第一章《三角形的证明》期末单元复习题（2）2024—2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学 第一章 三角形的证明 期末单元复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．8，40，41 D．1，1，2 2．“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　） A．a2＝b2 B．a＝b C．a＝﹣b D．a≠b 3．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 4．如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径在AB两侧作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交于边AB，AC于点D、E，连接CD，若AB的长为10，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF＝3，AE＝4，则BE＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 6．如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　） A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5 7．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的正方形网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．若一个直角三角形，两边长为3和4，则第三边长为（　　） A．3 B． C．5 D．5或 9．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠ABD+∠ABC＝180°，若∠ADC＝m，∠BCD＝n，则∠ABD的度数为（　　） A．m﹣n B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（　　） A．4 B． C．3 D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在平面直角坐标系xOy中，若点P的坐标为（3，﹣4），则OP的长为　 　 ． 12．已知等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角的度数是 　 　 ． 13．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝68°，∠AEB＝94°，则∠EBD的度数为　 　 ． 14．如图，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE1；③S△DEC；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求等腰三角形底边的长． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形． 18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3） （1）OA＝　 　 ，OB＝　 　 AB＝　 　 ； （2）试问：∠ABO是直角吗？请说明理由； （3）将点A在网格上做上下移动，当点A在什么位置时，△AOB直角三角形？ 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 20．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD． （1）判断△ABD的形状，并说明理由； （2）过点A作AE⊥BD于点E，若△ABD的周长是20，求CE的长． 21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB＝25m，现要为喷泉铺设供水管道AM，BM供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN＝12m，BM＝15m． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM． （2）求证：∠BMA＝90°． 22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点P，连接PB，PC． （1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 23．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，求t的值． 24．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10． （1）求BC的长； （2）求CD的长． 25．【问题情境】数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景研究有关图形旋转活动，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°）． 【特例分析】（1）如图1，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　 　 ； 【探究规律】（2）如图2，在旋转过程中，AD与BC相交于点F，DE与AC相交于点G，赵辰同学发现线段AF始终等于线段AG，请你证明这一结论； 【拓展延伸】（3）如图3，延长直线BD，EC交于点H，当∠EDH＝90°时，求旋转角α的度数． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B D C D D A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．5． 12．40°或100°． 13．138°． 14．30． 15．①②④． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：如图， 设腰长AB、AC为x cm， ①腰长与腰长的一半是12cm时，xx＝12， 解得x＝8， ∴BC＝158＝11cm， 8cm、8cm、11cm能组成三角形； ②腰长与腰长的一半是15cm时，xx＝15， 解得x＝10， BC＝1210＝7， 10cm、10cm、7cm，能组成三角形， 综上所述，此三角形的底边的长为11cm或7cm． 17．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵CD平分∠ACB， ∴． 又∵∠A＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD，即△ACD是等腰三角形． 18．解：（1）OA，OB，AB； （2）∵（）2+（）2≠（）2， ∴∠ABO不是直角； （3）将点A在网格上做上下移动，当点A在（3，﹣1）位置时，△AOB直角三角形． 故答案为：，，． 19．解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABDBC•CDAB•DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24． 20．解：（1）△ABD为等腰三角形． 理由：∵AC的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C． ∵∠B＝2∠C， ∴∠ADB＝∠B， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰三角形． （2）∵AD＝AB，AE⊥BD， ∴DE＝BE． ∵△ABD的周长是20， ∴AD+DE＝10， ∴CE＝CD+DE＝AD+DE＝10． 21．（1）解：由题意可知：MN⊥AB，MN＝12m，BM＝15m， ∴BN2＝BM2﹣MN2＝152﹣122＝81， ∴BN＝9m， ∴AN＝AB﹣BN＝25﹣9＝16（m）， ∵AM2＝AN2+MN2＝162+122＝400， ∴AM＝20m， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m； （2）证明：∵AM＝20m，BM＝15m，AB＝25m， ∴AM2+BM2＝202+152＝252＝AB2， ∴△AMB是直角三角形，且∠BMA＝90°． 22．解：（1）点P在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AP， ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴点P在BC的垂直平分线上； （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°， ∵l1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠BAD+∠EAC＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°， ∴∠DAE的度数为20°． 23．解：在△ABC中，AB＝12cm，AC＝10cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒， ∴BP＝2t cm，AQ＝t cm， ∴AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm， ∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°， ∴当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°， ∴， ∴， 解得：t＝3， 当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°， ∴， ∴， 解得：t＝4.8， 综上，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形． 24．解：（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝20． ∴； （2）过点B作BM⊥FD于点M， ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝30°， ∴，， 由题意可得：∠EDF＝45°， ∴， ∴． 25．（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°， ∴∠C＝∠ABC＝35°， ∴当AD⊥BC时，∠BAD＝90°﹣∠ABC＝55°， 由旋转的性质得：旋转角α＝55°， 故答案为：55°； （2）证明：由旋转的性质得：∠E＝∠C＝35°，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAF+∠DAC＝∠DAC+∠EAG， ∴∠BAF＝∠EAG， ∵AB＝AC，∠ABC＝35°， ∴AB＝AE，∠ABC＝∠E＝35°， 在△BAF和△EAG中， ， ∴△BAF≌△EAG（ASA）， ∴AF＝AG； （3）解：由旋转的性质得：AB＝AD，∠ADB＝∠ABC＝35°，∠BAD＝α， ∴∠ADB＝∠ABD（180°﹣∠BAD）， 当∠EDH＝90°时，则∠EDB＝90°， ∴∠ADB+∠ADE＝90°， ∴， 解得：α＝70°， ∴旋转角α的度数是70°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$