09：同角三角函数基本关系式和诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

2026数学高考一轮总复习09：同角三角函数基本关系式和诱导公式 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 2 【考纲要求】 2 【知识网络】 2 【考点梳理】 2 考点一、同角三角函数基本关系式 2 考点二、诱导公式 3 【考向分析】 4 考向一、同角三角函数基本关系式及诱导公式 4 考向二、三角函数式的求值、化简与证明 4 考向三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 4 考向四、涉及问题----平方关系的应用 4 【高考解题速通】 4 【链接高考】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 4．（2016·全国I卷·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 5．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个　 　　角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】 同角三角函数基本关系式 诱导公式 同角三角函数基本关系式和诱导公 式 【考点梳理】 考点一、同角三角函数基本关系式 1．平方关系：. 2．商数关系：. 3．倒数关系： 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如， ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式 要点诠释： （1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称. “偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题. （2）诱导公式的引申： 【考向分析】 考向一、同角三角函数基本关系式及诱导公式 1. 已知，，求、的值． 考向二、三角函数式的求值、化简与证明 1.已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________． 考向三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 1.已知 ，求下列各式的值： （1） （2） 考向四、涉及问题----平方关系的应用 1.已知，求的值. 【高考解题速通】 1．（2014·大纲版·高考真题）已知角的终边经过点，则= A． B． C． D． 2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 4．（2010·全国·高考真题）记，那么 A． B． C． D． 5．（2009·全国·高考真题）的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2013·广东·高考真题）已知，那么 A． B． C． D． 7．（2007·浙江·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·一模）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北沧州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·江西·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南邵阳·三模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 17．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则 . 18．（2016·四川·高考真题）= . 19．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， . 20．（2024·福建厦门·一模）若，则 ． 21．（2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习09：同角三角函数基本关系式和诱导公式 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 4 【考纲要求】 4 【知识网络】 4 【考点梳理】 5 考点一、同角三角函数基本关系式 5 考点二、诱导公式 5 【考向分析】 6 考向一、同角三角函数基本关系式及诱导公式 6 考向二、三角函数式的求值、化简与证明 6 考向三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 7 考向四、涉及问题----平方关系的应用 7 【高考解题速通】 8 【链接高考】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可） 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 4．（2016·全国I卷·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 【答案】 【分析】由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴，则， 又sin（θ）， ∴cos（θ）． ∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）． 则tan（θ）＝﹣tan（）． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 5．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 , 所以 原式 ， 故选C. 点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式. 6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解. 【详解】. 故选：D 【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个　 　　角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】 同角三角函数基本关系式 诱导公式 同角三角函数基本关系式和诱导公 式 【考点梳理】 考点一、同角三角函数基本关系式 1．平方关系：. 2．商数关系：. 3．倒数关系： 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如， ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式 要点诠释： （1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称. “偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题. （2）诱导公式的引申： 【考向分析】 考向一、同角三角函数基本关系式及诱导公式 1. 已知，，求、的值． 【答案】，. 【解析】方法一：∵，∴， ∵， ∴，. 方法二：∵，∴， 由图形可以知道：，. 【总结升华】①利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”. 考向二、三角函数式的求值、化简与证明 1.已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________． 【答案】－1 【解析】由已知可得tanα＝－2 故答案为：－1 考向三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 1.已知 ，求下列各式的值： （1） （2） 【解析】方法一：由可得，即， （1） 原式. （2） 原式. 方法二：由已知得， （1） 原式. （2） 原式. 【总结升华】 已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点： 1. 一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式. 2. 因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算. 3. 注意的应用. 考向四、涉及问题----平方关系的应用 1.已知，求的值. 【答案】 【解析】由可得：； 于是， ∴． 【高考解题速通】 1．（2014·大纲版·高考真题）已知角的终边经过点，则= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D. 考点：三角函数的概念. 2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标. 【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点， ， ，故选A. 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用以及三角函数的定义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 3．（2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式可得， 则, 函数的最大值为. 所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 4．（2010·全国·高考真题）记，那么 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, ,从而， ， 那么， 故选B． 5．（2009·全国·高考真题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】. 故选：B. 【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题. 6．（2013·广东·高考真题）已知，那么 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】试题分析：由，得 .故选C． 考点：诱导公式． 7．（2007·浙江·高考真题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可求得，根据同角三角函数的基本关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 因为，所以，. 所以，. 故选：C. 8．（2024·广东深圳·一模）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 9．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 10．（2024·河北沧州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 11．（2024·广东·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得， 由，得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确. 故选：A 12．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 13．（2023·山西·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切. 【详解】因为为锐角，所以且，所以得， 由诱导公式得，. 所以. 故选:D 14．（2023·江西·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公式求得的值. 【详解】解：①， 由于代入①，得：， 由于，所以，故， 所以. 故选：C. 15．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】接根据三角函数的定义可求出，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得出答案. 【详解】由三角函数的定义可得， 所以. 故选：B. 16．（2024·湖南邵阳·三模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 【答案】ABC 【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D. 【详解】因为角的终边过点，为第一象限角， 所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同， 所以角的集合是，故A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为， 所以扇形周长为，故，所以D选项不正确． 故选：ABC 17．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则 . 【答案】 【详解】试题分析：因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则. 18．（2016·四川·高考真题）= . 【答案】 【详解】试题分析：由三角函数的诱导公式得. 【考点】三角函数的诱导公式 【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解． 19．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， . 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可） 【分析】由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 则，，则， 因为，所以， 所有或，， 解得：或，， 取，的一个值可以为，的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）. 20．（2024·福建厦门·一模）若，则 ． 【答案】/ 【分析】应用诱导公式有，即可求值. 【详解】. 故答案为： 21．（2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 试题解析：（1），∴，∵， ∴，∴，∴； （2）由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$