精品解析：2025届河南省开封市等2地高三模拟预测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述法化简集合，再结合集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 3. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）．当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（ ） A. 52% B. 42% C. 32% D. 22% 【答案】B 【解析】 【分析】质量比提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比. 【详解】当质量比为2000时，最大速度， 当质量比为50000时，最大速度， ，， 所以将质量比从2000提升至50000，则大约增加了. 故选：B 4. 在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可. 详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况： ①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况； ②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种， 故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种. 故选：D. 点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题. 5. 数列满足，前12项和为164，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系求出偶数项的和及奇数项与首项的关系，结合条件可得答案. 【详解】因为，所以， ， 因为前12项和为164，所以， 所以，即，解得. 故选：C. 6. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为平面平面，， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示： 则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积， 故选：A. 7. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知“飘带”函数的渐近线，设两渐近线夹角为（），则，求得，进而旋转之前双曲线的一条渐近线斜率，结合计算即可求解. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为（），则， 整理得，又， 所以，整理得， 由，解得. 所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在区间上恰有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定图象，利用对称性求出判断A；根据函数最大值及周期求出解析式判断BC；求出零点判断D. 【详解】对于A，观察图象得，解得，A正确； 对于B，观察图象得，最小正周期，解得， 所以， 由，得， 又，所以，故，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得，解得， 由，得，解得， 因此，故在区间上恰有8个零点，D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D.. 【详解】对于A，由于，故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 即的最小值为 ，A正确； 对于B，由于，，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即的最大值为，B正确； 对于C，又，得， 故 由于，而对称轴为， 则在上单调递减，在上无最值，C错误； 对于D，令，则， 故， 由于，故， ， 则， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解. 11. 已知，为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，A，B相互独立，则 C. 若，，则的最小值可能为0.38 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系结合条件概率公式即可判断AD；根据独立事件的性质即可判断B；根据事件的和与积求解，即可判断C. 【详解】对于A，由，得，而，则，A正确； 对于B，若，，A，B相互独立，则，则，B正确； 对于C，由，得， 则的最小值不可能为0.38，C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用,可求出时,的表达式,然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时,, 当时,, 显然不符合, 故通项公式. 故答案为：. 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以(等号不同时成立)，解得， 故答案为：. 14. 已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由两角差的余弦公式展开化简得出角的余弦值，结合三角形内角的取值范围，即可得出角的大小； （2）由正弦定理把边化为角，然后由三角形内角的取值范围得出角的取值范围，再结合正切函数的单调性，可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由正弦定理知. 因为为锐角三角形，，所以解得， 所以，可得，所以， 所以的取值范围是． 16. 已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，由题得，直线与双曲线的渐近线联立方程组，求得，直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得，根据方程解出，得双曲线的方程. （2）根据（1）中解得的两点坐标，表示出的面积，由直线与相切，联立方程组消元后判别式为0，化简后得定值. 【小问1详解】 设， 因为，所以， 由，得，同理可得，所以， 由，得，， 所以，即，由，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线的渐近线方程为， 由（1）得，，， 所以，， ， 由，得， 因为直线与双曲线相切，所以，即， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． （1）当直线不垂直于轴时，证明：直线轴； （2）若，求； （3）若，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）设直线与直线的方程，分别与抛物线方程联立，利用韦达定理推理得证. （2）利用弦长公式求出，借助直角三角形的性质计算得答案. （3）证明的交点在线段上，由线段成比例列式求出比值. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，直线不垂直于，设其方程为， 直线方程为，， 由，消去得，则，， 则点， 由，消去得，则，， 则点， 由直线不垂直于轴，得，所以直线轴. 【小问2详解】 由（1）可得，，， 由，得，即，而，解得 ， 所以. 【小问3详解】 令与分别交于点，设， 由，得，，即， 则，故点与重合，由，得， 则，即，而， 即，由（2）已得， 故可得：， 又，则， 于是，而，解得， 所以. 18. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 【答案】（1） 证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结. 在正三棱台中，，是正三角形， 因为，分别是，的中点， 所以，且， 又，且， 所以，且，四边形是平行四边形. 因为几何体是正三棱台， 所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以. 又平面，平面，所以. 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 在正三棱台中，，是的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，. 所以. 所以四边形是矩形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，接着依次证明四边形是平行四边形和即可得证； （2）法一：根据线面角定义作出直线与平面所成角的平面角，求得正弦值即可； 法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法直接计算即可； （3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，由全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列是首项为，公比为的等比数列，可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结. 由（1）可知，平面，即平面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成角. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，. 在等腰中，. 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二： 过作. 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，，. 设上底面的中心为，在直角梯形中，， ，，所以. 故，又， 所以,. 设为平面的法向量， 即，取，得，， 所以是平面的一个法向量. 又， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件. 显然，当，时，，. 由全概率公式，当，时， 可得， 即，整理得. 所以当，时，， 又，，， 所以当，时，为定值， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 可得. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】（1），，（答案不唯一）； （2）是，理由见解析； （3）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【小问1详解】 由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. 【小问2详解】 若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. 【小问3详解】 若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 3. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）．当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（ ） A. 52% B. 42% C. 32% D. 22% 4. 在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 5. 数列满足，前12项和为164，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在区间上恰有6个零点 10. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，A，B相互独立，则 C. 若，，则的最小值可能为0.38 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝_______． 13. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）求的取值范围． 16. 已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． （1）当直线不垂直于轴时，证明：直线轴； （2）若，求； （3）若，求． 18. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $