2025年中考数学复习几何模型研究大讲堂 专题十四 “中线”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十四：中线模型 PART 1——模型认知. PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，题型多样，作为三角形中常考的“三线”之一，同学们必须要了解，难度不固定，掌握核心知识是解题的关键. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论（性质） “中线”模型 已知两中线，可连接交点与其中一顶点，交点为重心，根据实际情况选择是否延长. “风车”模型 连接小三角形顶点与未与之相连接的大三角形顶点，有时只连接1或2次，多连接能更方便解题. PART 5 ——模型解析. 题型01 中线平分三角形面积 已知 图示 结论（性质） 在△ABC中，AD为中线.（“中线”模型） 1） BD=CD； 2） . 在△ABC中，G为△ABC重心.（“重心”模型） 1） ； 2）. 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，可能结合反比例函数考查. 1．（2024·重庆南开练习）如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用得到，利用得到，，从而可判断图中与的面积相等的三角形个数． 【详解】解：∵D点是BC的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴图中与的面积相等的三角形有、和． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 2．（2024·重庆南开练习）如图，中线交于点．若阴影部分的面积是7，则的面积是____. 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，，，再根据阴影部分的面积是，即可得出空白部分三角形的面积之和，从而得出△ABC的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的中线交于点 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积是， 故填：14． 3.（2022·湖北荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6， ∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点， ∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9+9＝18， 故答案为：18． 【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 题型02 线段比例分三角形面积 结合中线解题，注意一般两个三角形是同高的. 4．（2023·重庆南开期中）如图，在中，D是上一点，，连接，是的中线，若的面积为90，则的面积为 ．    【答案】30 【分析】由三角形面积关系得，，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 是的中线， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握三角形面积公式求出是解答本题的关键． 5.（2024·重庆八中定时）如图，在中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．由，则，由此得到，再由是边上的中线，得到． 【详解】解：，，， ， ， 是边上的中线， ， 故答案为：． 题型03 添加辅助线解决三角形面积问题 已知 图示 结论（性质） 倍长△ABC得到△DEF.（“风车”模型） 1）（若延长长度不同则不成立，可根据前文辅助线作法证明了解思路，可根据实际情况少做辅助线）. 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，有时只考查“中线”模型，而非“风车”模型. 6.（2024·重庆一中定时）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（    ）. A．14 B．15 C．18 D．20 答案】C 【分析】连接CF，得到DF是△BCF的中线，设S△DCF=S△DBF=x，由求得△ABE面积为10，△BCE面积为30，进而得到△EFC面积为，△AEF面积为，△ABF的面积为，最后由△ABE面积20，列出等量关系解出x即可． 【详解】解：连接CF，如下图所示： 由，可知，△ABE面积为10，△BCE面积为30， 由D是BC的中点，∴△ABD面积=△ACD面积=20，且DF是△ABC的中线， 设，则，，， 由， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线平分三角形面积，熟练掌握三角形中线的性质及等积变形是解决本题的关键． 7. （2023·重庆育才定时）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ． 【答案】4 【分析】如图，连接，设的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为18m，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为m． ∵， ∴的面积为2m，的面积为3m， ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积，的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积，即． 则， ∴的面积为4， 故答案为：4．    【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 题型04 线段相等的计算 8.（2023·四川绵阳）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 9．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 为的中点， 中， ，， ， ， 四边形AECF的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 题型05 直角三角形斜边上的中线 运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解题，常考求线段长与线段比值. 10．（2022·湖南湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C 【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长． 【详解】∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长． 11．（2021·山东淄博）如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则有， ∵， ∴由勾股定理可得， ∵的面积为5， ∴， ∵， ∴，即，化简得：， 解得：或， 当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去； ∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 课后训练： 12.（2021·四川雅安）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ）. A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由DE是的中位线，可得AC=12，在中，点F为AC中点，可得BF=即可． 【详解】解：∵DE是的中位线， ∴AC=2DE=2×6=12， ∵在中，，点F为AC中点， ∴BF=， 故选择A． 【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键． 13.（2024·重庆一中消化）如图，在中，为上一点，为上一点，，连接交于点．若则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是三角形的面积，与三角形的高有关的计算，理解同高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键，由，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 14..（2023·四川内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 15.（2024·重庆巴蜀定时）如图，D，E分别是中，边的中点，F是上一点且，若阴影部分的面积为，则的面积是 ．    【答案】6 【分析】设，结合，则，，可得，结合D是边的中点，得到，从而得到，同理可得，从而得到；结合得到计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴； ∵， ∵E是边的中点， ∴， ∴； ∵， ∴ 解得． 故答案为：6 【点睛】本题考查了三角形中线与三角形面积的关系，熟练掌握等高两个三角形面积之比等于对应底之比是解题的关键． 16.（2021·江苏扬州期中）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且，点D是BC边上的点，且， AD与CE相交于点F，若四边形CDFE的面积是24，则△ABC的面积为 ． 【答案】90 【分析】连接FC，设S△CDF＝a，S△CEF＝b，推出S△AEF＝b，S△BDF＝a，S△ABD＝S△ACD＝（24+b），S△ABE＝（24+a），根据S△ABF＝S△ABD﹣S△BDF＝S△ABE﹣S△AEF得到4a﹣3b＝24，与a+b＝24构成方程组，解方程组求得a、b的值，进而即可求得△ABC的面积． 【详解】解：连接FC，设S△CDF＝a，S△CEF＝b， ∵AE＝EC， ∴S△AEF＝b， ∵BD＝CD， ∴S△BDF＝a， ∴S△ABD＝S△ACD＝（24+b），S△ABE＝ （24+a）， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△BDF＝S△ABE﹣S△AEF， ∴（24+a）﹣b＝（24+b）﹣a， ∴， ∵a+b＝24，解得， ∴S△ABC＝S△ABD+S△AEF+S四边形CDFE＝（24+b）+b+24＝90， 故答案为：90 【点睛】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 17.（2023·四川眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 18.（2022·四川眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论： ①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确． 【详解】解：∵旋转得到， ∴， ∵为正方形，，，在同一直线上， ∴， ∴，故①正确； ∵旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 设正方形边长为a， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴，故③正确； 过点E作交FD于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确 综上所述：正确结论有4个， 故选：D 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解． 19.（2024·重庆南开练习）如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为_____. 【答案】 【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE． 【详解】解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线， ∴S△ACD＝S△ABC＝1， ∵AF＝AD， ∴DF＝AD， ∴S△CDF＝S△ACD＝×1＝， ∵CE＝EF， ∴CE＝CF ∴S△CDE＝S△CDF＝×＝， 故填：． 【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键． 20.（2021·湖北十堰）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 【答案】≤m≤ 【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM． 在以为圆心，为半径的圆上运动， 在直角△ABC中，AB＝， ∵M是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CM＝AB＝5． ∵Q是BP的中点，M是AB的中点， ∴MQ＝AP＝． ∴在△CMQ中，5−≤CQ≤＋5，即≤m≤． 故答案是：≤m≤． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键． 注明：本套模型资料在本资料发布后根据实际情况更改排版，如本资料一样更改题目顺序. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十四：中线模型 PART 1——模型认知. PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，题型多样，作为三角形中常考的“三线”之一，同学们必须要了解，难度不固定，掌握核心知识是解题的关键. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论（性质） “中线”模型 已知两中线，可连接交点与其中一顶点，交点为重心，根据实际情况选择是否延长. “风车”模型 连接小三角形顶点与未与之相连接的大三角形顶点，有时只连接1或2次，多连接能更方便解题. PART 3——模型练习. 题型01 中线平分三角形面积 已知 图示 结论（性质） 在△ABC中，AD为中线.（“中线”模型） 1） BD=CD； 2） . 在△ABC中，G为△ABC重心.（“重心”模型） 1） ； 2）. 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，可能结合反比例函数考查. 1．（2024·重庆南开练习）如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024·重庆南开练习）如图，中线交于点．若阴影部分的面积是7，则的面积是____. 3.（2022·湖北荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 题型02 线段比例分三角形面积 结合中线解题，注意一般两个三角形是同高的. 4．（2023·重庆南开期中）如图，在中，D是上一点，，连接，是的中线，若的面积为90，则的面积为 ．    5.（2024·重庆八中定时）如图，在中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是 ． 题型03 添加辅助线解决三角形面积问题 已知 图示 结论（性质） 倍长△ABC得到△DEF.（“风车”模型） 1）（若延长长度不同则不成立，可根据前文辅助线作法证明了解思路，可根据实际情况少做辅助线）. 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，有时只考查“中线”模型，而非“风车”模型. 6.（2024·重庆一中定时）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（    ）. A．14 B．15 C．18 D．20 7. （2023·重庆育才定时）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ． 题型04 线段相等的计算 8.（2023·四川绵阳）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 9．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 题型05 直角三角形斜边上的中线 运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解题，常考求线段长与线段比值. 10．（2022·湖南湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 11．（2021·山东淄博）如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 课后训练： 12.（2021·四川雅安）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ）. A．6 B．4 C．3 D．5 13.（2024·重庆一中消化）如图，在中，为上一点，为上一点，，连接交于点．若则的面积为 ． 14..（2023·四川内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 15.（2024·重庆巴蜀定时）如图，D，E分别是中，边的中点，F是上一点且，若阴影部分的面积为，则的面积是 ．    16.（2021·江苏扬州期中）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且，点D是BC边上的点，且， AD与CE相交于点F，若四边形CDFE的面积是24，则△ABC的面积为 ． 17.（2023·四川眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 18.（2022·四川眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论： ①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 PART 4——模型变式. 19.（2024·重庆南开练习）如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为_____. 20.（2021·湖北十堰）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 注明：本套模型资料在本资料发布后根据实际情况更改排版，如本资料一样更改题目顺序. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$