重难专攻（二） 抽象函数的综合性质应用（九类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

重难专攻（二） 抽象函数的综合性质的应用 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 求抽象函数的定义域 重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域 重难点题型3 求抽象函数的解析式 重难点题型4 抽象函数的单调性问题 重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题 重难点题型6 抽象函数的周期性问题 重难点题型7 抽象函数的对称性问题 重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题 重难点题型9 利用抽象函数比较大小 重难点题型1 求抽象函数的定义域 1．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域. 【详解】由题意得，，解得函数满足，解得， 即函数的定义域为. 故选:A 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 4．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】求出复合函数的定义域即可得． 【详解】解：由题意可得，解得． 因为有定义，所以当时，由，得； 当时，由，得； 当时，，恒成立． 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 6．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决． 常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 1．（24-25高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为，可知， 又因为为奇函数，且连续不断，则，则，且，可知， 由奇函数对称性可知：时，，且，， 所以在定义域的值域为.故选：B. 2．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令，则，令有， 又，所以，令，所以，所以， 设，则，所以，所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为.故选：D. 3．（2023·山西·模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、抽象函数的值域 【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得. 【详解】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数. 由是奇函数可知，，所以，则，则， 所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期. 由得，，则，所以， 由得，，即，所以, 由，得，又1，所以； 在中，令，得，所以. . 故选：A. 4．（20-21高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、抽象函数的值域 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 重难点题型3 求抽象函数的解析式 1．（2024·广西·二模）（多选题）已知函数的定义域与值域均为，且，则（    ） A． B．函数的周期为4 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决. 【详解】令得，即①， 令，得②， 联立①②，故A正确； 令，得③， 由①，，， 将它们代入③整理可得，所以由，故D对； 当为正整数时，由可得， 累加可得，也符合该式， 故，其中为正整数; 对任意正有理数， 若，取，则， 故， 若，则总存在正整数，使得, 此时 , , , 综上，C成立，B错误， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法. 2．（22-23高三下·湖南·阶段练习）存在函数，对任意都有，则函数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】AC选项利用特殊值的思路判断，BD选项根据题目的要求判断即可. 【详解】对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件； 对于B选项，，所以，故满足条件； 对于C选项，取和，可得，，矛盾，C不满足条件； 对于D选项，，则，单调递增， 且，即为奇函数，图象如下所示， 所以值域为，D满足条件. 故选：AC. 3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 . 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】由为奇函数可得的图象关于点中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意. 【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称； 由为奇函数，知的图象关于点中心对称， 据此构造函数，则是偶函数； 为奇函数，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【详解】若设，则由， 得，解得：， 所以， 故答案为：（答案不唯一）. 重难点题型4 抽象函数的单调性问题 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 1．（23-24高三下·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】C 【解析】因为是奇函数，且在区间上单调递增， 所以在上也为单调递增函数， 对于A：不妨令，， 所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令，， 所以在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：，其定义域为， 又，所以是奇函数， 取，则，，故 所以，则函数在为递增函数； 所以函数在也为递增函数，且当时，， 所以在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令，， 由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；故选：C. 2．（2023·江西九江·三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案. 【详解】是奇函数， ，即的图象关于点对称， 又在上单调递增， 在上单调递增，即在上单调递增. 由，可得， 由图像关于直线对称可知为偶函数， ∴在上单调递减， ， ， 是周期函数，最小正周期为4， ∵，， ∴在上的单调性和在上的单调性相同， 在上单调递减. 故选：C. 3．（2022·辽宁·模拟预测）（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、求函数零点或方程根的个数 【分析】由条件结合周期函数的定义证明函数为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D. 【详解】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以， 故，即的一个周期为12，故A项错误； 又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确； 因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确； 因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误． 故选：BC项． 4．（24-25高三上·全国·专题练习）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【解析】任取，令， 则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增.故选：B. 重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 1．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得. 【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①． 由为奇函数，得． 又，则②． 则由①，（*）， 由②，， 故得． 把取成，得③， 于是，，即函数的周期为2，故B错误； 又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误； 由③得，，即， 故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确； 由（*），，得，即为偶函数， 又，所以为偶函数，故D错误. 方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数， 由为奇函数，且函数的定义域均为， 对于A，，排除A； 对于B，显然的最小正周期是2，排除B； 对于C，是奇函数，故C正确； 对于D，，显然是偶函数，排除D. 故选：C. 4．（2025·湖南湘潭·三模）（多选题）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性 【分析】令，，即可判断A；令，结合A即可判断B；令，即可判断C；由上述结论得出即可判断D． 【详解】由①，， 对于A，令，，则， 由②可知，所以，解得，故A正确； 对于B，令，则，即， 故为奇函数，故B错误； 对于C，令，则， 即的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，由于且， 则有，即， 所以，，…，，故D错误， 故选：AC． 5．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】对于选项A和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有即可判断； 对于C：举反例即可判断；对于D：分别令和即可判断. 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 6．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 重难点题型6 抽象函数的周期性问题 函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 1．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】推导出，进而可推导出是周期为的周期函数，进而求出的值，以及的值，再结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为定义域为的奇函数满足，则， 即，所以，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则，，，则， 当时，， 因为，故. 故选：D. 2．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，且为奇函数，再结合已知的偶函数求得8为的一个周期，借助性质求出目标值. 【详解】函数的定义域为，且有， 令，得，解得； 令，得，则， 而，即不恒为0，因此，函数为奇函数， 由为偶函数，得，则， 于是，，8为的一个周期， 由，得，即 ，因此，所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 3．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性 【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解. 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性 【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和. 【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则． 故选：C 5．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】根据函数奇偶性推出的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以有， 又因为为偶函数，所以， 于是有， 所以函数的周期为4，因为， 所以， 所以， 于是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据奇偶性推导出周期性，再通过合理赋值求出周期内各整数值的和即可. 6．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．是奇函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性 【分析】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件和，以及x的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的判定知识去进行转化推理即可. 【详解】由，所以 又，所以，且， 所以，故A正确 由A可得，，所以的图象关于直线对称，故B正确 由A可得，是周期为8的函数，， 又由，得，所以，故C错误 对于D，由的图象关于点对称， 所以的图象关于原点对称，故D正确， 故选：C. 7．（2025·江西宜春·二模）（多选题）已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、导数的运算法则、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】由题意，合理赋值判断函数和的奇偶性和周期性，结合选项计算即可求解. 【详解】， 令，得，解得； 令，则，又， 所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得， 所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得， 同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 8．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】对于A，由是偶函数可得，由此可判断A；对于B，由题干可知是最小正周期为1的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由是偶函数可得，由此可判断C；对于D，由是奇函数可得，因此的图象关于点对称，由此可判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以， 所以，即的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数， 设的最小正周期为，由，得，故B正确； 对于C，由，得， 又是偶函数，所以， 所以，则的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由C项可知，， 因为是奇函数，所以，即， 则，所以， 因此的图象关于点对称，且， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 重难点题型7 抽象函数的对称性问题 1．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，对于，都有，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、指数函数图像应用 【分析】令求出可判断A；利用，可判断B；利用， 可判断C；设，又， 得，可判断D． 【详解】对于A，令，则，可得， 解得，故A正确； 对于B，由，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，由可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，设①， 又②，由①②可得， 所以，即， 所以，所以， ，所以，故D正确． 故选：ACD． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．当时， B．函数与的图象关于对称 C．函数与的图象关于点对称 D．在有2个零点 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数求导，令，可解得单调递增区间； 令，可解得单调递减区间，即可判断选项A；根据图象的对称性判断与是否相等即可判断选项B；根据图象的对称性判断是否成立即可判断选项C；令，可整理变形为，令，求导研究在上的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点；当时，，此时函数无零点，综上即可判断选项D. 【详解】由题意得，，令，解得， 令，解得； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为.故选项A正确； 因为，. 又，所以， 故函数与的图象不关于对称.故选项B错误； 由B可知，所以函数与的图象关于点对称.故选项C正确； 令，则，整理得， 令，则， 当时，，，所以在上单调递减. 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，此时函数无零点， 所以在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1.故选项D正确. 故选：AC. 重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题 1．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解. 【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故 当和时，，当和时，， 故等价于和，解得， 故选：B 3．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、判断或证明函数的对称性、由对称性研究单调性、由函数对称性求函数值或参数 【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解. 【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为：或， 故选：C 4．（2022·陕西安康·二模）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据函数的奇偶性调自变量的符号，根据函数的单调性脱掉函数记号“” 【详解】是奇函数，故.又是增函数，，所以，则，解得. 故选：B 5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．在上单调递减 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取可得；B，取，再由条件当时，推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除. 【详解】对于A项，由，取，得，，故A项正确； 对于B项，由，取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故B项正确； 对于C项，由，取，可得，，整理得，， 因，，当且仅当时取等号，但因的符号不能确定，故不一定有， 即不一定成立，故C项错误； 对于D项，任取，则，依题意，，而， 则，即，即在上是增函数.于是，对于， 任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故D项错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题. 解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论. 重难点题型9 利用抽象函数比较大小 1．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 故选：A 【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解. 3．（2023·四川成都·模拟预测）已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、辅助角公式、比较对数式的大小 【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数、的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，并比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为、分别为上的奇函数和偶函数，且， 则， 所以，，所以，， 当时，，令，其中， 则，函数在上单调递增， 则，因此函数在上为增函数， 因为， 所以，，， ， 因为， 所以，，所以，， 因为函数为上的偶函数，故. 故选：C. 4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，， ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、比较指数幂的大小、基本初等函数的导数公式、比较对数式的大小 【分析】由题，写出原函数，讨论其奇偶性、单调性，再结合、、的范围即可比较大小 【详解】，则，为偶函数，且在单调递增， ，，即，， 所以，∴， 故选：A 5．（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系. 【详解】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故 因此即是以4为周期的周期函数. ， 当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻（二） 抽象函数的综合性质的应用 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 求抽象函数的定义域 重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域 重难点题型3 求抽象函数的解析式 重难点题型4 抽象函数的单调性问题 重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题 重难点题型6 抽象函数的周期性问题 重难点题型7 抽象函数的对称性问题 重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题 重难点题型9 利用抽象函数比较大小 重难点题型1 求抽象函数的定义域 1．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 6．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决． 常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）． 1．（24-25高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·山西·模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010 4．（20-21高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是 . 重难点题型3 求抽象函数的解析式 1．（2024·广西·二模）（多选题）已知函数的定义域与值域均为，且，则（    ） A． B．函数的周期为4 C． D． 2．（22-23高三下·湖南·阶段练习）存在函数，对任意都有，则函数不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 . 4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 重难点题型4 抽象函数的单调性问题 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论． （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 1．（23-24高三下·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增D．函数在上单调递增 2．（2023·江西九江·三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．（2022·辽宁·模拟预测）（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点 4．（24-25高三上·全国·专题练习）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题 判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系． 【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律． （1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等； （2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等； （3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧． 1．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 4．（2025·湖南湘潭·三模）（多选题）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 5．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 6．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 重难点题型6 抽象函数的周期性问题 函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 1．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 5．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．是奇函数 7．（2025·江西宜春·二模）（多选题）已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 8．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则的图象关于直线对称 B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C．若是偶函数，则的图象关于直线对称 D．若是奇函数，则 重难点题型7 抽象函数的对称性问题 1．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，对于，都有，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．当时， B．函数与的图象关于对称 C．函数与的图象关于点对称 D．在有2个零点 重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题 1．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·陕西安康·二模）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．在上单调递减 重难点题型9 利用抽象函数比较大小 1．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·模拟预测）已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，， ， ，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$