08：三角函数的概念讲义-2026届高三数学一轮复习

2026数学高考一轮总复习08：三角函数的概念 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 3 【考纲要求】 3 【知识网络】 4 【考点梳理】 4 考点一、角的概念与推广 4 考点二、弧度制 5 考点三、任意角的三角函数 5 【考向分析】 6 考向一：终边相同的角的集合 6 考向二：角所在象限的研究 6 考向三：弧度制与角度制的互化 7 考向四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 7 考向五、任意角的三角函数 8 【高考解题速通】 8 【链接高考】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2015·福建·高考真题）若，且为第四象限角，则的值等于 A． B． C． D． 5．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 6．（2015·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. 2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法. 3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值. 4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与终边相同的角的集合： 第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 终边在轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长，扇形面积（其中是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角上的终边上任取一点，记 则, , ，，，. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段，，分别叫做的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：，的定义域是；，的定义域是；，的定义域是. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 要点诠释： ①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论. ②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【考向分析】 考向一：终边相同的角的集合 1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 考向二：角所在象限的研究 1．（1990·上海·高考真题）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．已知是第二象限的角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 考向三：弧度制与角度制的互化 1．设角，，，。 （1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。 考向四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 1．（2020·全国·二模）在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个座位的宽度()，每个座位宽度为 ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是 A． B． C． D． 2．（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 3．（2023·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（    ）    A． B． C． D． 考向五、任意角的三角函数 1. 若，则角在 象限. 【高考解题速通】 1．（2006·重庆·高考真题）如图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是 （ ） A． B． C． D． 2．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·福建·模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 6．集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 7．（2022·吉林长春·模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 8．（2016·上海杨浦·模拟预测）角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是_____. A． B． C． D． 9．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． 10．是第二象限角，则是第 象限角． 11．（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 12．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 13．（2017·江苏南京·一模）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 14．（2018·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习08：三角函数的概念 目录 【链接高考】 1 【知识梳理】 6 【考纲要求】 6 【知识网络】 7 【考点梳理】 7 考点一、角的概念与推广 7 考点二、弧度制 8 考点三、任意角的三角函数 8 【考向分析】 9 考向一：终边相同的角的集合 9 考向二：角所在象限的研究 10 考向三：弧度制与角度制的互化 11 考向四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 12 考向五、任意角的三角函数 14 【高考解题速通】 15 【链接高考】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 2．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2015·福建·高考真题）若，且为第四象限角，则的值等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵sina=,且a为第四象限角, ∴， 则， 故选D. 5．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线. A选项：当点在上时，， ，故A选项错误； B选项：当点在上时，，， ，故B选项错误； C选项：当点在上时，，， ，故C选项正确； D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误. 综上，故选C. 点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较. 6．（2015·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是 故选：A 7．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积. 【详解】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. 2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法. 3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值. 4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与终边相同的角的集合： 第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 终边在轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长，扇形面积（其中是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角上的终边上任取一点，记 则, , ，，，. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段，，分别叫做的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：，的定义域是；，的定义域是；，的定义域是. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 要点诠释： ①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论. ②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【考向分析】 考向一：终边相同的角的集合 1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案． 【答案】（1）―50°（2）670° 【解析】（1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。 （2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。 【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。 考向二：角所在象限的研究 1．（1990·上海·高考真题）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限． 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则， 此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则， 此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为，所以，所以为第三象限角． 故选：C． 2．已知是第二象限的角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【分析】写出第二象限角，再求出的范围，讨论的取值范围即可求解. 【详解】是第二象限的角， 则， 所以， 当时，，属于第一象限角， 当时，，属于第三象限角， 当时，，属于第一象限角， 所以是第一或第三象限角， 故选：D 【点睛】本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 考向三：弧度制与角度制的互化 1．设角，，，。 （1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。 【答案】（1） （2） ―612°和―252°； =―420°－60° 【解析】要确定角所在的象限，只要把表示为=2kπ+0（k∈Z，0≤＜2π）的形式，由0所在的象限即可判定出所在的象限。 （1）， 。 所以在第二象限，在第一象限。 （2）， 设=k·360°+（k∈Z）， 因为－720°≤＜0°， 所以－720°≤k·360°+108°＜0， 解得k=―2或k=―1， 所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。 同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。 【总结升华】①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系。②用弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数。③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法。 考向四：扇形的弧长、面积与圆心角问题 1．（2020·全国·二模）在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个座位的宽度()，每个座位宽度为 ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度， 则 设弧所在圆的半径为，则 解得 可以近似地认为，即 于是，长 所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能， 因此只能选B，260或者由， 所以弧长. 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 2．（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，所以， 则扇形的周长为， 当且仅当，即时，取等号，此时， 所以周长最小时半径的值为. 故选：C. 3．（2023·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据弧田面积可求得，利用勾股定理可构造方程求得半径，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果. 【详解】如图，    由题意得：， 弧田面积，解得：. 设圆半径为，则有，即，解得：， ，则在中，，， 所求弧长为. 故选：D. 考向五、任意角的三角函数 1. 若，则角在 象限. 【答案】第一或第三 【解析】 方法一：由知（1）或（2） 由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限， 所以在第一或第三象限. 方法二：由有， 所以, 即 当时，为第一象限，当时，为第三象限 故为第一或第三象限. 方法三：分别令，代入， 只有、满足条件， 所以为第一或第三象限. 【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题. 【高考解题速通】 1．（2006·重庆·高考真题）如图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，， 当时，， 观察其与直线的位置关系即可得结果． 【详解】由已知， 当时，， ，其图像在直线下方； 当时， ，其图像在直线上方， 结合选项知，D符合． 故选D． 【点睛】本题考查弓形面积的求解，观察选项中的虚线，知要将与直线的位置关系进行比较，是中档题． 2．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可. 【详解】解：， 故与终边相同的角可表示为：， 对A， ， 解得：，故A错； 对B，， 解得：，故B错； 对C，， 解得：，故C对； 对D，， 解得：，故D错. 故选：C. 3．（2023·福建·模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案. 【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形， 由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：， 解得：. 故选：A. 4．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得. 【详解】显然为等腰三角形，，则，， 即，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 5．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得. 【详解】显然为等腰三角形，， 则，，又， 所以，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 6．集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角的定义与集合所表示的角即可得解. 【详解】因为， 所以集合中的最大负角为. 故选：C. 7．（2022·吉林长春·模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【答案】B 【分析】根据“节气”的知识求得正确答案. 【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种， 所以芒种为黄经度. 故选：B 8．（2016·上海杨浦·模拟预测）角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是_____. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角终边与的终边的对称性可得正确选项. 【详解】角终边与的终边关于轴对称， 因为在角终边上，故在的终边上， 故选：C. 【点睛】本题考查终边相同的角，一般地，角的终边的几何关系往往蕴含着角的代数关系，比如 终边关于轴对称时，则有，本题属于基础题. 9．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． 【答案】 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 10．是第二象限角，则是第 象限角． 【答案】一或三 【详解】试题分析：是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角． 考点：象限角的概念． 11．（2024·吉林·模拟预测）已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 . 【答案】 【分析】利用弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形的半径为R， ∵扇形的圆心角为，弧长为， ∴，解得：R=， ∴扇形的面积=. 故答案为：. 12．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： 13．（2017·江苏南京·一模）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 【答案】（1）见解析（2）337.5平方米 【详解】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大 试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为， 由题意，即， 即， 所以，所以，，则， 所以当时，面积的最大值为400. （2）即，代入可得 或， 又， 当与不符， 在上单调，当时，最大平方米，此时. 14．（2018·上海黄浦·二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于、的等式，即可得出关于的函数解析式； （2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意，可算得，． 因为，所以， 所以，. （2）解：根据题意，可知 ， 当时，. 综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$