第4讲 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第4讲函数的综合 课题1反比例函数、二次函数与一次函数的综合 安徽真题 命题点 反比例函数与一次函数的综合(10年6考) 1.(2024安徽)已知反比例函数y=(k≠0)与 D 一次函数y=2一x的图象的一个交点的横坐 标为3，则k的值为 第2题图 第3题困 A.-3B.-1 C.1 D.3 3.(2018安徽)如图，正比例函数y=kx的图象 2.(2020安徽)如图，一次函数y=x+k(k>0) 的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B, 与反比例函数y=6(x>0)的图象有一个交 与反比例函数y一兰的图象在第一象限交于 点A(2,m),AB⊥x轴于点B.平移直线y= kx使其经过点B,得到直线l,则直线l对应 点C.过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分 别为D,E.当矩形ODCE与三角形OAB的面 的函数表达式是 积相等时，k的值为 中考热身 基础练 pppp 的中点，则k的值为 1.(2024六安模拟)反比例函数y=(k≠0)与 +.在平面直角坐标系中，设反比例函数y= 一次函数y=2x十1的图象的一个交点是(1， (k1为常数，k1≠0)的图象与一次函数y m),则k的值为 k2x十b(k,b为常数，k≠0)的图象交于点 A.-2 B.2 C.-3 D.3 A(2,3),B(m,-2). 2.原刨题如图，一次函数y=x十2与二次函数 (1)求m的值和一次函数的表达式： y=ax的图象分别交于A(一1，b),B(x,y) 两点，则a的值为 r =+2 0 第2题图 第3题图 3.如图，直线y=x一4与y轴、x轴分别交于点 A,BC为双曲线y=整(k≠0)上一点，0C/ AB.连接BC,交双曲线于点D,D恰好是BC 30 A己口已5安微数学 (2)若点C在函数y2的图象上，点C先向左 (1)m的值为 平移1个单位长度，再向下平移3个单位长 (2)M是x轴上一动点，当AM-MC取得最 度，得到点D,点D恰好落在函数y1的图象 大值时，点M的坐标为 上，求点C的坐标. 8.如下图，已知抛物线y=一x2十mx十n经过点 A(-1,0.B1,0,直线y=一+6经过点 B,且与抛物线交于点D. (1)求抛物线的表达式： (2)N是抛物线上一点（点N在BD上方），过 点N作NP⊥x轴，垂足为P,交BD于点M, 设P点坐标为(a,0). ①求线段MN的长（用含a的代数式表示）： ②当△BDN的面积最大时，求a的值及面积 的最大值， 提升练 5.如图，直线y=-号十1与x轴交于点A,与 双曲线y=(<O)交于点P.过点P作PC ⊥x轴于点C,且PC=2,则k的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 第5题图 第7题图 6.函数y=-6(x<0)与y=-2z+3的图象交 于点Pa,6),则代数式+名的值为( A.-2 B C.-2 D.2 7.(2024芜湖三模)如图，反比例函数-(k ≠0，x<0)的图象与直线y2=kx十b(k2≠0) 交于A(一2,6)和B(一6，n)两点，该函数关于 x轴对称后的图象经过点C(一4，n). 考点过关训练◆ 31 课题2一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 安徽真题 命题点 反比例函数与几何图形的综合10年 (3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=a.x2 2考) 2.x十1交于A,B两点，与抛物线y=3(x一1) 1.(2023安徽)如图，O是坐标原点，Rt△OAB 交于C,D两点，求线段AB与线段CD的长 的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2, 度之比. ∠A0B=30,反比例函数y=(>0)的图 象经过斜边OB的中点C (1)k= (2)D是该反比例函数图象上的一点，若DB ∥AC,则OB-BD的值为 4.(2023安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标 原点，抛物线y=a.x2十bx(a≠0)经过点A(3, 3),对称轴为直线x=2. 第1题图 第2题图 (1)求a,b的值： 2.(2022安徽)如图，□OABC的顶点O是坐标 (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为 原点，点A在x轴的正半轴上，点B,C在第一 t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂 象限.反比例函数y=上(r>O)的图象经过点 线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交 直线OA于点E. C,反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象经过 ①当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积 点B.若OC=AC,则k= 之和： 命题点2二次函数与几何图形综合10年3考) 3.(2021安徽)已知抛物线y=a.x2-2.x+1(a≠ 0)的对称轴为直线x=1. (1)求a的值： (2)若点M(x1,y),N(x,y2)都在此抛物线 上，且一1<x1<0,1<x<2,比较与y的 大小，并说明理由： 32 A己口已5安微数学 ②在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得 以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为多？ 若存在，请求出点B的横坐标1的值：若不存 在，请说明理由 中考热身 ◆基础练 4.(2024雅安改编)在平面直角坐标系中，二次 函数y=a.x2十hr十3的图象与x轴交于A(1, 1.(2024阜阳二模)如图，点B在反比例函数y 0),B(3,0)两点，与y轴交于点C =8(z>0)的图象上，点C在反比例函数y= (x>O)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC, x 垂足为C,交y轴于点A.若△ABC的面积为 5,则k= 图① 图2 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)如图①，若P是线段BC上的一个动点（不 与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛 第1避图 第2题围 物线于点Q,当线段PQ的长度最大时，求点 2.如图，正方形ABCD的顶点A,B分别在y轴 Q的坐标： 正半轴和x轴正半轴上，过点C的反比例函 (3)如图②，在(2)的条件下，过点Q的直线与 数y=(k>0,x>0)的图象交正方形对角线 抛物线交于点D,且∠CQD=2∠OCQ.在y 轴上是否存在点E,使得△BDE为等腰直角 BD于点E.若正方形的面积为40，且E是 三角形？若存在，直接写出点E的坐标：若不 BD的中点，则k的值为 存在，请说明理由。 提升练 3.(2024芜湖二模)如图， 在△ABC中，∠ACB D 90°，CA⊥x轴于点A, 双曲线y=(x>0)经 第3题园 过点C,且与AB交于点D,△ABC的面积为 12,BD=3AD.请解决以下问题： (1)若点D的纵坐标为1，则点B的纵坐标为 (2)k= 考点过关训练◆ 33故①结论错误： (3) ②由图象，得关于工的方 y=kx+b y=3 程kx十b=mx一m的解 第4讲函数的综合 为x=3, 故②结论正确： 课题1反比例函数、二次函数与一次函数的综合 ③由图象，得不等式组kx 安徽真题 十b>mx一≥0的解集 1.A2.2 3.y=21-8 为1≤x<3, -2-10 故③结论正确： 中考热身 ④1y-为=b+1, 1.D2.1 .1(kx+b)-(x-1)|=b+1, 【解析】对于直线y=x一4， 解得1=0工= 令y=0,得到x=4,.B(4,0). 又b=2-3k, .(OC∥AB. x1=6. ∴直线OC表达式为y=x 故①结论正确 y=x, 联立 10.解：(1)N(4,2),N(0,-2 解得x=灰或x=一√灰（舍去）， y=x (2)由题意，得k>0,双曲线分布在第一，三象限 设直线与双曲线的交点分别为A,B, ∴y=F,∴CEF) 如图.由y<y的x取值范围是x :D为BC的中点， >4或一2<x<0,得点A的横坐 标为4，点B的横坐标为一2. ∴4) 把x=4代入y=x一2，得y=4一2 =2, 将(，号)代人y=中相.誓- .A(4,2) 解得人-5：=0（不合题意合去）。 把A4,2代人到=兰，得2=冬， 4.解：1)将A(2,3)代入=，得k,=2×3=6. 解得k■8， ∴反比例函数的解析式为y=8 “反比例函数的表达式为=兰 设P(m,是）点Q的横坐标为， 将B.一-2代人=9中，得m=-3 Q是点P的“等和点”， ∴点B的坐标为（一3，-2） “点Q的纵坐标为m十n一m 8 将A,B两点坐标代人一次函数表达式，得 12k:十b=3, 解得/6-1 .Qn.mtn-品） -3k+6=-2, b=1, .一次函数的表达式为y=x十1 :点Q在直线y:=x一2上， (2):点C在函数y的图象上， 5m十月-8=程-2， .设点C的坐标为(a,a+1), 则点C向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 m-8+2=0 后，所得点的坐标可表示为(a一1.a一2)， 解得m■一4，m:=2. 即点D的坐标为(a一1，d一2) 点D在函数y1的图象上， 经检验，m1=一4，m:=2是方程m一8十2=0的解， 户解得a1=一1,4=4. …a-2=6 点P的坐标为（一4，一2）或(2,4)， 创新考法 解：1)=2， 经检验a=一1，=4是方程a-2=。马的解，小点C的 y=3 坐标为（一1,0）或(4,5). (2)①-11 5.D【解析】：PC=2,·点P的纵坐标为2. ②描点，连线，画出函数图象如图。 把y=2代人y=-合+1，得=-2 P点坐标为(-2,2). 把P-2,2代人y=兰（红<0，得2=气 解得k=一4 6.A【解析】把点P(a,b)代人函数y=一5(x<0)与y -2x十3中，得-5=6，-2a+3=6, 整理，得ab=-6,2a+6=3日+号-品+器-20古 ab 参考答案 11 马= C是OB的中点，.OC=BC=2 如图，过点C作CP⊥OA于点P, 7.(1)-3(2)(-6,0)【解析】(1)图象过点A(-2,6), CP=sin30°·(OC=1,(0P=cos30° 六k=一12，为=-12 0C=5,∴C(3,1). :C(一4，m)关于工轴的对称点（一4，一m)在y=一1兰图象 ”反比例函数y=冬(k>0)的图象经 上，.m=一3. 过斜边OB的中点C, (2)如图，设点C关于x轴的对 1=冬，解得k= 称点为F(一4,3)， 射线AF交x轴于点M,连接 (2)设直线AC的表达式为y=ax十b(a≠0). MC,CF,..MF=MC. 将A(25.0).C5,1)代人，得23a+b=0, ,AM-MC=AF,此时AM 3a+b=1, MC有最大值， 设直线AF的表达式为y=kx十 解得一3 3 a. b=2, 把A(-2.6),F(一4,3)分别代 直线AC的表达式为y= +2 入y=kx十a中， ,AC∥BD. 直线BD的表达式为y=一号十4. a=9, :点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上， 直线AF的表达式为y-受十9 3 令y=0,则x=-6, 联立 解得3=25+3，=25-3. ∴.当AM一MC取得最大值时，点M的坐标为（一6,0）. y=- 3x+4 =2-3,=2+V5 8.解：(1)：抛物线y=一x2十mx十n经过点A(一1,4)，B(1, 0). 当点D的坐标为(23+3,2一3)时， 用 BD=(2B+3-25)2+(2-2+5)=9+3=12, n=3, .OB-BD=16-12=4: .抛物线的表达式为y=一x-2x十3. 当点D的坐标为(25一3,2十5)时， 20把B1.0)代入y=-立+6，得0=-专×1+6,6 BD=(23-23+3)+(2+5-2)=9+3=12, ,.0B-BD=16-12=4. 综上所述，OB一BD的值为4 2.3【解析】如图，连接OB,过点C作CD⊥OA于点D,过点 “直线BD的表达式为y=一号x+司 B作BE⊥x轴于点E, :pa0.∴Ma,-a+专）N(a,-a2-2a+3线 .CD∥BE. 四边形OABC为平行四边形 ,.OC=AB,CB∥(OA,即CB∥DE 段MN的长为-a2-2a+3-（-之a+）=-c-是a ,四边形CDEB为平行四边形. +县 CD⊥OA,.四边形CDEB为矩形，∴.CD=BE v=-x2-2x+3, 在R△C0D和R△BAE巾.CD- ∴Rt△COD2R1△BAE(HL),∴.SAm=S△E, OC=AC,CD⊥OA,.OD=AD,∴Sam=SACAD x=一 :反比例函数y=子：>0)的图象经过点℃ SoUCD =SACAD2 (号》 Scoic =4SAoCD =2. 5=e=1 saw=MN·(-o)=(-a-a+）×( SB=S0m1十SaA=1+ 2” +）=-子-+要=-(+）广+ k=2×号=3. ∴当。=一子时，面积最大，最大值为器 课题2一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 安徽真题 1.(1)(2)4【解析】(1)在R1△OAB中，AB=2,∠AOB =30°，.0B=4,0A=25,A(23,0).B(23,2). 12 己0已5安徽数学 3.解：1)由题意，得-名=1，解得a=1 则BD=t-(-2+4t)=-31, CE=-t-2, (2)>为.理由如下： 抛物线的对称轴为直线x=1,且a=1>0,.当x<1时，y 六Snae=壹(BD+CE)· 随x的增大而减小：当x>1时，y随x的增大而增大， ·当一1<x<0时，y随x1的增大而减小. DH,即2=名r-31+-1 当x=一1时，y=4:当x=0时，y=1, 2)×1. .1<y1<4, 解得= 同理，当1<x:<2时，y随2的增大而增大 +1(舍去)，4 2 当x=1时，y=0:当x=2时，y=1, .0姓<1，…y1>. +1（舍去） 2 (3)令x2-2x十1=m.∴(x-1)=m, 综上所述的值为 解得=m+1,n=-m十1， 中考热身 AB=lx-x:=2Vm. 1.-2 【解析】：点C在反比例函数y=车(>0)的图象上， 同理，令3x-1=m(红一1D=号 解得=m+1=-m+1, ÷设点C的坐标为(，兰) 3 3 ,BC∥y轴，AC⊥BC, p=2厘品温- 3 ∴A,）,B(,） 2/3m 3 故线段AB与线段CD的长度之比为3：1 C=是-兰AC=x 4.解：(1)抛物线y=azx十bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴 :△ABC的面积为5， 9a十3b=3, :(受）= 为直线x=2. b=2, 1-2 解得/a=一1 1b=4 解得k=一2. (2)①由(1)，得y=-x2+4x, 2.16【解析】如图，作CGLx轴于点G,设C(a,冬) .当x=1时，y=-十4：当x=十1时，y=一（十1）2+ 4(t+1)=-+24+3, :四边形ABCD为正 ∴.B(t,-t+4t),C(t+1,-f+2+3). 方形， 设OA的表达式为y=x,将A(3,3)代入，得3-3k,.k .AB=BC,∠ABC=90°， 1,∴OA的表达式为y=x,∴.D(t,),E(1+1,1十1). ∴.∠ABO+∠GBC=90. 设BD与x轴交于点M,过点A :∠AOB=90..∠0AB 作AN⊥CE于点N,连接AC,如 +∠ABO=90°， 图①，则Mt,0),V(t十1,3)， .∠OAB=∠GBC :∠AOB=∠BGC=90, Sm+Sae=之BD.OM+ .△AOB≌△BGC(AAS), 合AN.CE=(-r+-0. ..OB=CG.AO=BG. 32-1 +3--10(-+2+3 CG=合.0G=0B+BG=a -4-D-之(-r+30)+2t 图① A0=G=0G-0B=a-台 -3+40=-+受+- A(0a-）月 +2=2. ,四边形ABCD为正方形， ②存在 .对角线AC与BD互相平分. 由①，得B(一2+4)，C(t+1, :E为BD的中点，E为AC的中点， -t十2+3)，D(t,1),E(t+1,1 十1). (受，受) 2 当2<1<3时，过点D作DH⊥ 又：E在反比例函数y=冬的图象上， CE于点H,如图②， 32 3 则H(t+1,),BD=一+4t一t 云=心∴a=桃 =-t+31.CE=t+1-(-1+ 又：正方形的面积为40，AB=OA2十OB, 24十3)=1-1-2，DH=1十1-t 圈2 =1, (a-）)'+(告)=40 Saem=专(BD+CE),DH,即受-专（-+3+r id-2+8:号=40， -1一2)×1，解得1=号： 52k+k=40,k=16. 当>3时，如图③，过点D作DH⊥CE于点H, 3.(1)4(2)2【解析】(1)如图，过点D作EF∥y轴，分别交 参考答案13 BC和x轴于点E,F .0E=34-9=25, EF∥AC, .0E=5, ,△BEDn△BCA, .E(0.5) 梁黑 第5讲 函数的实际应用 安徽真题 AC 1.B 解得AC=4, 2.解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆， 点B的纵坐标为4， .第二期培植的盆绿有(50十x)盆，花卉有(50一x)盆 ..W,=(50+x)(160-2x)=-2r+60x+8000, 2设C(m片)Da,兰)则Am,0,AC= W:=19(50-x)=-19x十950. 曲)可知品-距-能-子 (2)根据题意，得W=W十W,=-2x2+60x+8000-19x :DF=冬，∴DE=AF=N-m, +950=-2r+41r+8950=-2(-4)'+782, 8 一2<0，且x是整数， ,.BE=3(n-m),BC=3n一3m十H一m=4n一4m .当x=10时，W取得最大值，最大值是9160 又：EF=DE+DF=3张+长=悲=点，m=4m, 故当x一10时，第二期培植的盆景与花弃售完后获得的总利 H鞋开m 润W最大，最大总利润是9160元 ,.BC=4n-4m=4×4m一4m=12m, 3.解：(1)三块矩形区域的面积相等， ∴5ar=专AC,Bc=7·斤12m=6k=12, .矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍， .AE=2BE. ∴.k=2. 设BE=FC=atm,则AE=HG=DF=2am, 4.解：(1)由题意，得y=a(x-1)(x-3)=a(x-4x十3)=ax ,.DF+FC+HG十AE+BE+EF+BC=8a十2x=80. -4a.x十3a=a.x2十bx十3， .3a=3,.a=1, a=- 7+103a=-是+30， ∴.二次函数的表达式为y=x-4x+3 (2)由抛物线的表达式可知，C(0,3), y-(-+30)=-是r+30 由点B,C的坐标，得直线CB的表达式为y=一x+3. a=- 设Q(x,x-4z+3),则P(x,-x+3),.PQ=-x+3-(x Tx+10>0,r<40, -4+8》=-+3x=-(-）广+ y与x之间的函数表达式为y=一子r+30r0<<40). 一1<0.PQ有最大值 2:y=-是+30r=-子(x-20)+30(0<r<40. 当x=时，PQ取最大值，此时y=-4十3= 且二次项系数为-子<0当=20时，y有最大值，最大 即点Q的坐标为（号，一子）】 值为300. 4.解：(1)由题意可得A(一6,2)，E(0,8)是抛物线的顶点， (3)存在.点E的坐标为(0,5). 【解析】(3)由点C,Q的坐 .可设抛物线对应的函数表达式为y=ax十8. 标，得直线CQ的表达式为y=一 +3 将A(-6,2)代人，得(-6y·a+8=2,解得a=一石 如图，连接BD,过点Q作TQ∥y轴交 1 轴于点T,则∠TQC=∠QCO. 六抛物线对应的函数表达式为y=一+8. :∠(QD=2∠OQ, (2)①：点P的横坐标为m(0<m≤6)，且四边形 ∴，∠CQT=∠DQT, PPPP为矩形，点P,P在抛物线AED上， 即直线CQ和DQ关于直线QT对称 易得直线CQ与x轴的交点坐标为（号， ∴点P的坐标为(m,-言m+8小 i.P.P.-P.P.-MN--+8.P,P.-2m, 0)一直线DQ与工轴的交点坐标为d 1=3(-名m+8）+2m=-m+2m+24=- (m-2)y (号0小∴直线DQ的表达式为y-号 +26. “-之<0当m=2时，1有最大值，最大值为26m, 联立上式和抛物线的表达式，得x2一4x十3= 9 2x2 即得栏总长1与m之间的函数表达式为1=一令m+2m十 解得=号=5，即D05,8, 24,l的最大值为26m ②方案一：设PP=nm,则PP=(18-3m)m .BD=68. ,.矩形P1PPP,的面积为(18一3m)程=一3n2十18n= 根据分析可知，只有∠DEB=90°，ED=EB时符合题总， -3(n-3)+27 如图. 一3<0，当n=3时，矩形PPPP的面积有最大值， 在等腰直角三角形BDE中，EB十ED=BD, 最大值为27m,此时PP:=3m,P,P=9m .EB=ED=34. 在R1△OBE中，OB十(OE=BE,(OB=3=9, 令一言2十8=3，解得r=士丽，心此时点卫的横坐标 14金己025安徽数学