第2讲 用数学思想方法解方程(组)-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第2讲用数学思想方法解方程（组） 课题1解二元一次方程组 中考热身 基础练 》提升练 1.下列方程中，是二元一次方程的是 7.(2024无为模拟)已知 x=-1, 是关于x,y的 A.5x-8=0 B.3.x+4y=7 v=2 C.1+4=0 方程3x一ky=2的一组解，那么k的值为 x D.x-2zy=6 2x+y=5, 2.(2024安庆期末)将方程组 中的x A号 B.- D.2 2.x-3y=1 c- 消去后，得到的方程是 5x-3y=28, 8.若二元一次方程组 的解为 Λ.4y=4 B.-2y=6 y=-3.x C.2y=4 D.4y=-4 x=a 则a+b的值为 y=6. 3.(2024合肥包河区模拟)下面四组数值中，只 A.-28 B.-14C.-4D.14 有一组值是二元一次方程3x一2y=6的解， 9.(2024滁州定远模拟)若关于x,y的方程组 它是 ) x+2y=3m-1, x=6, 4. x=2, 的解满足2x十3y=19,则m B. x+y=5 y=2 y=4 的值为 C/4. x=2, D. 10.注重学习过程阅读以下内容：已知x,y满 y=3 y=6 (3.x+7y=5m-3, 4.如果将方程2x一3y=6变形为用x的式子表 足x+2y=5,且满足 求m 2x+3y=8, 示y,那么y= 的值 两位同学分别提出了自己的解题思路： 5.写出二元一次方程x十y=5的一组整数解： 甲同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m 的值： x+2y=5, 6.运算能力解下列方程组： 乙同学：先解方程组 再求m的值 2.x十3y=8, x+2y=1, 2x-y=2, (1) (2) 你欣赏谁的思路？根据你所选的思路解答 3x-2y=11: 4y+x=-1. 此题 12 A己已5安徽 数学 课题2解分式方程 安徽真题 命题点 解分式方程(10年1考) C.x=-4 D.x=4 1.(2016安微)方程21=3的解是 ( 2.(2014安微)方程红二)=3的解是 x-1 x一2 A.x=一5 中考热身 基础练 （2)(2024福建)2十1= x-2 1.(2024湖南)分式方程2 =1的解为( A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=3 2.关于x的分式方程2十1有增根， 则a的值为 A.-1 B.5 C.1 D.3 8.注重学习过程小丁和小迪分别解方程兰2 3(2024遂宁)分式方程号=1-” 一的解为 x一3=1的过程如下： 2-x 正数，则m的取值范围为 ( A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 小丁： C.m<3 D.m<3且m≠-2 解：去分母，得x-(x一3)=x-2, 去括号，得x一x十3=x-2, 4(2024武汉)分式方程3=号的解是 合并同类项，得3=x一2， 解得x=5, 5.观察分析下列方程：①x+2=3:②x+6=5:③z ∴原方程的解是x=5. 小迪： +12=7,请利用它们所蕴含的规律，写出这一组 解：去分母，得x十(x一3)=1， 去括号，得x十x一3=1， 方程中的第n个方程： 合并同类项，得2x一3=1， 6.(2024达州)若关于x的方程3。-k红1 解得x=2. x-2x-2 经检验，x二2是方程的增根，原方程无解， 1无解，则k的值为 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正 7.解方程： 确，请在框内打“/”：若错误，请写出你的解 答过程. 考点过关训练 13 ◆提升练 (2)若分式方程无解，求m的值. 9.(2024泸州)分式方程2一3=2名的解是 Ax=-号Rx=-1Cx=号D.x=3 10.(2024六安霍邱月考)已知关于x的分式方 程，5十名-1的解是非负数，则。的取 值范围是 A.a≥-3 B.a≤-3 16.纠错题下面是小云同学解分式方程的部分 C.a>-3且a≠2 D.a≥-3且a≠2 过程，请认真阅读并回答以下各题： 1山.若关于x的分式方程工。 a=2a无 x-33-x 解分式方程司2 解，则a的值为 A.0 B.3 解2昂司2 第一步 c.2或1 D.0或2或1 2x-1=3(x-1)-6(x+2), 第二步 2x-1=3.x-3-6x+12, 第三步 2.(2024阜阳二模)分式方程马十是-生 的解为 (1)第二步的解题依据是 13.若关于r的分式方程”+4=3工2十2的解 A.分式的性质；B.等式的性质：C.单项式与 x-3x-3 多项式的乘法法则。 为x=4,则m的值为 (2)以上解方程步骤中，第 步开始 14.(2024安庆太湖月考)已知关于x的分式方 出现错误，错误原因是 程十0 (1)若方程的解为x=4,则m的值为 (3)请写出该分式方程的正确解答过程。 (2)若方程的解为负数，则m的取值范围为 15.已知关于x的分武方程马一” = 2(m+1) (x-1)(x-2)1 (1)若m=1,求分式方程的解； 14 己0已5安徽数学 课题3解一元二次方程 安徽真题 命题点1解一元二次方程(10年3考) 命题点2 一元二次方程的根的判别式(10年 1.（2019安徽)解方程：(x一1)2=4. 3考) 4.(2020安徽)下列方程中，有两个相等实数根 的是 A.x2+1=2x B.x2+1=0 2.(2016安徽)解方程：x2一2x=4. C.x2-2.x=3 D.x2-2x=0 5.(2018安徽)若关于x的一元二次方程x(x十 1)十ax=0有两个相等的实数根，则实数a的 值为 () 3.（2024安徽)解方程：x2一2x=3. A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 6.(2022安徽)若一元二次方程2.x2-4x十m=0 有两个相等的实数根，则m= 中考热身 基础练 5.(2024烟台)若一元二次方程2x2一4x-1=0 的两根为m,,则3m2一4m十2的值为 1.(2024贵州)一元二次方程x2一2x=0的解是 6.解下列方程： A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 (1)(2024毫州涡阳月考)x2一4x一3=0： C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x=-1 2.若关于x的一元二次方程(a+2)x2十x十a 一4=0的一个根是x=0,则a的值为() A.2 B.-2 C.2或-2 D.司 3.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次 方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因 (2)x2-5x十6=0. 而得到方程的两个根是6和1：小冬在化简过 程中写错了一次项的系数，因而得到方程的 两个根是一2和一5.原来的方程是( A.x2+6.x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5.x+2=0D.x2-6.x-10=0 4.(2024云南)若一元二次方程x2-2x十c=0无 实数根，则实数c的取值范围为 考点过关训练 15 ◆提升练 11.(2024合肥庐阳区期末)已知关于x的一元 二次方程x2十9x+20一2k=0. 7.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时，误 (1)求证：对于任意实数k,方程总有两个不 算成a与2的积，求得的答案比正确答案小 相等的实数根： 1,则a= (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的 A.1 B.2-1 另一个根. C.√2+1 D.1或√2+1 8.以下一元二次方程有两个相等实数根的是 A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6.x+6=0 D.x2-6.x十9=0 9.(2024深圳)一元二次方程x2一3.x十a=0的 一个解为x=1,则a= 10.已知y2-x=0,x2一3y2+x一3=0，则x的 值为 创新考法 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法， a十b=3,.S大正方形=9. 借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题 又，ab=1,∴.S2=S3=ab=1, .S1+S:=S大E方形一S2一S,即a2+b=9一1 -1=7. 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角 图2 度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化 可以解决很多数学问题. 【类比迁移】 (2)若(3-x)(x+1)=3,则(3-x)2+(x+ 1)2= 图3 图④ (3)如图④，C是线段AB上的一点，以AC, (1)请写出图①、图②中阴影部分的面积分别 BC为边向两边作正方形.设AB=7,两正方 能解释的数学公式。 形的面积和S,十S,=29,求图中阴影部分的 图①： 面积. 图②： 【例题解析】如图③，已知a+b=3,ab=1,求 a2+b的值 方法一：从“数”的角度解： .a+b=3,∴.(a+b)2=9,即a2+2ab+形=9. 又ab=1,.a2+b2=7. 方法二：从“形”的角度解： 16 A己D已5安徽 数学由-1<a<-名得-2<2a<-1,-4<4a<-2. 解得m= 2 由0<<号，得0<4h<2.0<26<1, 第2讲用数学思想方法解方程（组）】 .一2<2a十4b<1,故C选项正确.符合题意： 课题1解二元一次方程组 .一4<4a+2<一1，故D选项错误，不合题意. 中考热身 4.A5.x≥5 6.解：去分母，得(x一1)一3>0. 1B2A3C4学5（答案不唯- 去括号，得x-1-3>0. x+2y=1,① 移项，得>1十3. 6.解：1D3x-2y=1.9 合并同类项，得x>4. ①十②，得4r=12,解得x=3. 7.解：去分母.得2x一1>2. 把x=3代入①，得3+2y=1,解得y=一1， 移项、合并同类项，得2x>3. 六方程组的解为=3. ly=-1. 系数化为1，得>是 (2x-y=2,① 中考热身 2)4y+=-1.@ 1.C2.D3.B4.x<15.1 由①，得y=2x-2.圆 。-带案不唯-【标1 把③代人②，得4(2r-2)+x=-1,解得x=子 把x=号代人③，得y=一吾 4 由①，得x≥一1. 由②.得<3， 7 .不等式组的解集为一1≤x<3, x=g· .不等式组的整数解为一1,0,1,2（填一个即可） ·方程组的解为 7.解：2x-2-3=x. 2x-x=2+3, 7.B x=5, 8.解：号<x+1 c【得折1把代入信8. y=-3x, x-1<2(x+1) 相80 x-1<2x+2. 把②代人①，得5a-3×(-3a)=28, x-2r<2+1, 解得a=2. x3, 把a=2代入②，得6=-6， x>-3. .a十b=2+(-6)=-4. 这个不等式的解集在数轴上表示如图， 9.5【解析关于y的方程组，的解满足 3-2-10123 2x+3y=19, 9.c 度立 y=9, 10.C【解析】3%r=7, 3x3+=7, 、将=g代人+2y-3m-1,得-4+2X9-3my 解得x=5. 解得m=5. 10.解：示例：欣赏甲的思路.解答如下： 11.0(答案不唯一)【解析】整理原不等式，得2x<1一m 13.x+7y=5m-3,① 解得x≤2一2m. 2.x+3y=8.②@ ,原不等式有正数解， ①十②，得5.x十10y=5m十5. .2-2m>0, x+2y=m+1. 解得m<1, xy满足x十2y=5, 则m的值可以是0. m十1=5，.m=4. 12.解：(1)①乘法分配律 课题2解分式方程 ②五不等式的两边都除以一百，不等号的方向没有改变 安微真题 (2)x>2. 1.D2.r=6 13.解：(1)3r=4,5是“差解方程”. 中考热身 理由：3x=4.5,解得x=1.5. 1.A 1.5=4.5-3, 2.D【解析】去分母，得1一(a一2)=x一2. ∴.3x=4.5是"差解方程” 由分式方程有增根，得x一2=0，即x=2. (2)2x=4m十6，解得x=2m十3. 把x=2代人整式方程，可得a=3. :方程2x=4m十6是“差解方程”， 3.B【解析】去分母，得2=x一1一m, ∴.r=4m十6一2=4m十4， 解得x=m十3. .2m十3=4m十4， 由方程的解为正数，得m十3>0，且m十3≠1， 参考答案 3 则m的取值范围为>一3且m≠一2. 4.x=-3 （2)十”去分每，得5-1D+4+1)= 5.r+m+业-2十1【解析】？第1个方程为r+1X2=1 m,去括号，得5x一5十4x十4=m,移项、合并同类项，得9z +2, =m十1，系数化为1，得x=m十.：方程的解为负数， 9 第2个方程为r+2X3=2+3, ÷兮<0且时≠士1，解得m<一1且m≠-0， 第3个方程为r十3X4=3十4， 15.解：1)当m=1时，方程为一2-(-1)(x一2万1 去分母，得x一2十r一1=4， :第n个方程为x+中D=n十(m+1)=2m+1 解得1=子 6.2或-1【解析】方程去分母，得3-(x一1)=x一2， 6 脸验：当r-号时，(r-Dr一2)≠0 解得x=1干k 故原分式方程的解为工=之： 7 ①当x=2时，分母为0，方程无解， 即。-2，解得=2， (2)方程去分母，得(x一2)+m(x一1)=2(m+1), 整理，得(m十1)x=3m十4. .k=2时方程无解： 当m十1=0，即m=一1时， ②当k十1=0，即k=一1时，方程无解 方程无解： 综上所述，k的值为2或一1， 7.解：(1)方程两边都乘(x十1)(x一1).得2十x(x十1)=(x+ 当m≠一1时r=3m士4 m十1 1)(x-1), :原分式方程无解，∴(x一1)(x一2)=0， 解得x=一3. 六3m+4=1或3mt=2. 检脸：当x=一3时，(x十1)(x一1)≠0， m十1 m十1 .原分式方程的解是x=一3. 解得m= 号或m=-2 (2)方程两边都乘(x十2)(x一2)，得3(r一2)十(x十2)(x一 2)=x(x+2), 综上所述，m=-1或-号或-2 整理，得3.r-10=2.r 16.解：(1)B 解得x=10. (2)三括号前是“一”，去括号后，括号内第二项没有变号 检验：当x=10时，(r十2)(r一2)≠0， ∴.原分式方程的解是x=10. 3-号2 8.解：小丁和小迪的解法都错误.解答过程如下： 2x-1=3(x-1)-6(x+2), 去分母，得x+x一3=x一2， 2.x-1=3x-3-6.x-12. 移项，合并同类项，得x■1， 检验：当x=1时，x一2≠0. 舒得=一号 故原分式方程的解是x=L, 检骏：当x= 9.D 号时3+2≠0， 2=1 10.0【解析】品十产 六一一普是原分式方程的解 去分母.得a一2=x一5， 课题3解一元二次方程 解得x=a十3. 安徽真题 “关于r的分式方程兰5十与己1的解是非负数， 1.解：方程两边开方，得一1=士2， x1=-1,x1=3. ∴.d+3≥0且a+3≠5， 2.解：配方，得x2-2x+1=4+1, 解得a≥一3且a≠2. 整理，得(x一1)=5， 1.c【解折】号十3兴2u, .x-1=土5，即x=1十5，=1-5. 去分母，得x一-3u=2a(x-3),解得c2 3a 3.解：2-2x=3, 2-2.r-3=0, :关于的分式方，产3十兴2a无解， (x-3)(x十1)=0， .x1=3,x2=-1. 六当2a-1=0且3☑≠0时，方程无解，解得a=7 4.A5.A6.2 中考热身 34 当2a-1≠0,2a气-3时，方程无解，解得a=1. 1.B2.A 综上所述，当分式方程无解时a=2或1， 3.B【解析】设原来的方程为ax+br十e=0(a≠0). 12.x=213.10 由题意可知，一台=6+1=7，后=-2X(一5)=10， 14.(1)35(2)m<-1且m≠-10【解析】(1)把x=4代入 .b=-7a,c=10a, 马十马得好十吉码解得m=, 5 5 ∴.原来的方程为a.r一7a.r十10a=0. 当a=1时，x一7x十10=0，故只有B选项符合题意： A 己0已5安很数学 4.>1 .1.25x=1.25×320=400,1.3y=1.3×200=260 5.6【解析】，一元二次方程2x2一4x一1=0的两根为m,n, 故2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元. 2m2-4m=1,m+n=一2 =2mn=-，3m-4m 4.解：(1)1.04(a-x)(或1,1a-1,43x) (2)由题意，得1.1a-1,43x=1.04(a一x), +n2=2m2-4m+m2+n2=1十(m+n)2一2mn=1+22一2 ×(-)=6. 化商得-最e1.48-0,2--0.2 1.1a 故2020年4月份的线上销售额与当月销售总额的比值 6.解：(1)移项，得x2一4x=3, 为0.2. 配方，得x一4r+4=3+4 5.D6.C 即(x一2)3=7， 中考热身 开方，得x一2=士√7， 1.D .x1=2+7,4=2-√7. 2.A【解析】设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲 (2)(x-2)(x-3)=0, 工程队单独完成该工程的时间是2x天. .x-2=0或x-3=0, 解得=2，x=3. 假据题意，得士十六动 7.C8.D9.2 解得x=30. 10.3【解析】：y-x=0,y=x≥0. 经检验，x=30是原分式方程的根， ,x2-3y2十x-3=0,.x2-3x+x-3=0. 即乙工程队单独完成该工程的时间是30天. 即x2-2x-3=0, 解得x1=3,1=一1（舍去）， 3045 即x的值为3. 5.解：(1)设书架上数学书有x本，则语文书有(90一x)本 11,解：(1)证明：，△=9-4(20-2k)=8k2十1>0， 根据题意，得0.8x+1.2(90一x)=84, .对于任意实数k,方程总有两个不相等的实数根 解得x=60, (2)将x=1代入方程，得1十9十20-2k=0, .90-x=30. 解得k=士I5. 答：书架上有数学书60本，语文书30本 设方程的另一个根为， (2)设数学书还可以摆m本， 则m十1=一9， 由题意，得10×1.2+0.8m≤84， 解得m=一10. 解得m≤90. 综上所述，k的值为士√15，方程的另一个根为一10. 答：数学书最多还可以摆90本 创新考法 6.C【解析】设可以装x箱大箱，y箱小箱。 解：(1)(a十b)'=a2+2ab十6(a十b)(a-b)=a2- 根据题意，得4r+3y=32, (2)10 =8-是 (3)设AC=p,BC=g,则p十g=AC+BC=AB=7,p十 =S+S=29. 又x,y均为正整数， (p+g)2-2p9=p+g,即49-29=29， y=8, ∴2p9=49-29=20.29=5, x+y=9或10， 即阴影部分的面积为5. ,,所装的箱数最多为10. 【解析】(2)设3一x■m,r十1■n,则m十n=4,mn■(3 7.B【解析】设购买笔记本x本，碳素笔y支. x)(x+1)=3, 根据题意，得3r+2y=28, ,∴.(3一x)3十(x十1)F=m2十=(m十n)2-2mn=16-6 3 =10. “y=14-2 第3讲方程（组）及不等式的实际应用 又”xy均为正整数， 安徽真题 x=4或 -6·或=8. y=5 1y=2. 1.解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植 .购买方案共有4种 而积是y公顷. 根据题意，得3y24解得8， 8.1子(2)5【解折))根据题数可知，这个人步行的时 18.x+9y=60, 【=4. 答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面 间为子h 积是4公顷. (2)由题意，得这个人骑自行车的速度为xkm/h. 2.解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的 根据题意，得2+19,7-2，解得r=5. 销售单价为y元， 由题意得代5)一+0蒂府机 经检验，x=5是原分式方程的解，这个人步行的速度为 y=50. 5 km/h. 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该裔品的销 9.解：(1)设A种柑橘礼盆每件的售价为x元，则B种柑橘礼 售单价为50元. 盒每件的售价为(x+20)元 3.解：(1)1.25r+1.3y 由题意，得25x十15(x+20)=3500, (2)根据题意，得+y=520, 解得x=80,.x+20=100. 11.25x+1.3y=520+140, 解得/r=320, y=200, 答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的 参考答案 5