】对， 因为，即， 所以，即； 对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号， 所以，令，则， 所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即. 故选：C 2．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【解析】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故，综上有. 故选：D 3．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 综上所述：. 故选：C. 4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上为减函数， 所以，，即，则， ， 因此，. 故选：D. 5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别对，，两边取对数，得，，． ． 由基本不等式，得: ， 所以， 即，所以． 又，所以. 故选：D． 6．（2023·全国·模拟预测）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作商结合基本不等式可判断，由条件，可得，取对数可判断，得解. 【详解】因为， 又因为，所． 因为，即，所以． 综上，． 故选：A. 7．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 重难点题型3 利用函数的单调性比较大小 当两个数都是指数式或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减， 所以， ，所以. 故选：D. 2．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 3．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 4．（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】先根据指数运算的性质比较的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出这三个数的大小. 【详解】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 5．（2025·河北·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由指数函数、对数函数的单调性分别得到的范围，进而得到的大小关系. 【详解】因为在定义域内单调递减，所以，即； 因为在定义域内单调递增，所以，即； 因为在定义域内单调递增，所以，即.综上所述：. 故选：D. 6．（2025·山西·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断. 【详解】因为函数在上是减函数，，所以， 又，所以. 故选：. 7．（2025·天津·一模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，且，即， 又，， 所以. 故选：B 8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 重难点题型4 利用函数构造法比较大小 构造函数，运用函数的单调性比较 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律 （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小． （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据不等式，以及函数，的单调性比较大小. 【详解】如图，在单位圆O中，，不妨设， 作于C点，则弧的长度， 由图易得，，即， 所以， 设，， 所以， 再令，， ， 当时，，，， 所以， 则，在单调递减， ，所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 所以当，，即， 因为， 所以即， 所以， 故选：D. 2．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、简单复合函数的导数、比较指数幂的大小 【分析】对分别取对数并作商，再构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此； 令，求导得，当时，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键. 3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解. 【详解】令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 而， 令， 则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即，所以， , 令， 则， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以， 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键. 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较对数式的大小、由导数求函数的最值（不含参）、比较指数幂的大小 【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，故. 令，则. 当时，，单调递减， 则，即. 故. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案. 5．（2024·湖南长沙·一模）已知实数分别满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出. 【详解】由，则，令，， 则， 则当时，，故在上单调递增， 故， 即，即， 由，则， 令，，则， 令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，又，故恒成立， 故在上单调递增，故， 即，即，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小. 6．（2024·辽宁沈阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】观察选项，构造函数，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以且， 所以且，即且， 所以， 又，所以， 综上所述，， 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 7．（2023·安徽滁州·二模）设，，，则（    ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小. 【详解】由，，， 得，，， 构造函数，则， 当时，x＝1， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 在x＝1处取最小值， 时，，即， 取，得， ，，即； 设， 则， 令，， 因为当时，令， ，单调递减， 又时，，则，即， 所以， 因为当时，， 所以当时，，函数单调递增， 又，所以，即， 所以当时，函数单调递增， 所以，即， ，即， . 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题. 8．（2023·全国·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到. 【详解】因为，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 即，，即 所以，所以； 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，即，所以， 综上所述. 故选：A 重难点题型5 利用含变量的式子比较大小 当作比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小．也可通过函数的单调性，结合图象进行比较． 1．（2025·江西赣州·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较对数式的大小 【分析】利用相关指数函数、幂函数的单调性判断的大小关系判断A；再对A的结果取对数判断B；由正弦函数单调性有，构造并利用导数研究其区间函数值符号判断C；应用特例即可判断D. 【详解】由题设，在R上单调递减，则，在定义域上单调递增，则， 所以，则，即，A，B错； 由在上单调递增，则，故， 对于且，则， 所以在上单调递减，则， 所以，C对； 当，此时，D错. 故选：C 2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】化为，作差法并构造函数，求导利用导数求出函数最值，比较大小，再利用作差法比较大小，即可比较的大小. 【详解】由得，即，所以， 令，， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则有，所以； 由得，即， 所以， 因为，所以，即，故． 故选：A. 【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小. 3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较对数式的大小、比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数、幂函数和对数函数的性质即可判断. 【详解】，∴幂函数在上为增函数. 又，，故A错误； ，∴指数函数在上为减函数. 又，，故B错误； ，指数函数在上为减函数，，. ，∴对数函数在上为增函数， 又，，，故C错误； ，∴对数函数在上单调递减，∴， ∴，即，故D正确. 故选：D. 5．（2024·浙江·模拟预测）若正实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可. 【详解】，，则，则，则. 则，则，则 先比较a，b：作差，设， 求导，则在单调递减. ，，故有正负还有零. 即值有正负还有零，故不能比较大小.故A错误. 再比较a，c：作差，设，求导，则 由于，则在单调递减. ，则在单调递增. 且，则，即，即.故B正确． 最后比较b，c，由于，假设满足题意， 假设，即，即，即也满足题意， 假设，即，即，即也满足题意． 则无法比较大小，故CD错误. 故选：B. 6．（2024·重庆·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算 【分析】先依据题目所给条件得，所以对于A，依据函数的增减性即可判断；对于B、D，对取特殊值为即可判断；对于C，由可直接判断. 【详解】因为， 所以，又为增函数，故， 对于A，因为 为减函数，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，且与均为增函数， 所以，此时，故D错误. 故选：C. 7．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得，再逐项分析判断即可. 【详解】不等式， 令函数，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，因此函数在R上递增， 原不等式等价于，于是， 对于AB，取，有，AB错误； 对于CD，，即，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 9．（2023·吉林长春·一模）（多选题）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】将看作的图象与直线交点的横坐标，数形结合可判断A，B；结合题意可推出，利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造函数，利用其单调性可判断D. 【详解】由可知，若，则，则不成立， 又时，，故， 又，则可看作的图象与直线交点的横坐标， 作出与的图象如图，    结合图象可知，故A错误，B正确； 由，，得， 故，C正确； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 由于，故，即， 故，D正确， 故选：BCD 重难点题型6 数形结合比较大小 当作比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过观察函数图象的走势、交点、最高点、最低点等特征，直观地判断数的大小关系．对于图像难以精确判断的情况，结合数值计算或代数分析，进一步确定大小关系． 1．（23-24高三上·北京·月考）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以.故选：. 2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·二模）设函数 的零点分别为a,b,c,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有，所以.故选：A. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、由基本不等式证明不等关系 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 重难点题型7 利用放缩法比较大小 1、放缩法的解题思路 （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩． （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 2、常见放缩不等式 （1）； （2）；； （3）． 1．（24-25高三上·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，所以， 当且仅当时取等号，则当时，，即，所以； 因为，故，当且仅当时等号成立，故，故． 综上可知．故选：B． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令，求导可得， 所以在上单调递减，所以，所以， 所以，所以，即，令，求导得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，所以， 所以，即，所以．故选：A. 3．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较余弦值的大小、比较对数式的大小 【分析】根据题意，可判断，，得解. 【详解】， ， ，则， 又，， . 故选：C. 4．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、函数单调性、极值与最值的综合应用、比较对数式的大小 【分析】由，构造函数，利用导数分析其单调性，可得函数在上单调递增，结合可得，进而得到，再通过比较和的大小得到，进而得出选项. 【详解】， 设， 则， 设，则， 令，得， 所以函数在上单调递减，又， 所以当时，，则， 此时函数在上单调递增，又， 所以，则，即； 又，，则， 所以. 故选：D. 重难点题型8 利用泰勒展开式比较大小 常见的泰勒展开式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 1．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于a，由，则，故； 对于b，，故； 对于c，由于，则，从而可得 同理，，则，从而可得所以有 （或利用，） 综上，故选：A 2．（23-24高三上·山西运城·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 设，可得恒成立，函数在上单调递增， 所以，所以在在上恒成立， 所以，所以， 设，可得， 所以，所以 设， 可得， 所以在上单调递增，所以，可得，即， （或设，可得，即） 所以.故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$