精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十九次质量检测数学试题

福州三中2024-2025学年第二学期高三第十九次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定可以直接得出结果. 【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为. 故选：A 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 3. 设等差数列的前n项和为若则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解． 【详解】等差数列的公差为， 因为 所以 解得 故选：B. 4. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆台的体积即为该茶杯容量，求出圆台的高，进而利用圆台体积公式求出答案. 【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm， 过点分别作⊥，⊥于点， 则cm，cm， 其中圆台的高为cm， 故圆台体积为. 故选：D 5. 在锐角中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性，结合直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为c，由关于轴对称，且为等边三角形，得， 由，得，则， 所以双曲线的离心率. 故选：B 7. 在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 8. 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得，结合研究的区间单调性，进而确定极值点，再由区间存在最大值得，即可求范围. 【详解】由题设， 由，所以， 当或时，，即在、上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以极小值点为，极大值点为， 而， 且， 所以，只需，即， 所以. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据判断C；由相关系数的实际意义判断D. 【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错； B：对于等差数列， 若正整数，则， 若正整数，则， 又等差数列的平均数为， 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对； C：由于一组数据的方差，且，则，对； D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10. 如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若，则圆与轴有交点 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 故选：ABC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 11. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先展开得，再分别计算两部分含的系数，即可求解. 【详解】， 中含的系数为，中含的系数为，所以中的系数为， 所以，得 故答案为： 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 13. 已知函数（，）在区间上单调，且满足，，则所有满足题意的的取值之和为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意的图象关于点中心对称和关于直线对称，根据对称性列式得，再根据单调性得，然后按照，，分别求解对应的函数，根据正弦函数的性质验证单调性，即可求出所有满足题意的，即可得解. 【详解】因为，所以的图象关于点中心对称， 因为，所以的图象关于直线对称， 所以，则，即， 由函数在上单调，得，即， 所以，即，解得，而，故或1或2． 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上单调递增，故在上单调递增，满足题意． 综上，或，所以所有满足题意的的取值之和为4． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】（1） （2）1809 【解析】 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； （2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 【小问1详解】 由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. 【小问2详解】 由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . 15. 如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且 （1）若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离; （2）若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点O，可得，证明面，即点A到平面的距离，得解； （2）取的中点O，易得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式运算求解. 【小问1详解】 如图，取的中点O，连接 为等腰三角形，，， 又在底面内的射影为点B， 面，又面，， 又，且面， 面， 即为点A到平面的距离. 又为等腰直角三角形，且 点A到平面的距离为. 【小问2详解】 如图， 取的中点O，连接，， 在底面内的射影为的中点， 面 为等腰三角形，， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知， ，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 16. 已知函数． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 【答案】（1） （2） 当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 【解析】 【分析】（1）分类讨论和，根据的单调性分析出极小值点，由此可得关于的不等式，则的取值范围可求； （2）将问题转化为方程根的数目，构造，利用导数分析出的单调性和取值情况，然后对进行分类讨论，由此可分析出的零点个数. 【小问1详解】 的定义域为，，当时，，单调递减，无极值，不合题意； 当时，令，得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 令，得，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，， 当时，方程无解，所以在上无零点， 当时，方程有个根，所以在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程无解，在上无零点． 综上所述，当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 17. 已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为. （1）求抛物线方程； （2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点的上方. （i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （ii）求线段长度最小值. 【答案】（1） （2）（i）存在点；（ii）4 【解析】 【分析】（1）由直线方程为，设，，联立方程，求得，求得的值，即可求解； （2）由（1）可得，，设且，求得的方程，得到，（i）延长交准线于，由，得出方程，求得，得到存在点，使得；（ii）由，令，得到，求得函数的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，可得方程为，设，， 联立方程，整理得， 所以，所以， 抛物线方程为. 【小问2详解】 解：因为点在第一象限，所以由（1）可得，. 设，因为点在点的上方，所以， 直线,令，可得， 同理. （i）延长交准线于，可得，则，即， 因为，，可得， 即 解得，故存在点，使得. （ii）由， 令，则， 所以在上单减，在上单增，， 此时，故. 18. 有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算： 第Ⅰ台：输入，则输出； 第Ⅱ台：输入，则输出，仅当a，b同为偶数时； 第Ⅲ台：输入，，则输出． 若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到，，；通过第Ⅲ台自动打印机输入，可以得到；通过第Ⅱ台自动打印机输入可以得到． 运算过程简单表示为： 通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1． 根据上述运算回答下面问题： （1）若输入，输出，试列举一个完整运算过程； （2）若输入，能否得到，并说明理由； （3）若输入，其中，通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对的概率为，证明：． 【答案】（1）若输入，则， 再输入得； （2）不能得到，理由： 输入的两数之差是7的倍数． 第I台自动打印机运算，两个数都加1，运算后两数之差仍是7的倍数； 第II台自动打印机仅当两个数都是偶数时才能运算，所以运算后两数之差也是7的倍数， 第III台自动打印机输入的两组数对的差都是7的倍数，所以也是7的倍数， 综上，通过三台自动打印机运算得到的两数之差都是7的倍数，而不能被7整除，所以不能得到； （3）证明:设为的所有情况数，因为， 所以； 由（2）可知只有当是5的倍数时符合题意，下面证明： 假设 输入， 则， 再输入得， 因为的奇偶性相同， 所以一定可以得到或， 因为，所以或， 这样就将自然数对的第一个自然数变小了， 重复上面的运算就可以得到 设通过上面运算可以得到的所有情况数为， 由上述证明可知：若输入，其中， 可以得到，则是5的倍数， 所以当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， 当时，可以取，共有中取法， ．．．．．． 当时，可以取，共有1中取法， 所以； 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据输入法则写出运算过程即可； （2）每一台自动打印机运算后都得出两数之差都是7的倍数，而不能被7整除，即可得出结论； （3）计算得，假设，再对分类讨论，最后得到，从而得到其概率. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024-2025学年第二学期高三第十九次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为若则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 5. 在锐角中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若，则圆与轴有交点 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 11. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 13. 已知函数（，）在区间上单调，且满足，，则所有满足题意的的取值之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 15. 如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且 （1）若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离; （2）若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 17. 已知抛物线：，过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点（点在第一象限），已知线段中点纵坐标为. （1）求抛物线方程； （2）点在抛物线上移动，位于，两点之间且与，两点不重合.若直线交准线于点，直线交准线于点，其中点在点的上方. （i）是否存在点，使？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （ii）求线段长度最小值. 18. 有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算： 第Ⅰ台：输入，则输出； 第Ⅱ台：输入，则输出，仅当a，b同为偶数时； 第Ⅲ台：输入，，则输出． 若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输入，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到，，；通过第Ⅲ台自动打印机输入，可以得到；通过第Ⅱ台自动打印机输入可以得到． 运算过程简单表示为： 通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为1． 根据上述运算回答下面问题： （1）若输入，输出，试列举一个完整运算过程； （2）若输入，能否得到，并说明理由； （3）若输入，其中，通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $